專題46線段中的動點問題專項訓練（滬科版）

專題4.6線段中的動點問題專項訓練【滬科版】考卷信息：本套訓練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對線段中的動點問題的理解！1．（2023上·河北唐山·七年級?？计谀┤鐖D，B是線段AD上一動點，沿A→D→A以2cm/s的速度往返運動1次，C是線段BD的中點，AD(1)當t=2①AB=cm②求線段CD的長度；(2)用含t的代數(shù)式表示運動過程中AB的長；(3)當BD=4cm時，求(4)在運動過程中，若AB的中點為E，則EC的長是否變化？若不變，求出EC的長；若發(fā)生變化，請說明理由．【答案】(1)①4；②3(2)當0≤t≤5時，AB=2t(3)3s或(4)不變，5【分析】（1）①根據(jù)AB=2②先求出BD的長，再根據(jù)C是線段BD的中點即可得出CD的長；（2）分兩種情況進行討論即可；（3）根據(jù)時間＝路程÷速度計算即可；（4）根據(jù)中點定義即可得出結論．【詳解】（1）解：①∵B是線段AD上一動點，沿A→D→∴當t=2時，AB故答案為：4；②∵AD=10，AB∴BD=∵C是線段BD的中點，∴CD=∴線段CD的長度為3cm（2）∵B是線段AD上一動點，沿A→D→當點B從點A出發(fā)到點D時，t=10÷2=5∴當點B沿點A→這時：0≤t≤5，當點B沿點D→這時：5<t≤10，（3）當點B沿點A→D運動時，AB=2∴BD=又∵BD=4∴10-2t解得：t=3當點B沿點D→A運動時，AB=20-2∴BD=又∵BD=4∴2t解得：t=7綜上所述，當BD=4cm時，求t的值為3s（4）不變．∵AB的中點為E，C是線段BD的中點，AD=10∴BE=12∴EC=====5cm即：EC的長為5cm【點睛】本題考查兩點間的距離，線段的和與差，中點的定義，一元一次方程的應用，本題運用了分類討論的方法．利用線段中點的定義及線段的和差得出相應的等量關系是解題關鍵．2．（2023上·重慶南川·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線l上有AB兩點，AB=36cm，點O是線段AB上的一點，且(1)若點C是直線AB上一點，且滿足AC=CO+(2)若動點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，向右運動，點P的速度為3cm/s，點Q的速度為1cm/s．設運動時間為t秒，當點P與點Q重合時，P、【答案】(1)4cm或(2)當t為4s或13.6s【分析】（1）根據(jù)AB=36cm，點O是線段AB上的一點，OA=2OB，設CO的長是xcm，當點C分別在線段AO上，線段（2）當運動時間為ts時，點P表示的數(shù)為3t-24，點Q表示的數(shù)為t+12，當點P與點Q重合時，即【詳解】（1）解：∵AB=36cm∴OA解得，OB=12cm，設CO的長是xcm，依題意有：AC①當點C在線段AO上時，24-x=x②當點C在線段OB上時，24+x=x③當點C在線段AB的延長線上時，24+x=x故CO的長為4cm或36（2）解：當運動時間為ts時，點P表示的數(shù)為3t-24，點Q當3t-24=∴0≤t∵2OP∴2|3t當0?t<8時，有2×(24-3當8≤t≤18時，有解得，t=13.6故當t為4s或13.6s時，【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用和兩點之間的距離，解題的關鍵是正確理解題意，弄清題中量的關系．3．（2023·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖：若點C在線段AB上，線段AC＝10cm，BC＝6cm，點M，N分別是AC，BC的中點，求線段MN的長度；（2）若點C在線段BA的延長線上，點M，N分別是AC，BC的中點，設BC﹣AC＝a，請根據(jù)題意畫出圖形，并求MN的長度（用含a的式子表示）；（3）在（1）的條件下，動點P、Q分別從A、B兩端同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，終點為A，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動，求運動多少秒時，CP：CQ＝1：2？【答案】（1）線段MN的長度是8cm；（2）MN＝12a，理由見解析；（3）當運動143或265時，CP：CQ＝【分析】（1）根據(jù)題意結合圖形得出MN＝12（AC+BC（2）直接根據(jù)題意畫出圖形，進而利用MN＝NC﹣MC＝12（3）根據(jù)動點P、Q的運動方向和速度用含t的式子表示出CP和CQ，再列方程可得結論．【詳解】解：（1）∵線段AC＝10cm，BC＝6cm，點M、N分別是AC、BC的中點，∴MC=12∴MN=＝12（AC+BC）＝12×16＝8（答：線段MN的長度是8cm；（2）如圖：MN＝12a∵點M、N分別是AC、BC的中點，∴MC＝12AC，NC＝12∵BC﹣AC＝a，∴MN＝NC﹣MC＝12BC﹣12AC＝12(（3）∵點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，而AC＝10cm，BC＝6cm，CP：CQ＝1：2∴2CP=可分為三種情況討論：當點C在點P右側，點Q的左側時，有0<t≤5，此時CP=10-2t則2(10-2t)=6-t，解得：當點C在點P、Q的左側時，有5<t≤6，此時CP=2則2(2t-10)=6-t當點C在點P的左側，Q的右側時，有6<t≤8，此時CP=2則2(2t-10)=綜上所述，當運動143或265時，CP：CQ＝1：【點睛】本題考查線段的計算，中點的定義，利用兩點之間的距離和中點的定義分情況討論列出一元一次方程是解題的關鍵．4．（2023上·河北唐山·七年級期末）如圖，∠PAQ=90°，點B、點C分別在邊PA、QA上，且BA=12cm，CA=6cm，動點M沿AP邊從點A出發(fā)，向點B以2cm/s的速度運動；動點N沿QA邊從點C出發(fā)，向點A（1）當AM=AN時，求（2）①當t為何值時，點M恰好在AB的13②在①的前提下，AM+AN等于BA+【答案】（1）t=2；（2）①t=2或t=4【分析】（1）先根據(jù)“路程=速度×時間”可得AM,CN的長，再根據(jù)線段的和差可得AN的長，然后根據(jù)（2）①分AM=13②根據(jù)①的結果，分別求出AM+AN和【詳解】解：（1）由題意得：AM=2∵CA∴AN當AM=AN時，則解得t=2（2）①當AM=13AB時，即當AM=23AB時，即綜上，當t=2或t=4時，點M恰好在AB的②當t=2時，AM=2t則AM+AN=8(此時8≠1當t=4時，AM=2t則AM+此時10≠1綜上，在①的前提下，AM+AN不等于BA+【點睛】本題考查了線段的和差等知識點，較難的是題（2）①，注意分兩種情況討論是解題關鍵．5．（2023上·安徽六安·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，線段AB長為24個單位長度，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為AP的中點，設P的運動時間為x秒．（1）當PB=2AM時，求（2）當P在線段AB上運動時，2BM-（3）如圖2，當P在AB延長線上運動時，N為BP的中點，下列兩個結論：①MN長度不變；②MA+【答案】（1）6；（2）24；理由見解析；（3）①MN長度不變，為12；②MA+【分析】（1）根據(jù)PB=2AM建立關于x的方程，解方程即可；（2）將BM=24x，PB=242x代入2BMBP后，化簡即可得出結論；（3）利用PA=2x，AM=PM=x，PB=2x24，PN=12PB=x12，分別表示出MN及MA+PN【詳解】解：（1）∵M是線段AP的中點，∴AM=12AP=xPB=ABAP=242x．∵PB=2AM，∴242x=2x，解得x=6；（2）∵AM=x，BM=24x，PB=242x，∴2BMBP=2（24x）（242x）=24，即2BMBP為定值；（3）當P在AB延長線上運動時，點P在B點右側．∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x24,PN=12PB=x12∴①MN=PMPN=x（x12）=12是定值；②MA+PN=x+x12=2x12，是變化的．【點睛】本題考查了兩點間的距離，解答本題的關鍵是用含時間的式子表示出各線段的長度，有一定難度．6．（2023上·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，點E是線段AB上一點，AB=15cm，動點C從E出發(fā)，以1cm/s的速度向A點運動，同時，動點D從B出發(fā)以2cm/s的速度向E運動﹒(C在線段（1）若AE=6cm，當點C、D運動了2s，此時AC=____（2）若AE=5cm，當線段CD=6cm時，求動點（3）若AE=5cm，當點C,D運動時，【答案】（1）4，5；（2）4；（3）AC=1【分析】（1）根據(jù)運動時間和各自速度可求得CE和BD，進而結合圖形即可解答；（2）求出BE=10，由CD=CE+BE﹣BD列出關于t的方程，解之即可解答；（3）分別用t表示AC和DE，即可得出數(shù)量關系．【詳解】解：（1）∵t∴CE∵AE=6∴ACDE=15-6-4=5，故答案為：4，5；（2）當AE=5時，BE=10∴CD∴（3）當AE=5時，AC=ED=BE∴AC【點睛】本題考查與線段有關的動點問題、兩點間的距離、線段之間的數(shù)量關系、一元一次方程的應用，解答的關鍵是讀懂題意，結合圖形，找出適當?shù)牡攘筷P系列出方程．7．（2023上·廣西玉林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上一點，且AB＝10，動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為t（t>0）秒，（1）寫出數(shù)軸上點B所表示的數(shù)；（2）求線段AP的中點所表示的數(shù)（用含t的代數(shù)式表示）；（3）M是AP的中點，N為PB的中點，點P在運動的過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長．

【答案】（1）4；（2）6-3t；（3）不變，圖見解析，MN的長度為5【分析】（1）根據(jù)題意及數(shù)軸可得B點在原點的左側，故可直接求解；（2）根據(jù)題意可得P所表示的數(shù)為：6﹣6t，然后直接得到中點所表示的數(shù)；（3）根據(jù)題意得到點P可能在線段AB上，也有可能在線段AB外，故分類討論求解即可．【詳解】解：（1）∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，∴OA＝6，則OB＝AB﹣OA＝4，點B在原點左邊，所以數(shù)軸上點B所表示的數(shù)為﹣4，故答案為：﹣4；（2）點P運動t秒的長度為6t，∵動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，∴P所表示的數(shù)為：6﹣6t，則線段AP的中點所表示的數(shù)為6+6-6t（3）線段MN的長度不發(fā)生變化，理由：分兩種情況：

①當點P在A、B兩點之間運動時，如圖MN＝MP+NP＝12BP+12PA＝12②當點P運動到B的左邊時，如圖

MN＝MP﹣NP＝12AP﹣12PB＝12AB綜上所述，線段MN的長度不發(fā)生變化，其值為5．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上的兩點距離及線段的和差關系，關鍵是根據(jù)動點的運動得到線段的長，然后根據(jù)數(shù)軸上的兩點距離列式求解即可．8．（2023上·重慶彭水·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線l上有A、B兩點，AB=18cm，點O是線段AB上的一點，OA=2OB.若動點P，Q分別從A、B同時出發(fā)，向右運動，點P的速度為3cm/s.點Q的速度為1（1）當t為何值時，2OP（2）當點P經(jīng)過點O時，動點M從點O出發(fā)，以4cm/s的速度也向右運動，當點M追上點Q后立即返回，以4cm/s的速度向點P運動，遇到點P后再立即返回，以4cm/s的速度向點Q運動，如此往返，當點P【答案】（1）2s或6.8s（2）20cm【分析】（1）先由OA=2OB結合AB=OA+OB=18即可求出OA、OB的長度；分兩種情況,由兩點間的距離公式結合2OPOQ=4即可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論；（2）點M運動的時間就是點P從點O開始到追到點Q的時間，用這個時間乘以速度即可．【詳解】解：（1）∵AB=18cm，OA=2OB，∴OA+OB=3OB=AB=18cm，解得：OB=6cm，OA=2OB=12cm．12÷3=4秒，當0<t≤4時，如圖，AP=3t，OP=123t，BQ=t，OQ=6+t，∵2OPOQ=4，∴2(123t)(6+t)=4，解得t=2；當點P與點Q重合時，3t=18+t，t=9，當4＜t≤9時，如圖，OP=3t12，OQ=6+t，則2(3t12)(6+t)=4，解得t=6.8．故當t為2s或6.8s時，2OPOQ=4；（2）4×（94）=20（cm）．答：在此過程中，點M行駛的總路程是20cm．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用、兩點間的距離公式、以及分類討論的數(shù)學思想，解題的關鍵是：（1）根據(jù)兩點間的距離公式列出關于t的一元一次方程；解（2）的關鍵是求出點M運動的時間．9．（2023上·七年級統(tǒng)考課時練習）直線l上有A，B兩點，AB=24cm，點O是線段AB上的一點，（1）OA=__________cm，OB=___________（2）若C點是線段AO上的一點，且滿足AC=CO+（3）若動點P，Q分別從A，B同時出發(fā)向右運動，點P的速度為2cm/s，點Q的速度為1cms，設運動時間為t(s)，當點P①當t為何值時，2OP②當點P經(jīng)過點O時，動點M從點O出發(fā)，以3cms的速度向右運動.當點M追上點Q后立即返回.以同樣的速度向點P運動，遇到點P后立即返回，又以同樣的速度向點Q運動，如此往返，直到點P，Q停止時，點M也停止運動.在此過程中，點M行駛的總路程為___________【答案】（1）16,8;（2）83;（3）①t=165【分析】（1）由OA=2OB，OA+OB=24即可求出OA、OB．（2）設OC=x，則AC=16x，BC=8+x，根據(jù)AC=CO+CB列出方程即可解決．（3）①分兩種情形①當點P在點O左邊時，2（162t）（8+t）=8，當點P在點O右邊時，2（2t16）（8+x）=8，解方程即可．②點M運動的時間就是點P從點O開始到追到點Q的時間，設點M運動的時間為ts由題意得：t（21）=16由此即可解決．【詳解】(1)∵AB=24，OA=2OB，∴20B+OB=24，∴OB=8，0A=16，故答案分別為16，8.（2）設CO的長為xcm由題意，得x+(解得x=所以CO的長為83(3)①當點P在點O左邊時,2(16?2t)?(8+t)=8,t=165當點P在點O右邊時,2(2t?16)?(8+t)=8，t=16，∴t=165或16s時，②設點M運動的時間為ts,由題意：t(2?1)=16，t=16，∴點M運動的路程為16×3=48cm.故答案為48cm.【點睛】此題考查一元一次方程的應用，兩點間的距離，解題關鍵在于根據(jù)題意列出方程.10．（2023上·廣東湛江·七年級校考期末）如圖，數(shù)軸上有A、B、C三個點，它們表示的數(shù)分別是25、10、10.

（1）填空：AB＝_________，BC＝__________；（2）現(xiàn)有動點M、N都從A點出發(fā)，點M以每秒2個單位長度的速度向右移動，當點M移動到B點時，點N才從A點出發(fā)，并以每秒4個單位長度的速度向右移動，求點N移動多少時間，點N追上點M?（3）若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動.試探索：BC－AB的值是否隨著時間的變化而改變?請說明理由．【答案】（1）AB＝15,BC＝20；（2）點N移動152秒時,點N追上點M；（3）BC－AB的值不會隨著時間的變化而改變【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上任意兩點間的距離公式等于這兩點所表示的數(shù)的差的絕對值而得出結論；（2）設點N移動x秒時,點N追上點M，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解；（3）設運動時間是y秒,先分別求出y秒后A、B、C三點所對應的數(shù)，就可以表示出BC，AB的值，從而求出BCAB的值而得出結論【詳解】解：（1）由題意，得AB=?10?(?25)=15，BC=10?(?10)=20，∴AB＝15,BC＝20；（2）設點N移動x秒時,點N追上點M,由題意得：4x=2x+15

解得x=152答：點N移動152秒時,點N追上點（3）設運動時間是y秒,那么運動后A、B、C三點表示的數(shù)分別是25y、10+2y、10+5y,

∴BC=（10+5y）(10+2y)=20+3y

AB=(10+2y)(25y)=15+3y

∴BC－AB=20+3y(15+3y)=5∴BC－AB的值不會隨著時間的變化而改變.故答案為（1）AB＝15,BC＝20；（2）點N移動152秒時,點N追上點M；（3）BC－AB的值不會隨著時間的變化而改變【點睛】本題考查一元一次方程的應用，數(shù)軸，兩點間的距離.11．（2023上·湖北黃岡·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點A、點B是直線上的兩點，AB=12厘米，點C在線段AB上．點P、點Q是直線上的兩個動點，點P的速度為1厘米/秒，點Q的速度為2厘米/秒．(1)當點P、Q分別在線段AC、BC的中點時，線段PQ=厘米；(2)若AC=6厘米，點P、點Q分別從點C、點B同時出發(fā)沿射線BA方向運動，當運動時間為2秒時，求PQ的長；(3)若AC=4厘米，點P、Q分別從點C、點B同時出發(fā)在直線AB上運動，則經(jīng)過多少時間后線段PQ的長為5厘米．【答案】(1)6；(2)PQ=4厘米；(3)經(jīng)過1，3，13，133秒后PQ的長為5【分析】（1）利用圖象上點的位置得出當點P、Q分別在線段AC、BC的中點時，線段PQ=12AB即可得出答案；（2）利用當t=2時，BQ=2×2=4，則CQ=64=2，再利用PQ=CP+CQ求出即可；（3）利用圖形分別討論：當點P、Q沿射線BA方向運動，若點Q在點P的后面，當點P、Q沿射線BA方向運動，若點Q在點P當點P、Q在直線上相向運動，點P、Q在相遇前，當點P、Q在直線上相向運動，點P、Q在相遇后，進而得出答案即可．【詳解】(1)如圖1，因為AB=12厘米，點C在線段AB上，所以，當點P、Q分別在線段AC、BC的中點時，線段PQ=12AB=6．故答案為6(2)如圖2，當t=2時，BQ=2×2=4，則CQ=64=2．因為CP=2×1=2，所以PQ=CP+CQ=2+2=4(厘米)．(3)設運動時間為t秒．①如圖3，當點P、Q沿射線BA方向運動，若點Q在點P的后面，得：t+82t=5，解得t=3，②如圖4，當點P、Q沿射線BA方向運動，若點Q在點P前面，得：2t8t=5，解得t=13．③如圖5，當點P、Q在直線上相向運動，點P、Q在相遇前，得：t+2t=3，解得t=1．④如圖6，當點P、Q在直線上相向運動，點P、Q在相遇后，得：t+2t=13，解得t=133綜合可得t=1，3，13，133.所以經(jīng)過1，3，13，133秒后PQ的長為【點睛】本題考查了點的運動問題，利用數(shù)形結合得出P，Q不同位置得出不同結論，注意不要漏解．12．（2023下·山東淄博·七年級淄博市臨淄區(qū)第二中學校考期中）如圖，線段AB=12，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線AB運動，M為AP的中點．（1）出發(fā)多少秒后，PB=2AM？（2）當P在線段AB上運動時，試說明2BM﹣BP為定值．（3）當P在AB延長線上運動時，N為BP的中點，下列兩個結論：①MN長度不變；②MA+PN的值不變，選擇一個正確的結論，并求出其值．【答案】(1)3秒；（2）當P在線段AB上運動時，2BM﹣BP為定值12；（3）選①.【分析】（1）分兩種情況討論，①點P在點B左邊，②點P在點B右邊，分別求出t的值即可．（2）AM=x，BM=24x，PB=242x，表示出2BMBP后，化簡即可得出結論．（3）PA=2x，AM=PM=x，PB=2x12，PN=12PB=x6，分別表示出MN，MA+PN【詳解】解：（1）設出發(fā)x秒后PB=2AM，當點P在點B左邊時，AM=x，PA=2x，PB=12?2x由題意得，12?2x=2x，解得：x=3；當點P在點B右邊時，PA=2x，PB=2x?12，AM=x，由題意得：2x?12=2x，方程無解；綜上可得：出發(fā)3秒后PB=2AM.（2）∵AM=x，BM=12?x，PB=12?2x，∴2BM?BP=2(12?x)?(12?2x)=12；（3）選①；∵PA=2x,AM=PM=x,PB=2x?12,PN=12PB=x?6∴①MN=PM?PN=x?(x?6)=6(定值)；②MA+PN=x+x?6=2x?6(變化).點睛：本題考查了兩點間的距離，解答本題的關鍵是用含有時間的式子表示出各線段的長度.13．（2023上·江蘇南通·七年級校考階段練習）【新知理解】如圖①，點C在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“巧點”．

(1)線段的中點這條線段的“巧點”（填“是”或“不是”）；(2)若AB=12cm，點C是線段AB的巧點，則AC=(3)【解決問題】如圖②，已知AB=12cm．動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；點Q從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向點A勻速移動，點P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設移動的時間為t（s）．當t為何值時，A，P，【答案】(1)是(2)4或6或8(3)t=【分析】（1）根據(jù)“巧點”的定義，判斷即可；（2）根據(jù)“巧點”的定義，分三種情況，求解即可；（3）t秒后，AP=2t，【詳解】（1）解：如圖，當C是線段AB的中點，則AB=2

∴線段的中點是這條線段的“巧點”．故答案為：是；（2）解：∵AB=12cm，點C是線段∴AC=12×13=4cm故答案為：4或6或8；（3）解：t秒后，AP=2t①由題意可知A不可能為P、Q兩點的巧點，此情況排除．②當P為A、Q的巧點時，Ⅰ．AP=13AQ，即Ⅱ．AP=12AQ，即Ⅲ．AP=23AQ，即③當Q為A、P的巧點時，Ⅰ．AQ=13AP，即Ⅱ．AQ=12AP，即Ⅲ．AQ=23AP，即綜上可得，當t=127，125，【點睛】本題考查了兩點間的距離，一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．14．（2023上·福建三明·七年級三明市第三中學校考階段練習）如圖1，點C在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“巧點”．（1）線段的中點這條線段的“巧點”；（填“是”或“不是”）（2）若AB＝15cm，點C是線段AB的巧點，則AC＝cm；（3）如圖2，已知AB＝15cm，動點P從點A出發(fā)，以3cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動，點P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設移動的時間為t（s）．當t為何值時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的巧點？并說明理由．【答案】（1）是；（2）5或7.5或10；（3）1511s或158s或3013s或5s或307s【分析】（1）根據(jù)“巧點”的定義即可求解；（2）分點C在中點的左邊，點C在中點，點C在中點的右邊，進行討論求解即可；（3）分①由題意可知A不可能為P、Q兩點的巧點，此情況排除；②當P為A、Q的巧點時；③當Q為A、P的巧點時；進行討論求解即可．【詳解】解：（1）如圖，當C是線段AB的中點，則AB=2∴線段的中點是這條線段的“巧點”．故答案為：是；（2）∵AB=15cm，點C∴AC=15×13=5故答案為：5或7.5或10；（3）由題意可得：t秒后，AP=3t，①由題意可知A不可能為P、Q兩點的巧點，此情況排除．②當P為A、Q的巧點時，Ⅰ．AP=13解得：t=Ⅱ．AP=12解得：t=Ⅲ．AP=23解得：t=③當Q為A、P的巧點時，Ⅰ．AQ=13解得：t=5Ⅱ．AQ=12解得t=Ⅲ．AQ=23解得：t=綜上所述，當t為1511s或158s或3013s或5s或307s【點睛】本題考查了兩點間的距離，一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．15．（2023上·山東棗莊·七年級統(tǒng)考期末）已知點C在直線AB上，線段AC=6cm，BC=4cm，點M，N分別是(1)畫出示意圖，并求線段MN的長度；(2)如圖，點C在線段AB上時，動點P，Q分別從A，B同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度從點A向點B運動，點Q以1cm/s的速度從點B向點A運動，當一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．在整個運動過程中，當P是CQ中點時，P點運動了多少秒？【答案】(1)MN=5cm或1cm(2)P運動了165【分析】（1）如圖①，當A，B

在C兩側時，畫出圖形，根據(jù)中點的定義，因為M，N分別為AC，BC的中點，得到AM=CM=12AC，CN=BN=12BC，所以MN=CM+CN，如圖②，A，B在C的同側時，畫出圖形，根據(jù)M，N分別為AC，BC的中點，根據(jù)中點的定義得到AM=CM=12AC，CN=BN=12BC，由圖知，MN(2)根據(jù)圖形得到：AB=AC+BC，如圖③，令點A表示的數(shù)為0，則C表示的數(shù)為6，B點表示的數(shù)為10，設運動的時間為t秒，得到P從A→B用時，Q從B→A用時，P點表示的數(shù)位2t，Q點表示的數(shù)為10t，當P為CQ的中點時，根據(jù)PC=PQ列方程可以求出t．【詳解】（1）如圖①，當A，B

在C兩側時，∵M，N分別為AC，BC的中點，∴AM=CM=12AC，CN=BN=12MN=CM+CN=12AC+12=12(AC+BC=12=5cm．如圖②，A，B在C的同側時，∵M，N分別為AC，BC的中點，∴AM=CM=12AC，CN=BN=12由圖知，MN=CMCN=12∴MN=12(6-4)綜上，MN=5cm或1cm．（2）∵AB=AC+BC=6+4=10cm

如圖③，令點A表示的數(shù)為0，則C表示的數(shù)為6，B點表示的數(shù)為10，設運動的時間為t秒，P從A→