2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量5從力做的功到向量的數(shù)量積課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修4

PAGE其次章平面對(duì)量[課時(shí)作業(yè)][A組基礎(chǔ)鞏固]1．已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，則(a＋2b)·(a－3b)等于()A．72 B．－72C．36 D．－36解析：∵a·b＝|a||b|cos60°＝12，∴(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝36－12－96＝－72.答案：B2．設(shè)向量a，b，c滿意a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，則|c|2＝()A．1 B．4C．2 D．5解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，∴|c|2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋0＋22＝5.答案：D3．已知向量a，b滿意|a|＝2，|b|＝2，且a·b＝2eq\r(2)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：設(shè)向量a與b的夾角為θ.∵a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2\r(2),2×2)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝eq\f(π,4).答案：B4．若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則|a|＝()A．2 B．4C．6 D．12解析：∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4.又|a|≥0，∴|a|＝6.答案：C5．若非零向量a，b滿意|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4) D．π解析：因?yàn)?a－b)⊥(3a＋2b)，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0.設(shè)a與b的夾角為θ(0≤θ≤π)，又|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，所以3(eq\f(2\r(2),3)|b|)2－eq\f(2\r(2),3)|b|2cosθ－2|b|2＝0.因?yàn)閨b|≠0，所以上式可變形為eq\f(8,3)－eq\f(2\r(2),3)cosθ－2＝0，解得cosθ＝eq\f(\r(2),2).因?yàn)?≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,4).故選A.答案：A6．設(shè)向量a，b滿意|a＋b|＝3，|a－b|＝1，a與b夾角為θ，則eq\f(|a|,|b|cosθ)＋eq\f(|b|,|a|cosθ)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,2)C.eq\f(5,4) D．3解析：∵|a＋b|＝3，∴a2＋2a·b＋b2＝9①.又|a－b|＝1，∴a2－2a·b＋b2＝1②.由①②得a·b＝2，a2＋b2＝5，∴eq\f(|a|,|b|cosθ)＋eq\f(|b|,|a|cosθ)＝eq\f(|a|2,|a||b|cosθ)＋eq\f(|b|2,|a||b|cosθ)＝eq\f(a2＋b2,a·b)＝eq\f(5,2).故選B.答案：B7．已知單位向量e1，e2的夾角為120°，則|2e1－e2|＝________.解析：|2e1－e2|＝eq\r(2e1－e22)＝eq\r(4e\o\al(2,1)－4e1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(5－4×1×1×cos120°)＝eq\r(7).答案：eq\r(7)8．已知△ABC，O為△ABC所在平面上任一點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(OA,\s\up8(→))，試推斷點(diǎn)O為△ABC的________心．解析：∵eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))?eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))＝0?eq\o(OB,\s\up8(→))·(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up8(→))⊥eq\o(CA,\s\up8(→))，即BO⊥AC.同理，AO⊥BC，CO⊥AB.∴點(diǎn)O為△ABC的垂心．答案：垂9．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，設(shè)a與b的夾角為θ.(1)若θ＝eq\f(π,3)，求|a＋b|；(2)若a與a－b垂直，求θ.解析：(1)|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋2×1×\r(2)cos\f(π,3)＋2)＝eq\r(3＋\r(2)).(2)由a·(a－b)＝0，得a2＝a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝eq\f(a2,|a||b|)＝eq\f(1,1×\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∴θ＝eq\f(π,4).10．已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝3，a與b的夾角為45°，求使向量a＋λb與λa＋b的夾角為銳角時(shí)λ的取值范圍．解析：設(shè)a＋λb與λa＋b的夾角為θ.則cosθ＝eq\f(a＋λb·λa＋b,|a＋λb||λa＋b|)＞0，即(a＋λb)·(λa＋b)＞0，綻開(kāi)得，λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2＞0.∵|a|＝eq\r(2)，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|cos45°＝3，∴2λ＋3(λ2＋1)＋9λ＞0，即3λ2＋11λ＋3＞0.∴λ＜eq\f(－11－\r(85),6)或λ＞eq\f(－11＋\r(85),6).另外θ＝0°時(shí)，λ＝1.故λ≠1，∴λ∈(－∞，eq\f(－11－\r(85),6))∪(eq\f(－11＋\r(85),6)，1)∪(1，＋∞)．[B組實(shí)力提升]1．在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝1，點(diǎn)P在AM上且滿意eq\o(AP,\s\up8(→))＝2eq\o(PM,\s\up8(→))，則eq\o(PA,\s\up8(→))·(eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))等于()A．－eq\f(4,9) B.eq\f(4,9)C．－eq\f(4,3) D.eq\f(4,3)解析：由題意可知，eq\o(PA,\s\up8(→))·(eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))＝eq\o(PA,\s\up8(→))·2eq\o(PM,\s\up8(→))＝eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(AP,\s\up8(→))＝－eq\o(PA,\s\up8(→))2＝－(eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up8(→)))2＝－eq\f(4,9).答案：A2．若O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿意(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝0，則△ABC肯定是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形解析：∵(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))2－eq\o(AC,\s\up8(→))2＝0，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|.答案：A3．若兩個(gè)非零向量a，b滿意|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a－b的夾角是________．解析：由|a＋b|2＝|a－b|2知a·b＝0.又|a－b|2＝4|a|2，∴|a|2－2a·b＋|b|2＝4|a|2∴|b|2＝3|a|2∴|b|＝eq\r(3)|a|∴cosθ＝eq\f(a＋ba－b,|a＋b|·|a－b|)＝eq\f(|a|2－|b|2,4|a|2)＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)4．已知向量a，b滿意|a|＝2，|b|＝1，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，則a，b的夾角的大小為_(kāi)_______．解析：由題意可知，|a＋xb|2≥|a＋b|2，即a2＋2xa·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2，設(shè)a與b的夾角為θ，則4＋4xcosθ＋x2≥4＋4cosθ＋1，即x2＋4cosθx－1－4cosθ≥0.因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，所以Δ＝(4cosθ)2＋4(1＋4cosθ)≤0，即(2cosθ＋1)2≤0，所以2cosθ＋1＝0，cosθ＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)5．設(shè)平面內(nèi)兩向量a與b相互垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k與t是兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)．(1)若x＝a＋(t－3)b與y＝－ka＋tb垂直，求k關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式k＝f(t)；(2)求函數(shù)k＝f(t)的最小值．解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.又x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t2－3t＝0，即k＝eq\f(1,4)(t2－3t)．(2)由(1)知，k＝eq\f(1,4)(t2－3t)＝eq\f(1,4)(t－eq\f(3,2))2－eq\f(9,16)，即函數(shù)k＝f(t)的最小值為－eq\f(9,16).6．已知非零向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))和eq\o(BC,\s\up8(→))滿意(eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，且eq\f(\o(AC,\s\up8(→))·\o(BC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))||\o(BC,\s\up8(→))|)＝eq\f(\r(2),2)，試推斷△ABC的形態(tài)．解析：∵eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)，eq\f(\o(AC,\s\up8(→)),\a\vs4\al(|\o(AC,\s\up8(→)))|)分別表示與eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))同向的單位向量，∴以eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)，eq\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)為鄰邊的平行四邊形為菱形．∴表示向量eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)的有向線段在角A平分線上．∴由(eq\f(\o