2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何第七節(jié)雙曲線課時規(guī)范練文含解析北師大版

PAGE第八章平面解析幾何第七節(jié)雙曲線課時規(guī)范練A組——基礎(chǔ)對點練1．雙曲線eq\f(x2,36－m2)－eq\f(y2,m2)＝1(0＜m＜3)的焦距為()A．6 B．12C．36 D.2eq\r(36－2m2)解析：c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6.雙曲線的焦距為12.答案：B2．雙曲線8kx2－ky2＝8的一個焦點是(0，3)，則k的值是()A．1 B．－1C.eq\f(\r(65),3) D.－eq\f(\r(6),3)解析：kx2－eq\f(ky2,8)＝1，焦點在y軸上，c＝3，解得k＝－1.答案：B3．(2024·山東滕州月考)已知雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點分別為F1、F2，若雙曲線的左支上有一點M到右焦點F2的距離為18，N是MF2的中點，O為坐標(biāo)原點，則|NO|等于()A.eq\f(2,3) B．1C．2 D.4解析：由雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1，知a＝5，由雙曲線定義|MF2|－|MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8，∴|NO|＝eq\f(1,2)|MF1|＝4.答案：D4．(2024·湖南永州模擬)焦點是(0，±2)，且與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1有相同的漸近線的雙曲線的方程是()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．y2－eq\f(x2,3)＝1C．x2－y2＝2 D.y2－x2＝2解析：由已知，雙曲線焦點在y軸上，且為等軸雙曲線，故選D.答案：D5．雙曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1的漸近線方程是()A．y＝±eq\f(9,4)x B．y＝±eq\f(4,9)xC．y＝±eq\f(3,2)x D.y＝±eq\f(2,3)x解析：雙曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1中，a＝3，b＝2，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,2)x.答案：C6．(2024·石家莊模擬)若雙曲線M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別是F1、F2，P為雙曲線M上一點，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，則雙曲線M的離心率為()A．3 B．2C.eq\f(5,3) D.eq\f(5,4)解析：P為雙曲線M上一點，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝2c＝10，則雙曲線的離心率為：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4).答案：D7．(2024·彭州模擬)設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，過坐標(biāo)原點的直線依次與雙曲線C的左、右支交于點P、Q，若|PQ|＝2|QF|，∠PQF＝60°，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(3) B．1＋eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D.4＋2eq\r(3)解析：∠PQF＝60°，因為|PQ|＝2|QF|，所以∠PFQ＝90°，設(shè)雙曲線的左焦點為F1，連接F1P，F(xiàn)1Q，由對稱性可知，四邊形F1PFQ為矩形，且|F1F|＝2|QF|，|QF1|＝eq\r(3)|QF|，故e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F|,|QF1|－|QF|)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.答案：B8．若a>1，則雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的離心率的取值范圍是()A．(eq\r(2)，＋∞) B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2)) D.(1，2)解析：依題意得，雙曲線的離心率e＝eq\r(1＋\f(1,a2))，因為a>1，所以e∈(1，eq\r(2))，故選C.答案：C9．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦點為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為________．解析：因為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，F(xiàn)2(5，0)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝110．已知雙曲線經(jīng)過點(2eq\r(2)，1)，其一條漸近線方程為y＝eq\f(1,2)x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：設(shè)雙曲線方程為：mx2＋ny2＝1(mn＜0)，由題意可知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8m＋n＝1，,\r(－\f(m,n))＝\f(1,2)，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝－1.))則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.答案：eq\f(x2,4)－y2＝1B組——素養(yǎng)提升練11．等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點，|AB|＝4eq\r(3)，則C的實軸長為()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C．4 D.8解析：拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線方程是x＝－4，所以點A(－4，2eq\r(3))在等軸雙曲線C：x2－y2＝a2(a>0)上，將點A的坐標(biāo)代入得a＝2，所以C的實軸長為4.答案：C12．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1與直線y＝2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為()A．(1，eq\r(5)) B．(1，eq\r(5)]C．(eq\r(5)，＋∞) D.[eq\r(5)，＋∞)解析：∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，則由題意得eq\f(b,a)>2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))>eq\r(1＋4)＝eq\r(5).答案：C13．設(shè)F1、F2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點，若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，則雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(5),2) B．eq\f(\r(10),2)C.eq\f(\r(15),2) D.eq\r(5)解析：因為∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，則10a2＝4c2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,2)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2)(負(fù)值舍去)．答案：B14．(2024·貴陽市高三監(jiān)測)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界)，若點(2，1)在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍是()A．(1，eq\f(\r(5),2)) B．(eq\f(\r(5),2)，＋∞)C．(1，eq\f(5,4)) D.(eq\f(5,4)，＋∞)解析：依題意，留意到題中的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，且“右”區(qū)域是不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＜\f(b,a)x，,y＞－\f(b,a)x))所確定，又點(2，1)在“右”區(qū)域內(nèi)，于是有1＜eq\f(2b,a)，即eq\f(b,a)＞eq\f(1,2)，因此題中的雙曲線的離心率e＝eq\r(1＋（\f(b,a)）2)∈(eq\f(\r(5),2)，＋∞)，選B.答案：B15．(2024·開封模擬)已知F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)是雙曲線C：eq\f(x2,m)－eq\f(y2,4)＝1(m＞0)的兩個焦點，點M是雙曲線C上一點，且∠F1MF2＝60°，則△F1MF2的面積為________．解析：因為F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)是雙曲線C：eq\f(x2,m)－eq\f(y2,4)＝1(m＞0)的兩個焦點，所以m＋4＝16，所以m＝12，設(shè)|MF1|＝m′，|MF2|＝n，因為點M是雙曲線上一點，且∠F1MF2＝60°，所以|m′－n|＝4eq\r(3)①，m′2＋n2－2m′ncos60°＝64②，由②－①2得m′n＝16，所以△F1MF2的面積S＝eq\f(1,2)m′nsin60°＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)16．(2024·唐山模擬)已知P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右支上一點，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點，且焦距為2c，則△PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)是________．解析：如圖所示，內(nèi)切圓圓心M到