人教版數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元綜合提升檢測(cè)題【含答案】

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元檢測(cè)題（綜合提升篇）一、單選題1．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．2．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則為（）A．1 B．C．2 D．3．已知函數(shù)，則（）A． B．1 C． D．4．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、航天等眾多領(lǐng)域，并取得了顯著的經(jīng)濟(jì)效益.假設(shè)在放射性同位素釷234的衰變過程中，其含量N（單位：貝克）與時(shí)間t（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中為時(shí)釷234的含量.已知時(shí)，釷234含量的瞬時(shí)變化率為，則（）A．12 B． C．24 D．5．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則等于（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的所有極值之和等于（）A． B． C．3 D．47．已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)性（）A．在單調(diào)遞減 B．在單調(diào)遞減C．在單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞減8．已知函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題9．如圖是y=的導(dǎo)函數(shù)的圖象，對(duì)于下列四個(gè)判斷，其中正確的判斷是（）A．當(dāng)x=﹣1時(shí)，取得極小值B．在[﹣2，1]上是增函數(shù)C．當(dāng)x=1時(shí)，取得極大值D．在[﹣1，2]上是增函數(shù)，在[2，4]上是減函數(shù)10．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的解析式可能為（）A． B．C． D．11．[多選]若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱函數(shù)具有“T性質(zhì)”.則下列函數(shù)中具有“T性質(zhì)”的是（）A． B．C． D．12．（多選）已知函數(shù)，則（）A．在處取得極大值 B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．的極小值點(diǎn)為 D．三、填空題13．已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為___________.14．已知函數(shù)，則在區(qū)間上的最大值是________.15．已知函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．16．已知函數(shù)，若對(duì)于任意的且，都有成立，則的取值范圍是________.四、解答題17．已知曲線.（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求與直線平行的曲線的切線方程.18．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù)，從①是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，②函數(shù)的圖象在處的切線方程為這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，并回答下列問題．（1）求a的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間．20．已知函數(shù)，.（1）選擇下列兩個(gè)條件之一；①；②；判斷在區(qū)間是否存在極小值點(diǎn)，并說明理由；（其中）（注：若兩個(gè)條件都選擇作答，按第一個(gè)條件作答內(nèi)容給分）（2）已知，設(shè)函數(shù).若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).（1）求的值；（2）證明：.22．已知函數(shù).（1）若在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，記在上的最小值為，求的取值范圍.參考答案1．A【分析】先求出和切線的斜率為，再利用直線的點(diǎn)斜式方程得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，所以切線的斜率為，所求切線方程為，即.故選：A2．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即所?故選：B.3．C【分析】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求，進(jìn)而求.【詳解】，，∴，當(dāng)時(shí)，.故選：C4．C【分析】對(duì)求導(dǎo)得，根據(jù)已知有即可求，進(jìn)而求.【詳解】由，得，∵當(dāng)時(shí)，，解得，∴，∴當(dāng)時(shí)，.故選：C.5．B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，將所求的式子整理為即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，所以，所以，故選：B.6．A【分析】先求出的值，再分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)是否有極值，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，故，故，故，所以，在上，為減函數(shù)，在上，為增函數(shù)，故為的極小值點(diǎn)，且極小值為，無極大值.在上，，此時(shí)在均為增函數(shù)，故在上增函數(shù)，而，故在上，總有，故上，為增函數(shù)，故在上無極值.故在上，為的極小值點(diǎn)，且極小值為，無極大值.故選：A.7．B【分析】由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間關(guān)系可確定兩個(gè)圖象的分屬，由此可得在不同區(qū)間內(nèi)的正負(fù)，進(jìn)而判斷單調(diào)性，得到結(jié)果.【詳解】時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，已知圖象中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且有兩個(gè)零點(diǎn)和的是，，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上不單調(diào)，A錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞減，B正確；在，上單調(diào)遞增，CD錯(cuò)誤.故選：B.8．D【分析】先研究出是偶函數(shù)，然后再結(jié)合的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為解不等式的解集即可，再構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性和特殊值求出x的取值范圍【詳解】故為偶函數(shù)且當(dāng)時(shí)，恒成立，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，由可得：，即令所以單調(diào)遞減，而所以的解集為故選：D9．AD【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象，確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，由此得到函數(shù)的單調(diào)性，由極值的定義判斷函數(shù)的極值，由此判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】解：導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)﹣2<x<﹣1時(shí)，<0，則單調(diào)遞減，當(dāng)x=﹣1時(shí)，=0，當(dāng)﹣1<x<2時(shí)，>0，則單調(diào)遞增，當(dāng)x=2時(shí)，=0，當(dāng)2<x<4時(shí)，<0，則單調(diào)遞減，當(dāng)x=4時(shí)，=0，當(dāng)x>4時(shí)，>0，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=﹣1時(shí)，取得極小值，故選項(xiàng)A正確；在[﹣2，1]上是有減有增函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)x=2時(shí)，取得極大值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在[﹣1，2]上是增函數(shù)，在[2，4]上是減函數(shù)，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.10．BC【分析】求出各象限中函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性判斷可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A不符合題意；對(duì)于B，為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，B符合題意；對(duì)于C，為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，C符合題意；對(duì)于D，為非奇非偶函數(shù)，其圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，D不符合題意.故選：BC.11．AB【分析】由題意可知存在兩點(diǎn)使得函數(shù)在這兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值的乘積為-1，然后結(jié)合選項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由題意，可知若函數(shù)具有“T性質(zhì)”，則存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)在這兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值的乘積為-1.對(duì)于A，，滿足條件；對(duì)于B，，滿足條件；對(duì)于C，恒成立，負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)不可能得到-1，不滿足條件；對(duì)于D，恒成立，正數(shù)乘以正數(shù)不可能得到-1，不滿足條件.故選：AB.12．AD【分析】的定義域?yàn)?，求判斷單調(diào)性，求得極值可判斷A，C；根據(jù)單調(diào)性以及可判斷B、D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?，由可得，令，解得：?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞堿．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值為，無極小值，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)C不正確；因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)無零點(diǎn)．綜上所述：有一個(gè)零點(diǎn)，故B不正確；因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，所以，故選項(xiàng)D正確．故選：AD．13．【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程.【詳解】，，又，在處的切線方程為，即.故答案為：.14．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的最大值.【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，所以.故答案為：.15．【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋瑒t.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn).由題意可得，解得.故答案為：.16．【分析】將不等式變形為：恒成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，為了求的范圍，所以需要構(gòu)造函數(shù)，可通過求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)單調(diào)性來求它的范圍．【詳解】對(duì)于任意的，，，且，都有成立，不等式等價(jià)為恒成立，令，則不等式等價(jià)為當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)；，則在，上恒成立；；即恒成立，令，；在，上為增函數(shù)；（1）；；．的取值范圍是．故答案：．17．（1）；（2）或.【分析】（1）先求出，從而得切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由點(diǎn)斜式即可求出切線方程；（2）設(shè)與直線平行的切線的切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線的斜率，從而求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可求解.【詳解】解：（1）∵，∴，求導(dǎo)可得，∴切線的斜率為，∴所求切線方程為，即.（2）設(shè)與直線平行的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，又所求切線與直線平行，∴，解得，代入可得切點(diǎn)為或，∴所求切線方程為或，即或.18．（1）；（2）【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值，再與區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值比較，即可得到函數(shù)的最大值；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可得，即可得到函數(shù)的極值點(diǎn)，再對(duì)分類討論，即可得到不等式，解得即可；【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；（2）由，所以，當(dāng)時(shí)所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則只有一個(gè)零點(diǎn)，故舍去；所以，令得或，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于的圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，，當(dāng)時(shí)，令得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，解得；當(dāng)時(shí)，令得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極小值，所以的圖象與軸不可能有三個(gè)交點(diǎn)；綜上可得，即19．（1）條件性選擇見解析，；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為．【分析】（1）選①，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，得函數(shù)在處得到函數(shù)值為0，即可得出答案；選②，根據(jù)函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即函數(shù)在處得導(dǎo)數(shù)值為3，即可的解；（2）由（1）得，求出函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得符號(hào)即可得出答案.【詳解】解：（1）選①．由題意知，，依題意得，，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．選②．由題意知，，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處的切線方程為，所以，得．（2）由（1）得，，令得，或，列表：-13-0+0-所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為．20．（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）若選擇①，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解.（2）令，可得，同除可得，令，轉(zhuǎn)化為有解，設(shè)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)即可.【詳解】解：（1）若選擇①，則，則，令，，由單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞增，即，則在上單調(diào)遞增，不存在極小值點(diǎn)若選擇②，，則，令，.由單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，而，所以存在，使得在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以存在極小值點(diǎn)（2）令，有，又，所以，令，即轉(zhuǎn)化為有解，設(shè)，則由可得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而，所以由唯一零點(diǎn).若在區(qū)間存在零點(diǎn)，即為在有解.整理得：，設(shè)，由知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又時(shí)，.則，所以，得：.21．（1）（2）證明見解析【分析】(1)結(jié)合已知條件，利用即可求解；(2)對(duì)求導(dǎo)可得，再通過對(duì)求導(dǎo)以確定在的符號(hào)，從而可得到的單調(diào)性，然后利用的單調(diào)性即可求解.（1）由題意，，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得.又因?yàn)?，所?（2）證明：由(1)可知的定義域?yàn)?，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而對(duì)于，，所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.故對(duì)于，.22．（1）（2）【分析】（1）令，求出其導(dǎo)數(shù)后可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可求其值域，故可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求出，令，求出，利用題設(shè)條件可得，從而可得在存在唯一的零點(diǎn)且可得的符號(hào)情況，從而可得的