2024屆山東省膠州一中高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試題

2024屆山東省膠州一中高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的值為（）A．0 B．1 C． D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出屬于（）A． B． C． D．4．若變量，滿足，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．105．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內(nèi)隨機取一點，若此點取自陰影部分的概率為，取自非陰影部分的概率為，則（）A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定6．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（）A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里7．命題：存在實數(shù)，對任意實數(shù)，使得恒成立；：，為奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是（）A． B． C． D．8．設(shè)集合，，若集合中有且僅有2個元素，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．9．已知曲線的一條對稱軸方程為，曲線向左平移個單位長度，得到曲線的一個對稱中心的坐標(biāo)為，則的最小值是（）A． B． C． D．10．已知集合，則=A． B． C． D．11．已知集合，則()A． B．C． D．12．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，.若，則實數(shù)a的值是______.14．某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制，再次燒制過程相互獨立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6、0.5、0.75；則第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為________；經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的件數(shù)為，則隨機變量的期望為________.15．展開式中的系數(shù)為_______________．16．已知兩個單位向量滿足，則向量與的夾角為_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的四個頂點圍成的四邊形的面積為，原點到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知定點，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點？若存在，求出的方程：若不存在，請說明理由.18．（12分）團購已成為時下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費方式，不少商家同時加入多家團購網(wǎng).現(xiàn)恰有三個團購網(wǎng)站在市開展了團購業(yè)務(wù)，市某調(diào)查公司為調(diào)查這三家團購網(wǎng)站在本市的開展情況，從本市已加入了團購網(wǎng)站的商家中隨機地抽取了50家進(jìn)行調(diào)查，他們加入這三家團購網(wǎng)站的情況如下圖所示.（1）從所調(diào)查的50家商家中任選兩家，求他們加入團購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率；（2）從所調(diào)查的50家商家中任取兩家，用表示這兩家商家參加的團購網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）將頻率視為概率，現(xiàn)從市隨機抽取3家已加入團購網(wǎng)站的商家，記其中恰好加入了兩個團購網(wǎng)站的商家數(shù)為，試求事件“”的概率.19．（12分）已知橢圓的右焦點為，直線被稱作為橢圓的一條準(zhǔn)線，點在橢圓上(異于橢圓左、右頂點)，過點作直線與橢圓相切，且與直線相交于點.（1）求證：.（2）若點在軸的上方，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線的斜率.附：多項式因式分解公式：20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，長為3的線段的兩端點分別在軸、軸上滑動，點為線段上的點，且滿足.記點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點為曲線上的兩個動點，記，判斷是否存在常數(shù)使得點到直線的距離為定值？若存在，求出常數(shù)的值和這個定值；若不存在，請說明理由.21．（12分）設(shè)等差數(shù)列的首項為0，公差為a，；等差數(shù)列的首項為0，公差為b，.由數(shù)列和構(gòu)造數(shù)表M，與數(shù)表；記數(shù)表M中位于第i行第j列的元素為，其中，（i，j=1，2，3，…）.記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為，其中（，，）.如：，.（1）設(shè)，，請計算，，；（2）設(shè)，，試求，的表達(dá)式（用i，j表示），并證明：對于整數(shù)t，若t不屬于數(shù)表M，則t屬于數(shù)表；（3）設(shè)，，對于整數(shù)t，t不屬于數(shù)表M，求t的最大值.22．（10分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過原點且傾斜角為的射線與曲線分別交于兩點（異于原點），求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先根據(jù)已知條件求解出的通項公式，然后根據(jù)的單調(diào)性以及得到滿足的不等關(guān)系，由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得，則.因為，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，則，化簡得，所以.故選：D.【點睛】本題考查數(shù)列通項公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍，難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性，可根據(jù)之間的大小關(guān)系分析問題.2、A【解析】

根據(jù)輸入的值大小關(guān)系，代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入，，因為，所以由程序框圖知，輸出的值為.故選：A【點睛】本題考查了對數(shù)式大小比較，條件程序框圖的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由題意，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，求解即得解.【詳解】由題意可知，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，當(dāng)；當(dāng)綜上：.故選：B【點睛】本題考查了條件分支的程序框圖，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可．【詳解】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：如圖點坐標(biāo)分別為，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為，可行域內(nèi)點與坐標(biāo)原點的距離的平方，由圖可知到原點的距離最大，故.故選：D【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．5、B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式可求得．【詳解】根據(jù)題意，陰影部分的面積的一半為：，于是此點取自陰影部分的概率為．又，故．故選B．【點睛】本題考查了幾何概型，定積分的計算以及幾何意義，屬于中檔題．6、A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內(nèi)角，再結(jié)合AB可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.在△ABC中，由正弦定理得，即，∴.故選：A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.7、A【解析】

分別判斷命題和的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項.【詳解】對于命題，由于，所以命題為真命題.對于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數(shù)，故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由題意知且，結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知，，則，故，又，則，所以，所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運算，以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題，其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

在對稱軸處取得最值有，結(jié)合，可得，易得曲線的解析式為，結(jié)合其對稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對稱軸.，又..∴平移后曲線為.曲線的一個對稱中心為..，注意到故的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的平移、函數(shù)的對稱性，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運算的能力，是一道中檔題.10、C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．11、B【解析】

先由得或，再計算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B【點睛】本題主要考查了集合的交集，補集的運算，考查學(xué)生的運算求解能力.12、B【解析】

對分類討論，當(dāng)，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，即可求解.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，的遞增區(qū)間是，所以，即.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性，熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解析】

根據(jù)集合交集的定義即得.【詳解】集合，，，，則a的值是9.故答案為：9【點睛】本題考查集合的交集，是基礎(chǔ)題.14、0.380.9【解析】

考慮恰有一件的三種情況直接計算得到概率，隨機變量的可能取值為，計算得到概率，再計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為：.甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為：，，.故隨機變量的可能取值為，故；；；.故.故答案為：0.38；0.9.【點睛】本題考查了概率的計算，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.15、【解析】

把按照二項式定理展開，可得的展開式中的系數(shù)．【詳解】解：，故它的展開式中的系數(shù)為，故答案為：．【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

由得，即得解.【詳解】由題意可知，則.解得，所以，向量與的夾角為.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算和夾角的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，且方程為或.【解析】

（1）依題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求得a,b,進(jìn)而可得到橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓得到，要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點，則，結(jié)合韋達(dá)定理可得到參數(shù)值.【詳解】（1）直線的一般方程為.依題意，解得，故橢圓的方程式為.（2）假若存在這樣的直線，當(dāng)斜率不存在時，以為直徑的圓顯然不經(jīng)過橢圓的左頂點，所以可設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.由，得.由，得.記，的坐標(biāo)分別為，，則，，而.要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點，則，即，所以，整理解得或，所以存在過的直線，使與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點，直線的方程為或.【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．18、（1）;（2）從而的分布列為012;（3）.【解析】

（1）運用概率的計算公式求概率分布，再運用數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解；（2）借助題設(shè)條件運用貝努力公式進(jìn)行分析求解：（1）記所選取額兩家商家加入團購網(wǎng)站的數(shù)量相等為事件，則，所以他們加入團購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率為.（2）由題，知的可能取值分別為0，1，2，，，從而的分布列為012.（3）所調(diào)查的50家商家中加入了兩個團購網(wǎng)站的商家有25家，將頻率視為概率，則從市中任取一家加入團購網(wǎng)站的商家，他同時加入了兩個團購網(wǎng)站的概率為，所以，所以事件“”的概率為.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由得令可得，進(jìn)而得到，同理，利用數(shù)量積坐標(biāo)計算即可；（2），分，兩種情況討論即可.【詳解】（1）證明：點的坐標(biāo)為.聯(lián)立方程，消去后整理為有，可得，，.可得點的坐標(biāo)為.當(dāng)時，可求得點的坐標(biāo)為，，.有,故有.（2）若點在軸上方，因為，所以有，由（1）知①因為時.由（1）知，由函數(shù)單調(diào)遞增，可得此時.②當(dāng)時，由（1）知令由，故當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增：當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，又由，故函數(shù)的最小值，函數(shù)取最小值時，可求得.由①②知，若點在軸上方，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，直線的斜率為.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到分類討論求函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運算求解能力，是一道難題.20、（1）（2）存在；常數(shù)，定值【解析】

（1）設(shè)出的坐標(biāo)，利用以及，求得曲線的方程.（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，求得到直線的距離.聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合以及為定值，求得的值.當(dāng)直線的斜率不存在時，驗證.由此得到存在常數(shù)，且定值.【詳解】（1）解析：（1）設(shè)，，由題可得，解得又，即，消去得：（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為設(shè)，由可得：由點到的距離為定值可得（為常數(shù)）即得：即，又為定值時，，此時，且符合當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線方程為由題可得，時，，經(jīng)檢驗，符合條件綜上可知，存在常數(shù)，且定值【點睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，考查橢圓中的定值問題，屬于難題.21、（1）（2）詳見解析（3）29【解析】

（1）將，代入，可求出，，可代入求，，可求結(jié)果．（2）可求，，通過反證法證明，（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．【詳解】（1）由題意知等差數(shù)列的通項公式為：；等差數(shù)列的通項公式為：，得，則，，得，故．（2）證明：已知．，由題意知等差數(shù)列的通項公式為：；等差數(shù)列的通項公式為：，得，，．得，，，．所以若，則存在，，使，若，則存在，，，使，因此，對于正整數(shù)，考慮集合，，，即，，，，，，．下面證明：集合中至少有一元素是7的倍數(shù)．反證法：假設(shè)集