2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)Ⅰ2.1.2第2課時(shí)指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版必修1

PAGE第2課時(shí)指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)的應(yīng)用內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.駕馭指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用，能利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較冪的大小，解不等式．2.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)圖象是探討函數(shù)的重要工具，并能運(yùn)用指數(shù)函數(shù)探討一些實(shí)際問題.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算應(yīng)用直觀想象培育數(shù)學(xué)建模授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第41頁(yè)探究一利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小[閱讀教材P57例7]比較下列各數(shù)中兩個(gè)值的大?。?1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1.題型：比較大小[例1]比較下列各組數(shù)的大?。?1)1.82.2與1.83；(2)0.7－0.3與0.7－0.4；(3)1.90.4與0.92.4.[解析](1)1.82.2,1.83可看作函數(shù)y＝1.8x的兩個(gè)函數(shù)值．∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上為增函數(shù)．∴1.82.2<1.83.(2)∵y＝0.7x在R上為減函數(shù)，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.方法技巧比較冪的大小的方法(1)對(duì)于底數(shù)相同但指數(shù)不同的兩個(gè)冪的大小的比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來推斷．(2)對(duì)于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小比較，可利用指數(shù)函數(shù)的圖象的改變規(guī)律來推斷．(3)對(duì)于底數(shù)不同且指數(shù)不同的冪的大小的比較，則應(yīng)通過中間值來比較．跟蹤探究1.已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，則a、b、c的大小關(guān)系是A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b解析：1.20.8>1.20＝1,0.80.9<0.80.7<0.80＝1，∴b<a<c答案：D探究二解簡(jiǎn)潔的指數(shù)不等式[例2]假如a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范圍．[解析]①當(dāng)a>1時(shí)，∵a－5x>ax＋7，∴－5x>x＋7，解得x<－eq\f(7,6).②當(dāng)0<a<1時(shí)，∵a－5x>ax＋7，∴－5x<x＋7，解得x>－eq\f(7,6).綜上所述，x的取值范圍是：當(dāng)a>1時(shí)，x<－eq\f(7,6)；當(dāng)0<a<1時(shí)，x>－eq\f(7,6).方法技巧指數(shù)不等式的解法(1)形如ax＞ay的不等式：可借助y＝ax的單調(diào)性求解．假如a的值不確定，需分0＜a＜1和a＞1兩種狀況探討．(2)形如ax＞b的不等式：留意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調(diào)性求解．(3)形如ax＞bx的不等式：可借助圖象求解，也可轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))x＞1求解．跟蹤探究2.若ax＋1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x(a>0，且a≠1)，求x的取值范圍．解析：ax＋1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x?ax＋1>a3x－5，當(dāng)a>1時(shí)，可得x＋1>3x－5，∴x<3.當(dāng)0<a<1時(shí)，可得x＋1<3x－5，∴x>3.綜上，當(dāng)a>1時(shí)，x<3；當(dāng)0<a<1時(shí)，x>3.探究三指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用[閱讀教材P57例8]截止到1999年底，我國(guó)人口約13億.假如今后能將人口年平均增長(zhǎng)率限制在1%，那么經(jīng)過20年后，我國(guó)人口數(shù)最多為多少(精確到億)?題型：實(shí)際應(yīng)用[例3]某市現(xiàn)在人口總數(shù)為100萬人，假如年平均增長(zhǎng)率為1.2%，試解答下列問題．(1)試寫出該市人口總數(shù)y(萬人)與經(jīng)過時(shí)間x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年以后該市人口總數(shù)(精確到1萬人)；(3)計(jì)算多少年以后該市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年)．(參考數(shù)據(jù)：1.01210≈1.127,1.01211≈1.140,1.01212≈1.154,1.01213≈1.168,1.01214≈1.182,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210)[解析](1)1年后該市人口總數(shù)為y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)，2年后該市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，3年后該市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3，…x年后該市人口總數(shù)為y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后該市人口總數(shù)為y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127＝112.7≈113(萬人)．∴10年后該市人口總數(shù)約為113萬人．(3)依題意，得100(1＋1.2%)x＝120，即1.012x＝1.2，解得x≈15.∴約15年以后，該市人口將達(dá)到120萬人．方法技巧此類增長(zhǎng)率問題，在實(shí)際問題中常可以用指數(shù)函數(shù)模型y＝N(1＋p)x(其中N是基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)和冪函數(shù)模型y＝a(1＋x)n(其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長(zhǎng)率，n為時(shí)間)的形式．解題時(shí)，往往用到指數(shù)運(yùn)算．跟蹤探究3.春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長(zhǎng)出荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長(zhǎng)滿池塘水面，當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一半時(shí)，荷葉已生長(zhǎng)了__________天．解析：假設(shè)第一天荷葉覆蓋水面面積為1，則荷葉覆蓋水面面積y與生長(zhǎng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為y＝2x－1，當(dāng)x＝20時(shí)，長(zhǎng)滿水面，所以生長(zhǎng)19天時(shí)，荷葉布滿水面一半．答案：19授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第42頁(yè)[課后小結(jié)]1．比較兩個(gè)指數(shù)式值的大小的主要方法(1)比較形如am與an的大小，可運(yùn)用指數(shù)函數(shù)y＝ax的單調(diào)性．(2)比較形如am與bn的大小，一般找一個(gè)“中間值c”，若am＜c且c＜bn，則am＜bn；若am＞c且c＞bn，則am＞bn.2．解簡(jiǎn)潔指數(shù)不等式問題的留意點(diǎn)(1)形如ax＞ay的不等式，可借助y＝ax的單調(diào)性求解．假如a的值不確定，需分0＜a＜1和a＞1兩種狀況進(jìn)行探討．(2)形如ax＞b的不等式，留意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調(diào)性求解．(3)形如ax＞bx的不等式，可借助圖象求解．[素養(yǎng)培優(yōu)]警惕底數(shù)a對(duì)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響若指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值是最小值的2倍，則實(shí)數(shù)a的值為__________．易錯(cuò)分析：(1)解決本題易忽視對(duì)a的探討，錯(cuò)認(rèn)為a2＝2a，從而導(dǎo)致得出a＝2的錯(cuò)誤答案．(2)求函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在閉區(qū)間[s，t]上的最值，應(yīng)先依據(jù)底數(shù)的大小對(duì)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行分類．當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，指數(shù)函數(shù)為[s，t]上的增函數(shù)，最小值為as，最大值為at.當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)，指數(shù)函數(shù)為[s，t]上的減函數(shù)，最大值為