充分條件與必要條件 高一上學期數學人教A版（2019）必修第一冊

人教A版必修第一冊1.4充分條件與必要條件思考：下列“若P，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？（1）若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；（2）若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；（3）若一元二次方程有兩個不相等的實數根，則（4）若是空集，則A與B均是空集。命題(1)、（4）與它們的逆命題都是真命題。定義一般地,如果既有p

q

，又有q

p

就記作

p

q.此時,我們說,p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.

顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.(p等價于q)

即：如果p

q,那么p與q互為充要條件.上思考中，命題（1）、（4）中，p與q互為充要條件.一般地，(1)若p

q,但q

p，則稱p是q的(2)若p

q，但q

p，則稱p是q的；(3)若p

q，且q

p，則稱p是q的充分不必要條件；必要不充分條件既不充分也不必要條件．例3下列各題中，哪些p是q的充要條件？（1）p:四邊形是正方形，q:四邊形的對角線互相垂直且平分；（2）P:兩個三角形相似，q:兩個三角形三邊成比例；（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;(4)p:x=1是一元二次方程解：（1）因為對角線互相垂直平分的四邊形不一定是正方形，所以，所以p不是q的充要條件。（2）因為“若p，則q”是相似三角形的性質定理，“若q，則p”是相似三角形的判定定理，所以它們均是真命題，即，所以P是q的充要條件。探究：通過上面的學習，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？四邊形的兩組對角分別相等、四邊形的兩組對邊分別相等、四邊形的一組對邊平行且相等、四邊形的對角線互相平分、四邊形的兩組對邊分別平行都是它的充要條件。例4：已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．求證：d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．分析：設p:d=r,q:

l與⊙O相切.證明：如圖所示.（1）充分性（pq）：作OP⊥l于點P,則OP=d，若d=r，則點P在⊙O上，在直線l上任取一點Q(異于點P)，連接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除點P外直線l上的點都在⊙O

的外部，即直線l與⊙O僅有一個公共點P.所以直線l與⊙O相切.PQlO（2）必要性（）：若直線l與相切，不妨設切點為P，則，因此，d=OP=r.由（1）（2）可得，d=r是直線l與相切的充要條件。達標檢測B1．若A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．下列說法正確的是________．(填序號)①“x＞0”是“x＞1”的必要條件；②“a3＞b3”是“a＞b”的必要而不充分條件；③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分條件3．求關于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負的實數根的關于a的充要條件．4．已知p：x2－2x－3<0，若－a<x－1<a是p的一個必要條件但不是充分條件，求實數a的取值范圍2.請用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填空：

（1）x＝y(tǒng)是x2＝y(tǒng)2的_____________條件（2）ab=0是a=0的________________條件（3）x2>1是x<1的__________________條件（4）x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的_____條件充分不必要必要不充分既不充分又不必要充要3.求證：關于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充要條件是a+b+c=0。證明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，則a+b+c=0”．∵x=1是方程的根，將x=1代入方程，得a12+b1+c=0，即a+b+c=0．（2）充分性，即“若a+b+c=0，則x=1是方程ax2+bx+c=0的根”．把x=1代入方程的左邊，得a12+b1+c=a+b+c．∵a+b+c=0，∴x=1是方程的根．綜合（1）（2）知命題成立

課堂小結

（3）判別技巧：

①可先簡化命題；②否定一個命題只要舉出一個反例即可；（1）充分條件、必要條件