電子技術基礎（第五版）課件 第8章 數(shù)字電路基礎知識

課題八數(shù)字電路基礎知識8.1數(shù)制和編碼8.2邏輯代數(shù)課題小結

8.1數(shù)制和編碼

8.1.1計數(shù)體制

1.十進制數(shù)

在十進制中，用0，1，2，…，9這10個不同的數(shù)碼按照一定的規(guī)律排列起來表示數(shù)值的大小，其計數(shù)規(guī)律是“逢十進一”。十進制數(shù)是以10為基數(shù)的計數(shù)體制。當數(shù)碼處于不同的位置時，它所表示的數(shù)值也不相同。例如，十進制數(shù)785可表示成

括號加下標“D”表示十進制數(shù)。等式右邊中的102，101，100，…標明數(shù)碼在該位的“權”。不難看出各數(shù)位表示的數(shù)值就是該位數(shù)碼(系數(shù))乘以相應的權。按此規(guī)律，任意一個十進制數(shù)(N)D都可以寫成按權展開式

式中，Ki

代表第i位的系數(shù)，可取0~9這10個數(shù)碼中的任一個；10i為第i位的權；n為原數(shù)的位數(shù)。本書只講整數(shù)的數(shù)制。關于小數(shù)數(shù)制，請閱讀其他資料。

2.二進制數(shù)

二進制數(shù)是以2為基數(shù)的計數(shù)體制。它只有0和1兩個數(shù)碼，采用“逢二進一”的計數(shù)規(guī)律。任意一個二進制數(shù)(N)B都可以寫成按權展開式

式中，下標“B”表示二進制數(shù)；Ki表示第i位的系數(shù)，只能取0或1；2i為第i位的權；n為原數(shù)總位數(shù)。

從以上可知，二進制數(shù)比較簡單，只有0和1兩個數(shù)碼，并且算術運算也很簡單，所以二進制數(shù)在數(shù)字電路中得到廣泛應用。但是二進制數(shù)也有缺點：用二進制表示一個數(shù)時，位數(shù)多，讀寫不方便，而且也難記憶。

3.八進制數(shù)

八進制數(shù)是以8為基數(shù)的計數(shù)體制，它用0，1，2，…，7這8個數(shù)碼表示數(shù)值的大小，采用“逢八進一”的計數(shù)規(guī)律。三位二進制碼可用一位八進制碼表示。任意一個八進制數(shù)(N)O可寫成按權展開式

式中，下標“O”表示八進制數(shù)，Ki

表示第i位的系數(shù)，可取0~7這8個數(shù)；8i為第i位的權；n為原數(shù)總位數(shù)。

4.十六進制數(shù)

十六進制數(shù)是以16為基數(shù)的計數(shù)體制，它用0，1，2，…，9，A，B，C，D，E，F(xiàn)這16個數(shù)碼表示數(shù)值的大小，采用“逢十六進一”的計數(shù)規(guī)律。四位二進制碼可用一位十六進制碼表示。任意一個十六進制數(shù)(N)H可以寫成按權展開式

表8.1為幾種計數(shù)體制對照表。

8.1.2數(shù)制轉換

1.二進制、八進制、十六進制數(shù)轉換為十進制數(shù)

將一個二進制、八進制或十六進制數(shù)轉換成十進制數(shù)，只要寫出該進制數(shù)的按權展開式，然后按十進制數(shù)的計數(shù)規(guī)律相加，就可得到所求的十進制數(shù)。

2.十進制正整數(shù)轉換為二進制、八進制、十六進制數(shù)

在將十進制數(shù)轉換成二進制、八進制、十六進制數(shù)時，分別采用“除2取余法”、“除8取余法”、“除16取余法”，便可求得二、八、十六進制數(shù)的各位數(shù)碼Kn-1，Kn-2，…，K1，K0。

例8.6將(139)D轉換成十六進制數(shù)。

3.八進制數(shù)、十六進制數(shù)與二進制數(shù)的相互轉換

因為23=8，所以對三位的二進制數(shù)來講，從000~111共有8種組合狀態(tài)，我們可以分別用這8種狀態(tài)來表示八進制數(shù)碼0，1，2，…，7。這樣，每一位八進制數(shù)正好相當于三位二進制數(shù)。反過來，每三位二進制數(shù)又相當于一位八進制數(shù)。

同理，24=16，四位二進制數(shù)共有16種組合狀態(tài)，可以分別用來表示十六進制的16個數(shù)碼。這樣，每一位十六進制數(shù)正好相當于四位二進制數(shù)。反過來，每四位二進制數(shù)等值為一位十六進制數(shù)。

8.1.3編碼

在二進制數(shù)字系統(tǒng)中，每一位數(shù)只有0或1兩個數(shù)碼，只限于表達兩個不同的信號。如果用若干位二進制數(shù)碼來表示數(shù)字、文字符號以及其他不同的事物，我們稱這種二進制碼為代碼。賦予每個代碼以固定的含義的過程，就稱為編碼。

1.二進制編碼

一位二進制代碼可以表示兩個信號。二位二進制代碼可以表示四個信號。以此類推，n位二進制代碼可以表示2n個不同的信號。將具有特定含義的信號用二進制代碼來表示的

過程稱為二進制編碼。

2.二～十進制編碼

所謂二～十進制編碼，就是用四位二進制代碼來表示一位十進制數(shù)碼，簡稱BCD碼。由于四位二進制碼有0000，0001，…，1111等16種不同的組合狀態(tài)，故可以選擇其中任意10個狀態(tài)以代表十進制中0~9的10個數(shù)碼，其余6種組合是無效的。因此，按選取方式的不同，可以得到不同的二十進制編碼。最常用的是8421碼。

這種編碼是選用四位二進制碼的前10個代碼0000~1001來表示十進制的這10個數(shù)碼。此編碼的特點如下：

(1)這種編碼實際上就是四位二進制數(shù)前10個代碼按其自然順序所對應的十進制數(shù)，十進制數(shù)每一位的表示和通常的二進制相同。例如，十進制數(shù)845的8421碼形式為

(2)它是一種有權碼。四位二進制編碼中由高位到低位的權依次是23，22，21，20(即8，4，2，1)，故稱為8421碼。在8421碼這類有權碼中，如果將其二進制碼乘以其對應的權后求和，就是該編碼所表示的十進制數(shù)。例如：

(3)在這種編碼中，1010~1111這6種組合狀態(tài)是不允許出現(xiàn)的，稱為禁止碼。8421碼是最基本的和最常用的，因此必須熟記。其他編碼還有2421碼、5421碼等，見表8.2。

8.2邏輯代數(shù)

邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)，是英國數(shù)學家喬治·布爾在1847年首先創(chuàng)立的。邏輯代數(shù)是研究邏輯函數(shù)與邏輯變量之間規(guī)律的一門應用數(shù)學，是分析和設計數(shù)字邏輯電路的數(shù)學工具。

8.2.1基本概念、基本邏輯運算

1.邏輯變量與邏輯函數(shù)

邏輯代數(shù)是按一定邏輯規(guī)律進行運算的代數(shù)，它和普通代數(shù)一樣有自變量和因變量。雖然自變量都可用字母A，B，C，…來表示，但是只有兩種取值，即0和1。這里的0和1不代表數(shù)量的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)。例如，用“1”和“0”表示事物的“真”與“假”，電位的“高”與“低”，脈沖的“有”與“無”，開關的“閉合”與“斷開”等。這種僅有兩個取值的自變量具有二值性，稱為邏輯變量。

如果邏輯變量A，B，C，…的取值確定之后，邏輯函數(shù)Y的值也被唯一地確定了，那么，我們稱Y是A，B，C，…的邏輯函數(shù)，寫作

2.基本邏輯運算

所謂邏輯，是指“條件”與“結果”的關系。在數(shù)字電路中，利用輸入信號反映“條件”，用輸出信號反映“結果”，從而輸入和輸出之間就存在一定的因果關系，我們稱它為邏輯關系。在邏輯代數(shù)中，有與邏輯、或邏輯、非邏輯三種基本邏輯關系，相應的基本邏輯運算為與、或、非，對應的門電路有與門、或門、非門。

1)與邏輯(與運算、邏輯乘)

當決定一件事情的所有條件都具備時，這件事情才能實現(xiàn)，這種因果關系稱為與邏輯，也稱為與運算或邏輯乘。

如圖8.1(a)所示的開關電路中，只有當開關A和B都閉合時，燈Y才會亮。顯然對燈Y來說，開關A和B閉合是“燈Y亮”的所有條件，所以Y與A和B屬于與邏輯。其邏輯表達式為

式中的“·”表示與邏輯的運算符號，在不至于混淆的情況下，可以省略不寫。與邏輯的邏輯符號如圖8.1(b)所示。圖8.1與邏輯關系

與邏輯的運算規(guī)則：

與邏輯還可以用真值表來表示。所謂真值表，就是將邏輯變量各種可能取值的組合及其相應邏輯函數(shù)值列成的表格。例如，在圖8.1(a)中，假設開關閉合為1、開關斷開為0，燈亮為1、燈滅為0，則可列出其真值表，如表8.3所示

如果一個電路的輸入、輸出端能實現(xiàn)與邏輯，則此電路稱為“與門”電路，簡稱“與門”?！芭c門”的符號也就是與邏輯的符號

根據(jù)與門的邏輯功能，還可畫出其波形圖，如圖8.2所示。圖8.2與門波形圖

2)或邏輯(或運算、邏輯加)

當決定一件事情的所有條件中只要有一條具備時，這件事情就能實現(xiàn)，這種因果關系稱為或邏輯，也稱為或運算或邏輯加。

如圖8.3(a)所示的開關電路中，開關A和B中只要有一個閉合，燈Y就會亮，則Y與A和B的關系屬于或邏輯。其邏輯表達式為

式中的“+”表示或邏輯的運算符號?；蜻壿嫷倪壿嫹柸鐖D8.3(b)所示。圖8.3或邏輯關系

或邏輯的運算規(guī)則：

或邏輯真值表如表8.4所示。

我們把輸入、輸出端能實現(xiàn)或邏輯的電路稱為“或門”。其符號也采用或邏輯的符號。工作波形如圖8.4所示。圖8.4或門波形圖

3)非邏輯(非運算、邏輯反)

條件的具備與事情的實現(xiàn)剛好相反，這種因果關系稱為非邏輯，也稱為非運算或邏輯反。

如圖8.5(a)所示的開關電路中，當開關A閉合時，燈Y就不會亮；當開關A斷開時，燈Y就會亮，則Y與A的關系屬于非邏輯。其邏輯表達式為

式中，字母A上方的橫線表示“非邏輯”讀作“非”，即

讀作“A非”。非邏輯的邏輯符號如圖8.5(b)所示。圖8.5非邏輯關系

非邏輯的運算規(guī)則：

非邏輯真值表如表8.5所示。

我們把輸入、輸出端能實現(xiàn)非邏輯的電路稱為“非門”。非門的符號也就是非邏輯的符號。非門工作波形如圖8.6所示。圖8.6非門波形圖

3.常用復合邏輯

基本邏輯的簡單組合稱復合邏輯，實現(xiàn)復合邏輯的電路稱“復合門”電路。

1)與非邏輯

與非邏輯是“與”邏輯和“非”邏輯的組合，先“與”再“非”。其真值表如表8.6所示，邏輯函數(shù)表達式為

我們把輸入、輸出能實現(xiàn)與非邏輯的電路，稱為“與非門”電路，如圖8.7所示?！芭c非門”的符號、邏輯功能和與非邏輯符號相同。圖8.7與非邏輯符號

2)或非邏輯

或非邏輯是“或”邏輯和“非”邏輯的組合，先“或”再“非”。其真值表如表8.7所示，邏輯表達式為

我們把輸入、輸出能實現(xiàn)或非邏輯的電路稱為“或非門”，如圖8.8所示，“或非門”的符號和邏輯功能與或非邏輯的符號相同。圖8.8或非邏輯符號

3)與或非邏輯

與或非邏輯是“與”、“或”、“非”三種基本邏輯的組合，先“與”再“或”最后“非”。其邏輯表達式為

實現(xiàn)與或非邏輯的電路稱為“與或非門”，如圖8.9所示，“與或非門”符號和與或非邏輯的符號相同。圖8.9與或非邏輯符號

4)異或邏輯及同或邏輯

異或邏輯及同或邏輯屬于兩個變量的邏輯函數(shù)。

當兩個輸入變量A、B的取值不同時，輸出變量Y為1；當A、B的取值相同時，輸出變量Y為0。這種邏輯關系稱為異或邏輯，其真值表如表8.8所示，邏輯表達式為

式中，符號“⊕”表示“異或運算”，讀作“異或”。異或邏輯符號如圖8.10所示。圖8.10異或邏輯符號

實現(xiàn)異或邏輯的電路稱為“異或門”，“異或門”的符號與異或邏輯的符號相同。

當兩個輸入變量A、B的取值相同時，輸出變量Y為1；當A、B的取值不同時，輸出變量Y為0。這種邏輯關系稱為同或邏輯，其真值表如表8.9所示，邏輯表達式為

式中，符號“☉”表示“同或運算”，讀作“同或”。同或邏輯符號如圖8.11所示。圖8.11同或邏輯符號

從異或邏輯真值表與同或邏輯真值表對照中，可以看出異或邏輯與同或邏輯互為反函數(shù)，即

實現(xiàn)同或邏輯的電路稱為“同或門”，“同或門”的符號與同或邏輯的符號相同。

5)正、負邏輯

在邏輯電路中有兩種邏輯體制：用“1”表示高電位、“0”表示低電位的，稱為正邏輯體制(簡稱正邏輯)；用“1”表示低電位、“0”表示高電位的，稱為負邏輯體制(簡稱負邏輯)。

8.2.2邏輯代數(shù)的基本定律和基本規(guī)則

1.邏輯函數(shù)的相等

假設有兩個含有n個變量的邏輯函數(shù)Y1和Y2，如果對應于n個變量的所有取值的組合，輸出函數(shù)Y1和Y2的值相等，則稱Y1和Y2這兩個邏輯函數(shù)相等。換言之，兩個相等的邏輯函數(shù)具有相同的真值表。

2.基本定律

根據(jù)基本邏輯運算，可推導出邏輯代數(shù)的基本定律，如表8.11所示。這些公式的正確性可以借助真值表來驗證。

表8.11中的反演律又稱德·摩根定律，并可得出推論

表8.11中的包含律又可稱為多余項定律，即

3.基本規(guī)則

邏輯代數(shù)中以下三個基本規(guī)則是十分重要的。

1)代入規(guī)則

在任何一個含有變量X(假設某變量)的等式中，如果將等式兩邊所有出現(xiàn)變量X的位置都以一個邏輯函數(shù)Y代之，則此等式仍然成立。

3)對偶規(guī)則

如果將任何一個邏輯函數(shù)Y中的“·”變“+”、“+”變“·”，“0”變“1”、“1”變“0”，所有的變量保持不變，這樣所得到的新的函數(shù)式就是原邏輯函數(shù)Y的對偶式，記作Y'。

由原式求對偶式時，要注意原式中的運算順序。

8.2.3邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡

1.化簡的意義和最簡的概念

1)化簡的意義

對于同一個邏輯函數(shù)，如果表達式不同，實現(xiàn)它的邏輯元件也不同。

圖8.12邏輯電路圖

2)最簡的概念

一個給定的邏輯函數(shù)，其真值表是唯一的，但其表達式可以有許多不同的形式。

圖8.13是根據(jù)上述五種表達式畫出的邏輯圖。１

最簡“與或”式的標準是：

(1)乘積項的個數(shù)最少；

(2)每一個乘積項中變量的個數(shù)最少。

2.代數(shù)法化簡

代數(shù)法化簡也稱公式法化簡，就是利用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式來簡化邏輯函數(shù)。

1)并項法

8.2.4邏輯函數(shù)的卡諾圖法化簡

卡諾圖是按一定規(guī)則畫出來的方框圖，也是邏輯函數(shù)的一種表示方法。它可以直觀而方便地化簡邏輯函數(shù)。

1.邏輯函數(shù)的最小項

1)最小項的定義

在邏輯函數(shù)中，設有n個邏輯變量，由這n個邏輯變量所組成的乘積項(與項)中的每個變量只是以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，那么我們把這個乘積項稱為n個變量的一個最小項。

2)最小項的性質

為了分析最小項的性質，列出三變量所有最小項的真值表，如表8.12所示。由表8.12可知，最小項具有下列性質：

(1)對于任意一個最小項，有且僅有一組變量的取值使它的值等于1；

(2)任意兩個不同最小項的乘積恒為0；

(3)n變量的所有最小項之和恒為1。

3)最小項編號

n個變量有2n個最小項。為了敘述和書寫方便，通常對最小項進行編號。最小項用“mi”表示，并按如下方法確定下標“i”的值：把最小項取值為1所對應的那一組變量取值的組合當成二進制數(shù)，與其相應的十進制數(shù)就是i的值。

2.邏輯函數(shù)的標準式——最小項表達式

任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成若干個最小項之和的形式，這樣的表達式就是最小項表達式。而且這種形式是唯一的。

從任何一個邏輯函數(shù)表達式轉化為最小項表達式的方法如下：

(1)由真值表求得最小項表達式。

(2)由一般邏輯函數(shù)式求得最小項表達式。

首先利用公式將表達式變換成一般與或式，再采用配項法，將每個乘積項(與項)都變?yōu)樽钚№棥?/p>

3.卡諾圖

1)卡諾圖的組成及特點

卡諾圖是邏輯函數(shù)的一種表示方式，是根據(jù)真值表按一定的規(guī)則畫出來的一種方塊圖。此規(guī)則就是使邏輯相鄰的關系表現(xiàn)為幾何位置上的相鄰，利用卡諾圖使化簡工作變得直觀。

所謂邏輯相鄰，是指兩個最小項中除了一個變量取值不同外，其余的都相同，那么這兩個最小項具有邏輯上的相鄰性。

所謂幾何相鄰，是指在卡諾圖中排列位置相鄰的那些最小項。

要把邏輯相鄰用幾何相鄰實現(xiàn)，在排列卡諾圖上輸入變量的取值順序時，就不要按自然二進制順序排列，而應對排列順序進行適當調整。對行或列是兩個變量的情況，自變量取值按00，01，11，10排列；對行或列是三個變量的情況，自變量取值按000，001，011，010，110，111，101，100排列。

n個變量的邏輯函數(shù)，具有2n個最小項，對應的卡諾圖也應有2n個小方格。二變量的最小項有22=4個，其對應的二變量卡諾圖由4個小方格組成，并對應表示4個最小項m0~m3，如

圖8.14所示。圖8.14二變量卡諾圖

n個變量的邏輯函數(shù)，具有2n個最小項，對應的卡諾圖也應有2n個小方格。二變量的最小項有22=4個，其對應的二變量卡諾圖由4個小方格組成，并對應表示4個最小項m0~m3，如圖8.14所示。圖8.14二變量卡諾圖

三變量的最小項有23=8個，對應的三變量卡諾圖由8個小方格組成，并對應表示8個最小項，如圖8.15所示圖8.15三變量卡諾圖

四變量最小項的個數(shù)為24=16個，對應的四變量卡諾圖由16個小方格組成，并對應表示16個最小項，如圖8.16所示。圖8.16四變量卡諾圖

由卡諾圖的組成可知，卡諾圖具有如下特點：

(1)n變量的卡諾圖具有2n個小方格，分別表示2n個最小項。每個原變量和反變量總是各占整個卡諾圖區(qū)域的一半。

(2)在卡諾圖中，任意相鄰小方格所表示的最小項都僅有一個變量不同，即這兩個最小項具有“相鄰性”。相鄰的小方格數(shù)是隨著變量的增加而增加的，且等于變量個數(shù)n。

2)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

一個邏輯函數(shù)Y不僅可以用邏輯表達式、真值表、邏輯圖來表示，而且還可以用卡諾圖表示。其基本方法是：根據(jù)給定邏輯函數(shù)畫出對應的卡諾圖框，按構成邏輯函數(shù)最小項的下標在相應的方格中填寫“1”，其余的方格填寫“0”，便得到相應邏輯函數(shù)的卡諾圖。

由已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖時，通常有下列三種情況：

(1)給出的是邏輯函數(shù)的真值表。具體畫法是先畫與給定函數(shù)變量數(shù)相同的卡諾圖，然后根據(jù)真值表來填寫每一個方格的值，也就是在相應的變量取值組合的每一小方格中，函數(shù)值為1的填上“1”，為0的填上“0”，就可以得到函數(shù)的卡諾圖。

例8.11已知邏輯函數(shù)Y的真值表如表8.14所示，畫出Y的卡諾圖。

解先畫出A、B、C三變量的卡諾圖，然后按每一小方格所代表的變量取值，將真值表相同變量取值時的對應函數(shù)值填入小方格中，即得函數(shù)Y的卡諾圖，如圖8.17所示。圖8.17例8.11的卡諾圖

(2)給出的是邏輯函數(shù)最小項表達式。把邏輯函數(shù)的最小項填入相應變量的卡諾圖中，也就是將表達式中所包含的最小項在對應的小方格中填入“1”，其他的小方格填入“0”，這樣所得到的圖形就是邏輯函數(shù)的卡諾圖。

例8.12試畫出函數(shù)

Y(A，B，C，D)=∑m(0，1，3，5，6，8，10，11，15)的卡諾圖。

解先畫出四變量卡諾圖，然后在對應于m0、m1、m3、m5、m6、m8、m10、m11、m15的小方格中填入“1”，其他的小方格填入“0”，如圖8.18所示。圖8.18例8.12的卡諾圖

(3)給出的是一般邏輯函數(shù)表達式。先將一般邏輯函數(shù)表達式變換為與或表達式，然后再變換為最小項表達式，則可得到相應的卡諾圖。

際上，我們在根據(jù)一般邏輯表達式畫卡諾圖時，常常可以從一般“與或”式直接畫卡諾圖。其方法是：把每一個乘積項所包含的那些最小項所對應的小方格都填上“1”，其余的填“0”，就可以直接得到函數(shù)的卡諾圖。圖8.19例8.13的卡諾圖

需要指出的是：

①在填寫“1”時，有些小方格出現(xiàn)重復，根據(jù)1+1=1的原則，只保留一個“1”即可；

②在卡諾圖中，只要填函數(shù)值為“1”的小方格，函數(shù)值為“0”的可以不填；

③上面畫的是函數(shù)Y的卡諾圖。若要畫Y的卡諾圖，則要將Y中的各個最小項用“0”填寫，其余填寫“1

圖8.20、圖8.21、圖8.22分別畫出了相鄰2個小方格的最小項、相鄰4個小方格的最小項、相鄰8個小方格的最小項合并的情況。圖8.202個最小項的合并圖8.214個最小項的合并圖8.228個最小項的合并

2)利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

一般按以下三個步驟進行：

(1)畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖；

(2)按合并最小項的規(guī)律合并最小項，將可以合并的最小項分別用包圍圈(復合圈)圈出來；

(3)將每個包圍圈所得的乘積項相加，就可得到邏輯函數(shù)最簡“與或”表達式。圖8.23例8.14的卡諾圖圖8.24例8.15的卡諾圖

復合最小項應遵循的原則是：

①按合并最小項的規(guī)律，對函數(shù)所有的最小項畫包圍圈；

②包圍圈的個數(shù)要最少，使得函數(shù)化簡后的乘積項最少；

③一般情況下，應使每個包圍圈盡可能大，則每個乘積項中變量的個數(shù)最少；

④最小項可以被重復使用，但每一個包圍圈至少要有一個新的最小項(尚未被圈過)。

需要指出的是：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時，由于對最小項畫包圍圈的方式不同，得到的最簡“與或”式往往也不同。

卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)的優(yōu)點是簡單、直觀、容易掌握，但不適用于五變量以上邏輯函數(shù)的化簡。

5.具有無關項的邏輯函數(shù)的化簡

1)無關項

在前面所討論的邏輯函數(shù)中，我們認為邏輯變量的取值是獨立的，不受其他變量取值的制約。但是，在某些實際問題的邏輯關系中，變量和變量之間存在一定的制約關系，即對應于n個輸入變量的某些取值，不一定所有的變量取值組合都會出現(xiàn)，函數(shù)僅與其中的一部分有關，與另一部分無關，通常將那些與函數(shù)邏輯值無關的最小