2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案30第四章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第五講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入含解析新人教版

第五講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2024·葫蘆島模擬)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝1＋2i，則復(fù)數(shù)z的模為(D)A．1 B．2eq\r(2)C．eq\r(3) D．eq\r(5)[解析]依題意，|z|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，故選D.2．(2024·3月份北京市高考適應(yīng)性測(cè)試)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i(3－2i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(B)A．(3，2) B．(2，3)C．(－2，3) D．(2，－3)[解析]i(3－2i)＝3i＋2＝2＋3i，故選B.3．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)z＝i(2＋i)，則z－＝(D)A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i[解析]依題意得z＝i2＋2i＝－1＋2i，z－＝－1－2i，故選D.4．(2024·沈陽(yáng)市教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))若i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)eq\f(2＋3i,1＋i)的實(shí)部與虛部之積為(B)A．－eq\f(5,4) B．eq\f(5,4)C．eq\f(5,4)i D．－eq\f(5,4)i[解析]因?yàn)閑q\f(2＋3i,1＋i)＝eq\f(（2＋3i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)i，所以實(shí)部為eq\f(5,2)，虛部為eq\f(1,2)，實(shí)部與虛部之積為eq\f(5,4).故選B.5．(2024·貴州37校聯(lián)考)復(fù)數(shù)z＝eq\f(1＋i,1－i)的共軛復(fù)數(shù)是(D)A．1＋i B．1－iC．i D．－i[解析]因?yàn)閦＝eq\f(1＋i,1－i)＝i，故z的共軛復(fù)數(shù)z－＝－i，故選D.6．(2024·湖南株洲質(zhì)檢)已知復(fù)數(shù)z滿意(1－i)z＝|2i|，i為虛數(shù)單位，則z等于(B)A．1－i B．1＋iC.eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i D．eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i[解析]由(1－i)z＝|2i|，可得z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(2（1＋i）,2)＝1＋i，故選B.7．(2024·五省優(yōu)創(chuàng)名校聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z1，z2滿意z1＝eq\f(1,\r(2)－i)－eq\f(1,\r(2)＋i)，z1(z2－2)＝1，則|z2|＝(A)A．eq\f(5,2) B．3C．eq\f(7,2) D．4[解析]因?yàn)閦1＝eq\f(1,\r(2)－i)－eq\f(1,\r(2)＋i)＝eq\f(2i,3)，z2＝eq\f(1,z1)＋2＝eq\f(4－3i,2)，所以|z2|＝eq\f(5,2).8．(2024·江西臨川一中模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z1＝i，z2＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z＝z1·z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是(B)A．1 B．eq\r(2)C．2 D．eq\f(\r(2),2)[解析]因?yàn)閦＝i(1＋i)＝－1＋i，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－1，1)，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是|z|＝eq\r(2)，故選B.二、多選題9．假如復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)，則下面正確的是(ABD)A．z的共軛復(fù)數(shù)為－1＋iB．z的虛部為－1C．|z|＝2D．z的實(shí)部為－1[解析]因?yàn)閦＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）)＝eq\f(－2－2i,2)＝－1－i，所以z的實(shí)部為－1，虛部為－1，共軛復(fù)數(shù)為－1＋i，故選A、B、D.10．已知復(fù)數(shù)z滿意i2k＋1·z＝2＋i，(k∈Z)則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能位于(BD)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵i2k＋1·z＝2＋i，∴z＝eq\f(2＋i,i2k＋1)，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，i2k＋1＝－i，∴z＝－1＋2i，位于其次象限；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，i2k＋1＝i，∴z＝1－2i，位于第四象限，故選B、D.三、填空題11．(2024·福建漳州高考適應(yīng)性測(cè)試)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,i)，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)．[解析]復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,i)＝eq\f(i,i2)＝－i，故eq\o(z,\s\up6(－))＝i，得eq\o(z,\s\up6(－))在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)．12．(2024·天津和平區(qū)線上檢測(cè))設(shè)復(fù)數(shù)z滿意(1＋i)z＝3－i，則|z|＝eq\r(5)．[解析]由題意得，z＝eq\f(3－i,1＋i)＝eq\f(（3－i）（1－i）,2)＝eq\f(2－4i,2)＝1－2i，所以|z|＝eq\r(12＋（－2）2)＝eq\r(5).13．(2024·江蘇南京十三中調(diào)研)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(2＋i,1－i)，則復(fù)數(shù)z的虛部為eq\f(3,2)．[解析]由題意得，復(fù)數(shù)z＝eq\f(2＋i,1－i)＝eq\f(（2＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，所以復(fù)數(shù)z的虛部為eq\f(3,2).14．(2024·浙江溫州聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(1＋ai,i)(a∈R)的實(shí)部為eq\r(3)，則a＝eq\r(3)，|z|＝2．[解析]∵z＝eq\f(1＋ai,i)＝eq\f(（1＋ai）（－i）,－i2)＝a－i的實(shí)部為eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，則|z|＝eq\r(（\r(3)）2＋（－1）2)＝2.B組實(shí)力提升1．(2024·河南商丘九校聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z＝eq\f(1＋i,a－i)(a∈R，i為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則|z|的值為(A)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2[解析]由題意可設(shè)z＝eq\f(1＋i,a－i)＝bi(b∈R且b≠0)，則b＋abi＝1＋i，解得b＝1，即z＝i，則|z|＝1，故選A.2．(2024·河北張家口期末)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿意(1－2i)z＝3－4i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(C)A．其次象限 B．第三象限C．直線2x－11y＝0上 D．直線2x＋11y＝0上[解析]本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義．由(1－2i)z＝3－4i，得z＝eq\f(3－4i,1－2i)＝eq\f(（3－4i）（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＝eq\f(11,5)＋eq\f(2,5)i.故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,5)，\f(2,5)))，位于直線2x－11y＝0上，故選C.3．(2024·福建福州五校聯(lián)考)若復(fù)數(shù)eq\f(1－bi,2＋i)(b∈R，i為虛數(shù)單位)的實(shí)部與虛部相等，則b的值為(B)A．－6 B．－3C．3 D．6[解析]解法一：由題意可設(shè)eq\f(1－bi,2＋i)＝a＋ai(a∈R)，即1－bi＝(2＋i)(a＋ai)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝a，,－b＝3a))∴b＝－3.解法二：eq\f(1－bi,2＋i)＝eq\f(（1－bi）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(（2－b）－（1＋2b）i,5)，∴2－b＝－(1＋2b)，解得b＝－3.4．(2024·山西大同模擬)若復(fù)數(shù)z滿意|z－eq\r(3)－i|＝1(i為虛數(shù)單位)，則|z|的最大值為(C)A．1 B．2C．3 D．eq\r(3)＋1[解析]本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模．設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－eq\r(3)－i|＝1可得復(fù)數(shù)(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1，即復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(eq\r(3)，1)為圓心，以1為半徑的圓，則|z|的最大值為eq\r(12＋（\r(3)）2