2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章概率3.1.3概率的基本性質(zhì)學(xué)案含解析新人教A版必修3

PAGE3.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解事務(wù)間的包含關(guān)系和相等關(guān)系．2．理解互斥事務(wù)和對應(yīng)事務(wù)的概念及關(guān)系．(難點、易混點)3．會用互斥事務(wù)與對立事務(wù)的概率公式求概率．(重點)4．了解并事務(wù)與交事務(wù)的概念，會進行事務(wù)的運算.1．通過互斥事務(wù)與對立事務(wù)的學(xué)習(xí)，體會邏輯推理素養(yǎng)．2．借助概率的求法，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).1．事務(wù)的關(guān)系與運算(1)事務(wù)的關(guān)系：定義表示法圖示包含關(guān)系一般地，對于事務(wù)A與事務(wù)B，假如事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B肯定發(fā)生，這時稱事務(wù)B包含事務(wù)A(或稱事務(wù)A包含于事務(wù)B)B?A(或A?B)相等關(guān)系A(chǔ)?B且B?AA＝B事務(wù)互斥若A∩B為不行能事務(wù)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥A∩B＝?事務(wù)對立若A∩B為不行能事務(wù)，A∪B為必定事務(wù)，那么稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)A∩B＝?且A∪B＝U(2)事務(wù)的運算：定義表示法圖示并事務(wù)若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事務(wù)A發(fā)生或事務(wù)B發(fā)生，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))A∪B(或A＋B)交事務(wù)若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事務(wù)A發(fā)生且事務(wù)B發(fā)生，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))A∩B(或AB)2.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：[0,1]．(2)必定事務(wù)的概率為1，不行能事務(wù)的概率為0.(3)概率加法公式為：假如事務(wù)A與B為互斥事務(wù)，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(4)若A與B為對立事務(wù)，則P(A)＝1－P(B)．P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.思索：在擲骰子的試驗中，事務(wù)A＝{出現(xiàn)的點數(shù)為1}，事務(wù)B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，A與B應(yīng)有怎樣的關(guān)系？[提示]A?B1．同時擲兩枚硬幣，向上面都是正面為事務(wù)A，向上面至少有一枚是正面為事務(wù)B，則有()A．A?B B．A?BC．A＝B D．A<BA[由事務(wù)的包含關(guān)系知A?B.]2．?dāng)S一枚骰子，視察結(jié)果，A＝{向上的點數(shù)為1}，B＝{向上的點數(shù)為2}，則()A．A?B B．A＝BC．A與B互斥 D．A與B對立C[由于事務(wù)A與B不行能同時發(fā)生，故A、B互斥．]3．一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中隨意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個事務(wù)：事務(wù)A：“恰有一件次品”；事務(wù)B：“至少有兩件次品”；事務(wù)C：“至少有一件次品”；事務(wù)D：“至多有一件次品”．并給出以下結(jié)論：①A∪B＝C；②D∪B是必定事務(wù)；③A∪B＝B；④A∪D＝C.其中正確的序號是()A．①② B．③④C．①③ D．②③A[A∪B表示的事務(wù)：至少有一件次品，即事務(wù)C，所以①正確，③不正確；D∪B表示的事務(wù)：至少有兩件次品或至多有一件次品，包括了全部狀況，所以②正確；A∪D表示的事務(wù)：至多有一件次品，即事務(wù)D，所以④不正確．]4．一商店有獎促銷活動中只有一等獎與二等獎兩個獎項，其中中一等獎的概率為0.1，中二等獎的概率為0.25，則不中獎的概率為________．0.65[中獎的概率為0.1＋0.25＝0.35，中獎與不中獎互為對立事務(wù)，所以不中獎的概率為1－0.35＝0.65.]互斥事務(wù)與對立事務(wù)的判定【例1】(1)下列各組事務(wù)中，不是互斥事務(wù)的是()A．一個射手進行一次射擊，“命中環(huán)數(shù)大于8”與“命中環(huán)數(shù)小于B．統(tǒng)計一個班級數(shù)學(xué)期中考試成果，“平均分?jǐn)?shù)不低于90分”與“平均分?jǐn)?shù)不高于90分”C．播種菜籽100粒，“發(fā)芽90?！迸c“發(fā)芽80?！盌．檢查某種產(chǎn)品，“合格率高于70%”與“合格率為70%”(2)從1,2,3，…，9中任取兩數(shù)，給出下列各組事務(wù)：①“恰有一個是偶數(shù)”和“恰有一個是奇數(shù)”；②“至少有一個是奇數(shù)”和“兩個都是奇數(shù)”；③“至少有一個是奇數(shù)”和“兩個都是偶數(shù)”；④“至少有一個是奇數(shù)”和“至少有一個是偶數(shù)”．其中是對立事務(wù)的是()A．① B．②④C．③ D．①③(1)B(2)C[(1)A中，一個射手進行一次射擊，“命中環(huán)數(shù)大于8”與“命中環(huán)數(shù)小于6”不行能同時發(fā)生，故A中兩事務(wù)為互斥事務(wù)；B中，當(dāng)平均分等于90分時，兩個事務(wù)同時發(fā)生，故B中兩事務(wù)不為互斥事務(wù)；C中，播種菜籽100粒，“發(fā)芽90?！迸c“發(fā)芽80?！辈恍心芡瑫r發(fā)生，故C中兩事務(wù)為互斥事務(wù)；D中，檢查某種產(chǎn)品，“合格率高于70%”與“合格率為70%(2)本題考查對立事務(wù)的概念．從1,2,3，…，9中任取兩數(shù)，有以下三種狀況：a．兩個奇數(shù)；b.兩個偶數(shù)；c.一個奇數(shù)和一個偶數(shù)．所以僅有③中的兩個事務(wù)不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生．]互斥事務(wù)、對立事務(wù)的判定方法1利用基本概念①互斥事務(wù)不行能同時發(fā)生；②對立事務(wù)首先是互斥事務(wù)，且必需有一個要發(fā)生.2利用集合的觀點來推斷,設(shè)事務(wù)A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A，B.①事務(wù)A與B互斥，即集合A∩B＝?；②事務(wù)A與B對立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，即A＝?IB或B＝?IA.eq\o([跟進訓(xùn)練])1．把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人，每人一張，則事務(wù)“甲分得黑牌”與“乙分得黑牌”是()A．對立事務(wù) B．相等事務(wù)C．互斥但不對立事務(wù) D．以上說法均不正確C[按黑牌的安排狀況分解事務(wù)．黑牌eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(分給甲——甲分得黑牌,分給乙——乙分得黑牌,分給丙——丙分得黑牌))由此可得“甲分得黑牌”與“乙分得黑牌”是互斥但不對立事務(wù)，故選C.]事務(wù)的關(guān)系及運算【例2】在擲骰子的試驗中，可以定義很多事務(wù)．例如，事務(wù)C1＝{出現(xiàn)1點}，事務(wù)C2＝{出現(xiàn)2點}，事務(wù)C3＝{出現(xiàn)3點}，事務(wù)C4＝{出現(xiàn)4點}，事務(wù)C5＝{出現(xiàn)5點}，事務(wù)C6＝{出現(xiàn)6點}，事務(wù)D1＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}，事務(wù)D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}，事務(wù)D3＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}，事務(wù)E＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于7}，事務(wù)F＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，事務(wù)G＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，請依據(jù)上述定義的事務(wù)，回答下列問題：(1)請列舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事務(wù)；(2)利用和事務(wù)的定義，推斷上述哪些事務(wù)是和事務(wù)．[解](1)因為事務(wù)C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事務(wù)D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事務(wù)E包含事務(wù)C1，C2，C3，C4，C5，C6；事務(wù)D2包含事務(wù)C4，C5，C6；事務(wù)F包含事務(wù)C2，C4，C6；事務(wù)G包含事務(wù)C1，C3，C5.且易知事務(wù)C1與事務(wù)D1相等，即C1＝D1.(2)因為事務(wù)D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點或出現(xiàn)5點或出現(xiàn)6點}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.事務(wù)運算應(yīng)留意的2個問題1進行事務(wù)的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結(jié)果進行分析.2在一些比較簡潔的題目中，須要推斷事務(wù)之間的關(guān)系時，可以依據(jù)常識來推斷.但假如遇到比較困難的題目，就得嚴(yán)格依據(jù)事務(wù)之間關(guān)系的定義來推理.eq\o([跟進訓(xùn)練])2．盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設(shè)事務(wù)A＝{3個球中有1個紅球、2個白球}，事務(wù)B＝{3個球中有2個紅球、1個白球}，事務(wù)C＝{3個球中至少有1個紅球}，事務(wù)D＝{3個球中既有紅球又有白球}．(1)事務(wù)D與A，B是什么樣的運算關(guān)系？(2)事務(wù)C與A的交事務(wù)是什么事務(wù)？[解](1)對于事務(wù)D，可能的結(jié)果為1個紅球、2個白球，或2個紅球、1個白球，故D＝A∪B.(2)對于事務(wù)C，可能的結(jié)果為1個紅球、2個白球，或2個紅球、1個白球，或3個紅球，故C∩A＝A.互斥事務(wù)與對立事務(wù)的概率公式及應(yīng)用[探究問題]1．在同一試驗中，對隨意兩個事務(wù)A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)肯定成立嗎？[提示]不肯定，只有A與B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立．2．若P(A)＋P(B)＝1，則事務(wù)A與事務(wù)B是否肯定對立？試舉例說明．[提示]A與B不肯定對立．例如：擲一枚勻稱的骰子，記事務(wù)A為出現(xiàn)偶數(shù)點，事務(wù)B為出現(xiàn)1點或2點或3點，則P(A)＋P(B)＝1，但A、B不對立．【例3】在數(shù)學(xué)考試中，小明的成果在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，計算：(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上的成果的概率；(2)小明數(shù)學(xué)考試及格的概率．思路點撥：小明的成果在80分以上可以看作是互斥事務(wù)“80分～89分”“90分以上”的并事務(wù)，小明數(shù)學(xué)考試及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”這幾個彼此互斥事務(wù)的并事務(wù)，又可看作是“不及格”這一事務(wù)的對立事務(wù)．[解]分別記小明的成果“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”為事務(wù)B，C，D，E，這四個事務(wù)彼此互斥．(1)小明的成果在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：小明數(shù)學(xué)考試不及格的概率是0.07，所以小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是1－0.07＝0.93.1．(變結(jié)論)本例條件不變，求小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以下的成果的概率．[解]分別記小明的成果“在90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”，“在60分以下”為事務(wù)A、B、C、D、E，則這五個事務(wù)彼此互斥．∴小明成果在80分以下的概率是：P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.2．(變條件)一盒中裝有各種色球12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．[解]法一：(利用互斥事務(wù)求概率)記事務(wù)A1＝{任取1球為紅球}，A2＝{任取1球為黑球}，A3＝{任取1球為白球}，A4＝{任取1球為綠球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).依據(jù)題意知，事務(wù)A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事務(wù)概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法二：(利用對立事務(wù)求概率)(1)由法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事務(wù)為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立事務(wù)為A3∪A4，所以取得1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的對立事務(wù)為A4.所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).互斥事務(wù)、對立事務(wù)概率的求解方法(1)互斥事務(wù)的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)當(dāng)求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語時，經(jīng)?？紤]其反面，通過求其反面，然后轉(zhuǎn)化為所求問題．1．互斥事務(wù)和對立事務(wù)都是針對兩個事務(wù)而言的，它們兩者之間既有區(qū)分又有聯(lián)系．在一次試驗中，兩個互斥事務(wù)有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不行能兩個都發(fā)生；而兩個對立事務(wù)必有一個發(fā)生，但是不行能兩個事務(wù)同時發(fā)生，也不行能兩個事務(wù)都不發(fā)生．所以兩個事務(wù)互斥，它們未必對立；反之兩個事務(wù)對立，它們肯定互斥．2．互斥事務(wù)概率的加法公式是一個很基本的計算公式，解題時要在詳細(xì)的情景中推斷各事務(wù)間是否互斥，只有互斥事務(wù)才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．求困難事務(wù)的概率通常有兩種方法(1)將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥事務(wù)的并事務(wù)；(2)先求其對立事務(wù)的概率，再求所求事務(wù)的概率．1．推斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)互斥事務(wù)肯定是對立事務(wù)． ()(2)事務(wù)A與B的并事務(wù)的概率肯定大于事務(wù)A的概率． ()(3)若P(A)＋P(B)＝1，則事務(wù)A與B肯定是對立事務(wù)． ()[答案](1)×(2)×(3)×2．給出以下結(jié)論：①互斥事務(wù)肯定對立；②對立事務(wù)肯定互斥；③互斥事務(wù)不肯定對立；④事務(wù)A與B的和事務(wù)的概率肯定大于事務(wù)A的概率；⑤事務(wù)A與B互斥，則有P(A)＝1－P(B)．其中正確命題的個數(shù)為()A．0個 B．1個C．2個 D．3個C[對立必互斥