數(shù)列與差分完整版本

新課程中的現(xiàn)代數(shù)學(xué)

--數(shù)列與差分主講：胡鵬彥深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院新課程中的現(xiàn)代數(shù)學(xué)(數(shù)列與差分)§1數(shù)列的差分

§2一階線性差分方程

§3一階線性差分方程組

§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用一.數(shù)列的概念二.數(shù)列差分的概念三.差分表的性質(zhì)§1數(shù)列的差分一.數(shù)列的概念一個數(shù)列就是實(shí)數(shù)的任何(有限或無限的)有序集.這些數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)或元素.用an來表示數(shù)列的第n項(xiàng),稱之為數(shù)列的通項(xiàng).§1數(shù)列的差分定義1.1

一個數(shù)列是一個函數(shù),其定義域?yàn)槿w正整數(shù)(有時,為方便計,是全體非負(fù)整數(shù)集合),其值域包含在全體實(shí)數(shù)集中.數(shù)列的表示:1.列舉法:§1數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列的表示:2.通項(xiàng)法:§1數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列的表示:§1數(shù)列的差分3.圖象法:序列的項(xiàng)通過標(biāo)出點(diǎn)(n,an)圖示.直觀,具有可視化的效果.4.描述法:數(shù)列的一些例子1.假如你開了一個10000元的銀行帳戶,銀行每月付給2%的利息.假如你既不加進(jìn)存款也不取錢,那么每個月后的存款余額就構(gòu)成一個數(shù)列.§1數(shù)列的差分§1數(shù)列的差分2.兔子出生以后兩個月就能生小兔,若每次不多不少恰好生一對(一雌一雄).假如養(yǎng)了初生的小兔一對,則每個月小兔的對數(shù)也構(gòu)成一個數(shù)列(假設(shè)生下的小兔都不死)斐波那契(Fibonacci意大利約1170-1250本名Leonardo)1,1,2,3,5,8,13,21,34,…二.數(shù)列差分的概念數(shù)列相鄰項(xiàng)的差,稱為數(shù)列的差分.§1數(shù)列的差分定義1.2

對任何數(shù)列A

{a1,a2,

},其差分算子

(讀作delta)定義如下:

a1

a2

a1,

a2

a3

a2,

a3

a4

a3,,一般地,對任何n有

an

an1

an,應(yīng)用這個算子

,從原來的數(shù)列A構(gòu)成一個新的數(shù)列

A,從數(shù)列

A可得到數(shù)列

2A{

2an},這里

2an

(

an)

an1

an

an2

an1

an1

an

an2

2an1

an,稱之為數(shù)列A的二階差分,二階差分2an的差分

3an稱為三階差分,二階及二階以上的差分稱為高階差分,而稱an為一階差分.§1數(shù)列的差分差分的物理和幾何意義:在物理方面,一階差分表示物體運(yùn)動的平均速度,二階差分表示平均加速度.在幾何方面,一階差分表示數(shù)列圖形中相鄰兩點(diǎn)連線的斜率.§1數(shù)列的差分例.外出汽車旅行,每小時記錄下里程表的讀數(shù).設(shè)A

{an}

{22322,22352,22401,22456,22479,22511},

A

{

an}

{30,49,55,23,32},例.假設(shè)我們有數(shù)列{an}

{3n5},并考慮由表給出的關(guān)于n

1,2,3,

的數(shù)列.我們按函數(shù)值列表,并考慮相鄰項(xiàng)的差.§1數(shù)列的差分3333333-21471013161912345678n§1數(shù)列的差分定理1.1

若c和b為常數(shù)且對所有n

1,2,3,

有an

cn

b,則:1.對所有n,數(shù)列{an}的差分為常數(shù);2.當(dāng)畫an關(guān)于n的圖形時,這些點(diǎn)都落在一條直線上.§1數(shù)列的差分定理1.2

若

an

c,其中c是一個與n無關(guān)的常數(shù),則有一個an的線性函數(shù)(即存在常數(shù)b使

an

cn

b).§1數(shù)列的差分例.對二次多項(xiàng)式數(shù)列,當(dāng)時造差分表.n12345633591523024682222定理1.3

若數(shù)列{an}由一個二次多項(xiàng)式定義,則該數(shù)列具有性質(zhì):其二階差分為常數(shù),

2an

c.§1數(shù)列的差分定理1.4

若數(shù)列{an}具有性質(zhì):對一切n有2an

c,c為一個常數(shù),則該數(shù)列的項(xiàng)遵從二次變化模式,而且表達(dá)其通項(xiàng)的公式是一個二次多項(xiàng)式.注:一般地,由k次多項(xiàng)式定義的數(shù)列的k

1階差分為零,反之,若數(shù)列{an}的k

1階差分為零,則存在一個生成該數(shù)列的k次多項(xiàng)式.例

考慮數(shù)列{an}{1,3,6,10,15,21,

},則有{

an}{2,3,4,5,6,

}以及{

2an}{1,1,1,1,1,

}.令an

An2

Bn

C,§1數(shù)列的差分例

求數(shù)列{an}{n2}{12,22,32,42,52,62,

}前n項(xiàng)和Sn,即n個正整數(shù)平方和.由于{Sn}{(n1)2}{22,32,42,52,

},{

2Sn}{2n3}{5,7,9,11,

}以及{

3Sn}{2,2,2,2,

}令Sn

An3

Bn2

Cn

D.§1數(shù)列的差分由S11,S25,S314,S430得

A

B

C

D1,8A

4B

2C

D5(23A

22

B

2C

D5),

27A

9B

3C

D14(33A

32B

3C

D14),64A

16B4C

D30(43A

42B4C

D30),§1數(shù)列的差分解關(guān)于A,B,C和D的方程組可得

A1/3,B1/2,C1/6,D0,則三.差分表的性質(zhì)和應(yīng)用§1數(shù)列的差分定義1.3

數(shù)列A

{an}在第k項(xiàng)處是增的,若ak

ak

1(或用算子記號,

ak

0).數(shù)列A在第k項(xiàng)處是減的,若ak

ak

1(或

ak

0).數(shù)列A在第k項(xiàng)處達(dá)到相對極大,若ak

ak

1而ak

ak1(或用算子記號,

ak1

0而

ak

0).數(shù)列A在第k項(xiàng)處達(dá)到相對極小,若ak

ak

1而ak

ak1(或

ak1

0而

ak

0).§1數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列A在第k項(xiàng)處上凹,若

ak

ak1(或用二階差分的算子記號,

2ak10).數(shù)列A在第k項(xiàng)處下凹,若

ak

ak1(或

2ak1

0).注意:在k1處的二階差分決定了k項(xiàng)處的凹性.決定凹性的另一種看法是:當(dāng)一階差分增加時數(shù)列上凹,而當(dāng)一階差分減小時數(shù)列下凹.定義1.4

數(shù)列A在第k項(xiàng)處有一個拐點(diǎn),倘若

2ak和

2ak1有不同的正負(fù)號.§1數(shù)列的差分§1數(shù)列的差分例討論數(shù)列

{n24n3}的性質(zhì)構(gòu)造an

n2

4n3的前7個數(shù)列值的差分表,并用該表確定數(shù)列在何處增加、減少,達(dá)到相對極大或極小,上凹、下凹以及是否有拐點(diǎn).n10

122

1123032435258726159724§1數(shù)列的差分一.差分方程的基本概念二.齊次線性差分方程的解析解§2一階線性差分方程一.差分方程的基本概念§2一階線性差分方程定義2.1

差分方程是一種方程,該方程表明數(shù)列中的任意項(xiàng)如何用前一項(xiàng)或幾項(xiàng)來計算.初始條件是該數(shù)列的第一項(xiàng).出現(xiàn)在差分方程中的項(xiàng)的最大下標(biāo)減去最小下標(biāo)得到的數(shù)稱為差分方程的階.§2一階線性差分方程定義2.2

如果差分方程中包含數(shù)列變量(即包含an)的項(xiàng)不包含數(shù)列變量的乘積,不包含數(shù)列變量的冪,也不包含數(shù)列變量的諸如指數(shù),對數(shù)或三角函數(shù)在內(nèi)的函數(shù),那么我們稱該差分方程是線性的.否則差分方程就是非線性的.注意這種限制只適用于包含數(shù)列變量的項(xiàng),而不能用于不包含數(shù)列變量的其它項(xiàng).線性的非線性的§2一階線性差分方程定義2.3

線性差分方程稱為齊次的,如果它只包含數(shù)列變量的項(xiàng).如果略掉非齊次方程中不包含數(shù)列變量的項(xiàng),就得到一個齊次方程,稱之為與原方程相應(yīng)的齊次方程.齊次的§2一階線性差分方程對于差分方程的研究主要是差分方程的求解(當(dāng)可以求解的時候)以及討論解的性質(zhì).能夠給出解析解的差分方程是為數(shù)很少的一部分,大多數(shù)差分方程是不能給出解析解的,此時,只能對其解的性質(zhì)給出一定的討論,討論解的性質(zhì)(解的變化趨勢,是周期的還是非周期的或混沌的)有兩種方法:一是數(shù)值計算方法,二是定性或定性定量結(jié)合的方法.§2一階線性差分方程差分方程的解具有不同的形式:數(shù)值,圖形,公式定義2.4

數(shù)值解是從一個或多個初值出發(fā)迭代差分方程得到的一張數(shù)值表.§2一階線性差分方程例如,在銀行帳戶上以7%的利息積累起來的錢數(shù)是由差分方程an

1

an0.07an來確定,其中an表示n個月后銀行中的存款數(shù).月本金利息nan0$1000.000$70.000011070.000

74.900021144.900

80.143031225.043

85.753041310.796

91.755751402.552

98.178661500.730

105.0510716.5.781

112.405081718.186

120.273091838.459

128.6920101967.151137.7010§2一階線性差分方程定義2.5

差分方程的一個解析解是一個函數(shù),當(dāng)把它代入差分方程時就得到一個恒等式,而且還滿足任何給定的初始條件.差分方程an

1

an0.07an若把函數(shù)ak

(0.07)kc,其中c為任意常數(shù),代入差分方程就得到一個恒等式:§2一階線性差分方程定義2.6

差分方程的一個通解是一個函數(shù),當(dāng)代入特定值后就得到相應(yīng)于不同初值的特解.ak

(0.07)kc稱為差分方程an

1

an0.07an的通解,因?yàn)榇隿的特定值就給出與不同的初值a0相應(yīng)的特解.§2一階線性差分方程數(shù)值解與解析解的比較:在求銀行模型的數(shù)值解時只需要一個差分方程和一個初值.這是數(shù)值解的一個強(qiáng)有力的性質(zhì)—求數(shù)值解時無須要求差分方程具有特殊的性質(zhì).只要從一個或多個初值開始進(jìn)行迭代計算就行了.另一方面,因?yàn)闆]有第k項(xiàng)的一個一般的公式,每一項(xiàng)必須從前一項(xiàng)或幾項(xiàng)算得.從一個數(shù)值解來預(yù)測解的長期性態(tài)可能是困難的.§2一階線性差分方程解析解給出了一個我們可以直接計算數(shù)列中任何特定項(xiàng)的函數(shù).解析解的另一個優(yōu)點(diǎn)是,當(dāng)我們求得一個解析解時,通常也同時得到了通解.相比之下,用迭代計算求得的解只從屬于某個初始條件.二.齊次線性差分方程的解析解§2一階線性差分方程定理2.1

一階線性差分方程an

1

ran

b的解為an

bn

c,若r1.若r1.§3(二元)一階線性差分方程組由兩個或多于兩個的差分方程構(gòu)成的方程組稱為差分方程組.在差分方程組中,單個差分方程的階數(shù)的最大數(shù)稱為差分方程組的階數(shù).§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用差分方程模型是實(shí)際應(yīng)用中常見的一種數(shù)學(xué)模型.用差分方程模型解決實(shí)際問題如同別的數(shù)學(xué)模型一樣,大致需經(jīng)過三個步驟.第一步:設(shè)定好實(shí)際問題中的未知函數(shù),按照已知的相關(guān)領(lǐng)域中的物理,力學(xué),化學(xué),生物,經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的規(guī)律用于建立相鄰的自變量值(一般就是相鄰時間)的未知函數(shù)取值間的依賴關(guān)系,建立差分方程模型.§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用第二步:對上述建立的差分方程模型,若能直接求解的則求出其解,若不能直接求解的或直接求解比較困難的,則用定性的方法討論其解的變化趨勢及性質(zhì).第三步:將數(shù)學(xué)討論得到的結(jié)果與實(shí)際情形加以對照,然后給實(shí)際問題一個滿意的答復(fù).例4.1

建立并討論經(jīng)濟(jì)學(xué)中的蛛網(wǎng)模型.在分析市場經(jīng)濟(jì)中農(nóng)產(chǎn)品的價格和產(chǎn)量之間的關(guān)系中常常要用到如下的規(guī)律:本期產(chǎn)量(或市場供給量)決定本期價格,而本期價格決定下期產(chǎn)量.為了建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型,可以假設(shè)P表示價格,Q表示產(chǎn)量,D表示需求函數(shù),S表示供給函數(shù),時間n表示第n期.那么Pn表示第n期的價格,Qn表示第n期的產(chǎn)量.把上述所說的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子寫出來,即為§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用將上述兩式合并,得(4.1)式就是關(guān)于Pn為未知函數(shù)的差分方程.下面給出簡單情形下的差分方程(4.1).把市場經(jīng)濟(jì)中的市場供給量、價格、市場需求量之間的規(guī)律歸結(jié)為下面的三條:§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用1.市場供給量對價格變動的反應(yīng)是滯后的,即而這種相依關(guān)系簡單地取為

第n期的供給量取決于第n

1期的價格Pn1,即相依關(guān)系是線性的正比例關(guān)系,而價格不能太小,至少

從而§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用2.市場需求量對價格變動的反應(yīng)是瞬時的,即類似地這種相依關(guān)系簡單地取為即相依關(guān)系是線性的,價格Pn減少,市場需求量增加,價格不能太高,至少從而第n期的市場需求量取決于本期的價格Pn,§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用3.市場平衡條件為市場清銷,供需相等,即把(4.2)式和(4.3)式代入(4.4)式得方程(4.5)就是該問題的差分方程模型,它是一個一階常系數(shù)線性差分方程.§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用易知方程(4.5)對應(yīng)的齊次方程的通解為方程(4.5)的特解為因此方程(4.5)的通解為其中A是任意常數(shù).§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用用求得

則§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用用(4.6)來討論方程(4.5)的解的性質(zhì):情形1.當(dāng)b

d,若t,則Pn收斂于P

,這時稱

P

為均衡價格;情形2.當(dāng)b

d時,P0,P1,P2,

,

Pn,

在均衡價格P

,兩旁作周期振蕩;情形3.當(dāng)b

d時,若t,則Pn越來越遠(yuǎn)離均衡價格發(fā)散振蕩.§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用例4.2

考慮在有兩個城市A和B的島上營業(yè)的一家小的汽車出租公司.該公司只有兩個營業(yè)部,一個在城市A,另一個在城市B.每天

A城的營業(yè)部中可出租汽車的10%由顧客用開到B城.每天還有B城營業(yè)部中可出租汽車的12%開到了A城.如果以an表示第n天A城的可出租的汽車數(shù),bn表示第n天B城的可出租的汽車數(shù),那么下列包含兩個方程的方程組可用來對此情景進(jìn)行建模:這是一個一階線性差分方程組.§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用令a0

120,而b0

150,我們迭代方程(4.7)和(4.8)求將來n天中兩個城市的營業(yè)部中的汽車數(shù).由(4.7)算得由(4.8)算得§4差分方程和差分方程組的應(yīng)用a2

130.68,b2

139.22,a7

142,b7

128,a14

146,b14

126,a30

147,b30

123,二階線性差分方程二階線性差分方程對應(yīng)的齊次方程為將tn代入(2),得t滿足下列一元二次方程:情形1.a2

4b0.此時方程(3)有兩個實(shí)根t1,t2.而方程(2)的通解為其中C1和C2是任意常數(shù).二階線性差分方程情形2.a2

4b0.此時方程(3)僅有一個實(shí)根t1.而方程(2)的通解為其中A和B是任意常數(shù).二階線性差分方程改寫為方程(2)的通解為其中A和B是任意常數(shù).情形3.a2

4b0.此時方程(3)有一對共軛復(fù)根二階線性差分方程求(1)的一個特解,設(shè)a

C,將其代入方程(1)得二階線性差分方程求斐波那契數(shù)列的一般項(xiàng).比內(nèi)公式設(shè)第n個月有兔子an對,則這是一個二階齊次差分方程.求解代數(shù)方程得兩個實(shí)根則得其中A和B是任意常數(shù).二階線性差分方程等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.設(shè)數(shù)列{an}為以r(r1)為公比的等比