2024-2025學年高中數(shù)學第二章解析幾何初步2.2圓與圓的方程2.2.3第2課時圓與圓的位置關系課時分層作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGE課時分層作業(yè)二十五圓與圓的位置關系一、選擇題(每小題5分，共30分)1.(2024·重慶高二檢測)圓O1：x2+y2-2x=0和圓O2：x2+y2-4y=0的位置關系是 ()A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切【解析】選B.圓O1的圓心坐標為(1，0)，半徑長r1=1，圓O2的圓心坐標為(0，2)，半徑長r2=2，故兩圓的圓心距d=QUOTE，而r2-r1=1，r1+r2=3，則有r2-r1<d<r1+r2，故兩圓相交.2.已知圓C1，C2相切，圓心距為10，其中圓C1的半徑為4，則圓C2的半徑為 ()A.6或14 B.10 C.14 D.不確定【解析】選A.設圓C2的半徑為r，由題意知，r+4=10或10=|r-4|，所以r=6或r=14.3.圓x2+y2=1與x2+y2-2x-2y=0的位置關系是 ()A.相交 B.相離 C.內(nèi)含 D.外切【解析】選A.圓心距d=QUOTE=QUOTE<1+QUOTE，且d>QUOTE-1，故兩圓相交.4.(2024·石家莊高二檢測)設圓C1，C2都和兩坐標軸相切，且都過點(4，1)，則兩圓心的距離|C1C2|等于 ()A.4 B.4QUOTE C.8 D.8QUOTE【解析】選C.因為圓C1，C2和兩坐標軸相切，且都過點(4，1)，所以兩圓都在第一象限內(nèi)，設圓心坐標為(a，a)，則|a|=QUOTE，解得a=5+2QUOTE或a=5-2QUOTE，可取C1(5+2QUOTE，5+2QUOTE)，C2(5-2QUOTE，5-2QUOTE)，故|C1C2|=QUOTE=8，故選C.5.圓C1：x2+y2+2x+2y-2=0與圓C2：x2+y2-4x-2y+4=0的公切線有 ()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【解析】選D.圓C1：(x+1)2+(y+1)2=4，所以圓心C1(-1，-1)，半徑r1=2；圓C2：(x-2)2+(y-1)2=1，所以圓心C2(2，1)，半徑r2=1.所以兩圓心的距離d=QUOTE=QUOTE，r1+r2=3，所以d>r1+r2，所以兩圓外離，所以兩圓有4條公切線.6.(2015·山東高考)一條光線從點(-2，-3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切，則反射光線所在直線的斜率為 ()A.-QUOTE或-QUOTE B.-QUOTE或-QUOTEC.-QUOTE或-QUOTE D.-QUOTE或-QUOTE【解析】選D.反射光線過點(2，-3)，設反射光線所在直線方程為y+3=k(x-2)，即kx-y-2k-3=0，反射光線與圓相切，圓心(-3，2)到直線的距離等于半徑1，即QUOTE=1，解得k=-QUOTE或k=-QUOTE.二、填空題(每小題5分，共10分)7.過兩圓(x+3)2+(y+2)2=13與(x+2)2+(y+1)2=9的交點的直線方程是__________________.

【解析】圓(x+3)2+(y+2)2=13可化為x2+y2+6x+4y=0，圓(x+2)2+(y+1)2=9可化為x2+y2+4x+2y-4=0，兩圓的方程相減可得x+y+2=0，即為過兩圓交點的直線方程.答案：x+y+2=08.圓x2+y2-4=0與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦長為_________.

【解析】由QUOTE得兩圓公共弦所在直線為x-y+2=0.又圓x2+y2=4的圓心到直線x-y+2=0的距離為QUOTE=QUOTE.由勾股定理得弦長的一半為QUOTE=QUOTE，所以所求弦長為2QUOTE.答案：2QUOTE三、解答題(每小題10分，共20分)9.求經(jīng)過直線x=-2與已知圓x2+y2+2x-4y-11=0的交點的全部圓中，面積最小的圓的方程.【解析】解方程組QUOTE解得兩交點的坐標為A(-2，2+QUOTE)，B(-2，2-QUOTE).從而圓心C的坐標為(-2，2).半徑r=QUOTE·|AB|=QUOTE|2+QUOTE-(2-QUOTE)|=QUOTE.因此，所求圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=15.【一題多解】本題還可用如下方法求解：方法一：直線x=-2與圓x2+y2+2x-4y-11=0的交點A，B的橫坐標都為-2，從而圓心C的橫坐標為-2，設A，B的縱坐標分別為y1，y2，把直線方程代入圓方程，整理得y2-4y-11=0.則y1+y2=4，y1y2=-11.所以圓心的縱坐標為QUOTE=2.半徑r=QUOTE|y2-y1|=QUOTE=QUOTE=QUOTE，所以所求圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=15.方法二：因為直線x+2=0和圓x2+y2+2x-4y-11=0相交，故可設過交點的圓的方程為x2+y2+2x-4y-11+λ(x+2)=0(λ≠-1)，即x2+(λ+2)x+y2-4y+2λ-11=0.所以半徑r=QUOTE=QUOTE要使圓面積最小，只需半徑r最小.當λ=2時，r最小值為QUOTE，所以所求圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=15.10.若☉O：x2+y2=5與☉O1：(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線相互垂直，求線段AB的長.【解析】☉O1與☉O在A處的切線相互垂直，如圖，可知兩切線分別過另一圓的圓心，所以O1A⊥OA.又因為|OA|=QUOTE，|O1A|=2QUOTE，所以|OO1|=5.又A，B關于OO1所在直線對稱，所以AB長為Rt△OAO1斜邊上的高的2倍，所以|AB|=2×QUOTE=4.一、選擇題(每小題5分，共25分)1.設r>0，兩圓C1：(x-1)2+(y+3)2=r2與C2：x2+y2=16不行能 ()A.相切 B.相交C.內(nèi)切或內(nèi)含或相交 D.外切或相離【解析】選D.圓C1的圓心為(1，-3)，圓C2的圓心為(0，0)，圓心距d=QUOTE，于是d=QUOTE<4+r，但可能有d=|4-r|或d<|4-r|，故兩圓不行能外切或相離，但可能相交、內(nèi)切、內(nèi)含.2.圓(x-4)2+y2=9和圓x2+(y-3)2=4的公切線有 ()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【解析】選C.兩圓的圓心分別為(4，0)，(0，3)，半徑分別為3，2，所以兩圓的圓心距為QUOTE=5=3+2，所以兩圓相外切，所以公切線有3條.【補償訓練】圓x2+y2+4x-4y+7=0與圓x2+y2-4x+10y+13=0的位置關系是 ()A.相離 B.相交C.相切 D.相交或相切【解析】選A.兩圓的圓心距d=QUOTE=QUOTE，半徑r1=1，r2=4，所以d>r1+r2，所以兩圓相離.3.(2024·湖南六校聯(lián)考)已知圓C1：x2+y2-4x+2y+5-a2=0與圓C2：x2+y2-(2b-10)x-2by-10b+16=0相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，且滿意QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE，則b= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.兩圓公共弦AB所在的直線方程為(2b-14)x+(2+2b)y+5-a2+10b-16=0，圓C1的圓心C1(2，-1)，因為QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE，所以|OA|=|OB|(O為坐標原點)，故OC1⊥AB，QUOTE·kAB=-1，得QUOTE×QUOTE=-1，得b=QUOTE.4.(2024·山東高考)已知圓M：x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2QUOTE，則圓M與圓N：(x-1)2+(y-1)2=1的位置關系是 ()A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離【解析】選B.圓M的標準方程為x2+(y-a)2=a2(a>0)，圓心M(0，a)，半徑r=a，因為截直線x+y=0所得線段的長度是2QUOTE，所以QUOTE+QUOTE=a2，解得a=2，又圓N的圓心N(1，1)，半徑R=1，所以|MN|=QUOTE=QUOTE，|R-r|=1，R+r=3，所以|R-r|<|MN|<R+r，所以圓M與圓N相交.5.半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2+(y-3)2=1內(nèi)切，則此圓的方程是 ()A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x±4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x±4)2+(y-6)2=36【解析】選D.設圓心坐標為(a，b)，由所求圓與x軸相切，且與圓x2+(y-3)2=1相內(nèi)切，可知所求圓的圓心必在x軸的上方，且b=6，即圓心為(a，6).由兩圓內(nèi)切，可得QUOTE=6-1=5，所以a=±4.所以所求圓的方程為(x±4)2+(y-6)2=36.【補償訓練】點M在圓C1：(x+3)2+(y-1)2=4上，點N在圓C2：(x-1)2+(y+2)2=4上，則MN的最大值是 ()A.5 B.7 C.9 D.11【解析】選C.C1為(x+3)2+(y-1)2=4，C2為(x-1)2+(y+2)2=4，所以圓心分別為(-3，1)，(1，-2)，所以兩圓圓心距為5.又兩圓半徑分別為2，2，所以兩圓外離，所以MN的最大值是5+2+2=9.二、填空題(每小題5分，共20分)6.(2024·沭陽高二檢測)已知圓C1：(x-1)2+(y+1)2=4與圓C2：(x+1)2+(y-1)2=2，則兩圓公共弦所在的直線方程為_________.

【解析】兩圓方程相減，運用平方差公式，得(x-1)2-(x+1)2+(y+1)2-(y-1)2=2，即2x×(-2)+2y×2=2，即2x-2y+1=0.答案：2x-2y+1=07.與直線x+y-2=0和曲線x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標準方程是__________________.

【解析】曲線化為(x-6)2+(y-6)2=18，其圓心C1(6，6)到直線x+y-2=0的距離為d=QUOTE=5QUOTE.過點C1且垂直于x+y-2=0的直線為y-6=x-6，即y=x，所以所求的最小圓的圓心C2在直線y=x上，如圖所示，圓心C2到直線x+y-2=0的距離為QUOTE=QUOTE，則圓C2的半徑長為QUOTE.設C2的坐標為(x0，x0)，則QUOTE=QUOTE，解得x0=2(x0=0舍去)，所以圓心C2的坐標為(2，2)，所以所求圓的標準方程為(x-2)2+(y-2)2=2.答案：(x-2)2+(y-2)2=2【補償訓練】(2024·大連高一檢測)我們把圓心在一條直線上且相鄰兩圓彼此外切的一組圓叫做“串圓”.在如圖所示的“串圓”中，圓C1和圓C3的方程分別為x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=1，則圓C2的方程為_________.

【解析】由題意知：C1(0，0)，C3(3，4)，所以|C1C3|=5，又因為r1=r3=1，所以r2=QUOTE=QUOTE.又因為|C1C2|=1+QUOTE=QUOTE，所以C2QUOTE.所以圓C2的方程為QUOTE+(y-2)2=QUOTE.答案：QUOTE+(y-2)2=QUOTE8.點P在圓C1：x2+y2-8x-4y+11=0上，點Q在圓C2：x2+y2+4x+2y+1=0上，則|PQ|的最小值是_________.

【解析】把圓C1、圓C2的方程都化成標準方程得(x-4)2+(y-2)2=9，(x+2)2+(y+1)2=4.圓C1的圓心坐標是(4，2)，半徑長是3；圓C2的圓心坐標是(-2，-1)，半徑是2.圓心距d=QUOTE=3QUOTE.所以，|PQ|的最小值是3QUOTE-5.答案：3QUOTE-59.若點A(1，0)和點B(4，0)到直線l的距離依次為1和2，則這樣的直線有_________條.

【解析】如圖，分別以A，B為圓心，1，2為半徑作圓.由已知，直線l是圓A的切線，A到l的距離為1，直線l也是圓B的切線，B到l的距離為2，所以直線l是兩圓的公切線，共3條(2條外公切線，1條內(nèi)公切線).答案：3三、解答題(每小題10分，共30分)10.已知圓C1：x2+y2-10x-10y=0和圓C2：x2+y2+6x+2y-40=0相交于A，B兩點，求公共弦AB的長.【解題指南】聯(lián)立兩圓的方程，求出兩圓的交點，利用兩點間的距離公式求出公共弦長.【解析】由兩圓方程相減得公共弦AB所在直線的方程為：4x+3y-10=0.由QUOTE解得QUOTE或QUOTE令A(-2，6)，B(4，-2).故|AB|=QUOTE=10.【一題多解】由原題解法，先求出公共弦所在直線l的方程為4x+3y-10=0.過C1作C1D⊥AB于