(許洛平)許昌、洛陽(yáng)、平頂山市2025屆高三第一次質(zhì)量檢測(cè)（一模） 數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

豫西北教研聯(lián)盟(許洛平)2024—2025學(xué)年高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)： 2024.10.291.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量a=(x.-3),b=(3x,x+2),若a·b=0,則x=A.-1B.2C.2或-1D.2或-22.已知集合A={x||<x<2},B={x|1<x<a},若B?A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(2,+∞)B.(1,2]C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.已知sinα+π4A.19B.-19C.894.下列選項(xiàng)中，p是q的充要條件的是A.已知非零向量(a,b,c,p:a·c=b·c,q:a=bB.已知x∈R,p:x2+2x-3<0,q:0<x<1C.在△ABC中,p:A>B,q:sinA>sinBD.直線l?:ax+2y+6=0,l?:x+(a-1)y+3=0,p:l?∥l?,q:a=25.已知fx=lnx+A.{x|-2≤x≤4}B.{x|-4≤x≤2}C.{x|x≥4或x≤-2}D.{x|x≥2或x≤-4}6.過雙曲線C:x2a2-y2b2=1（a＞b＞0）A.2B,3C.2D.5數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))7.已知數(shù)列{an},{bn}中,a?=2,b?=6,an??=2A.4B.5C.6D.78.已知a>0,若函數(shù)fx=-aA.(e,+∞)B.(1,e)C.(0,1)D.(1,+∞)二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知ab=14且a,b∈(0,A.a2+b2≥1210.在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊與以O(shè)為圓心，l為半徑的圓交于點(diǎn)A32-12,射線OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2θ后交圓O于點(diǎn)B，若點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y,設(shè)A.α=B.fC.函數(shù)y=f(θ)的單調(diào)遞增區(qū)間為-D.f(θ)的對(duì)稱中心為π11.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，E為棱CC?的中點(diǎn)，P為線段A?E上的動(dòng)點(diǎn)，Q為底面ABCD(含邊界)上的動(dòng)點(diǎn),且平面A?QC⊥平面A?DC,則A.直線BP與平面BCC、B?所成角的最大值為πB.點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為5C.三棱錐Q-A?D?E的體積為定值D.若A1P=λA1E,且PQ∥平面ADD?數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)z滿足z(4-3i)=2+i,則|z|=.13.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l:4x-5y+4=0與C的一個(gè)交點(diǎn)為M,直線MF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N,則|MN|=.14.已知三棱錐P-ABC、AC=22,PB=2,AB⊥BC,二面角P-AB-C的大小為60°,當(dāng)三棱錐P-ABC的體積取得最大值時(shí)，其外接球的表面積為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)設(shè)F?,F?為橢圓C:x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F?作直線l與C交于A,B兩點(diǎn),△F?AB的面積為1227,16.(15分)已知函數(shù)fx=32sinx+cos2x2,在△ABC中,角A,B,C(1)求B;(2)若2b2=2c2+ac,求a+bx數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共4頁(yè))17.(15分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥PD,△PCD為等邊三角形,四邊形ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,CD=2AB=2.(1)證明:平面PAD⊥平面PDC;(2)若PA與平面ABCD所成的角為60°,求平面PBC與平面PAD夾角的余弦值.18.(17分)已知函數(shù)f(1)若f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x-y+1e=0,(2)若a≤-1e2,判斷函數(shù)(3)當(dāng)a=0時(shí),證明:(e?fx≤1-mx+m2,其中0≤x≤2,0<19.(17分)已知有窮數(shù)列a?,a?,…,an(n≥4)的各項(xiàng)均為正整數(shù)，記集合M={x|x=aja(1)若數(shù)列{an}為1,2,4,8,試寫出集合M,并求card(M(2)若{an}是遞增數(shù)列且card(M)=n-1,求證：{a(3)判斷card(M)是否存在最大值，若存在，試說明理由.數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共4頁(yè))原卷掃描版豫西北聯(lián)盟第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)答案原卷掃描版一、選擇題1.C2.C3B4.C5.D6.A7.B8.D二、選擇題9.ACD10.BC11.ABD三、填空題12.5513.25/4四、解答題15.解:(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c(c>0),因?yàn)閨|OG|=|OH|,|OF?|=|OF?|,所以四邊形GF?HF?為平行四邊形，其面積設(shè)為S，則所以c=l,…………2分分…………………所以又解得………………4分所以橢圓C的方程為……………5分(2)易知l的斜率不為0,設(shè)l:x=my+1,A(x?,y?),B(x?,y?),聯(lián)立x=my+1x24所以分…………………7所以分…………………9由分…………………10解得m=±1,…………12所以l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.…………………1316.解:(1)因?yàn)閒x=3所以由fB=sinB+π61因?yàn)?<B<π,所以π6<B+π所以B+π6=(2)由(1)得cosB=12=a2+c2-b22ac8分把a(bǔ)=32c代入2b2=2c2+ac,可得b=7211分13分17.(1)證明:取DC的中點(diǎn)F,連接AF,PF,則AF⊥DC.1515分又△PDC為等邊三角形,PF⊥DC,所以CD⊥平面PAF,所以PA⊥DC.…3分又PA⊥PD,所以PA⊥平面PDC,PA?平面PAD,平面PAD⊥平面PDC.分………………6(2)由(1)知CD⊥平面PAF,∴平面PAF⊥平面ABCD,則點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影在直線AF上，即∠PAF為直線PA與平面ABCD所成的角,則∠PAF=60°,......7分由(1)知PA⊥平面PDC,..PA⊥PF,又△PCD為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則.PF=則PA=1,AF=2?BC=2,…………8分以F為原點(diǎn),FC,FA所在直線為x,y軸,過點(diǎn)F在面PAF中做FE的垂線作為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，過P作PG⊥AF,交AF于G,則PG=32又分…………………9設(shè)平面PBC的法向量為n=令z?=2,則x1:n=302乂PA設(shè)平面PAD的法向量為m=令z?=1,則x3分…………………1設(shè)平面PBC與平面PAD的夾角為α則cos綜上，平面PBC與平面PAD的夾角余弦值為…………1518.解:(1)因?yàn)閒所以…………………1f'（1）=-a又…………2所以f（x）在點(diǎn)（l,f（1））處的切線方程為…………3分即由已知得a=-1…………43分(2)因?yàn)閒x=xex令φ(x)=f'(x),則…………………………5依題意,當(dāng)x>2時(shí),φ'(x)>0,所以f'(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)x<2時(shí),φ'（x）<0,所以f'（x）在（-∞,2）上單調(diào)遞減分………6分………………………7因?yàn)閍≤-1e2,則f'x???≥所以f（x）在R上單調(diào)遞增……………8(3)欲證e??fx≤1-mx+m2成立，即證設(shè)Fx=xex-1-memx-則F'x=設(shè)Gx=1-xex-1-me則………………………12由（2）知,G（x）在（-∞,2）單調(diào)遞減;在（2,+∞）單調(diào)遞增……13所以G（x）在[0,2]單調(diào)遞減,且G（m）=0,0<m<2.………………14故當(dāng)0≤x<m時(shí),G(x)>0,即F'(x)>0,則F(x)在[0,m)單調(diào)遞增;當(dāng)m<x≤2時(shí),G（x）<0,即,則F（x）在（m,2]單調(diào)遞減…………15故F(x)在x=m處取極大值,且極大值為F(m)=0,…………………………16所以當(dāng)x∈[0,2]時(shí),F(x)≤F(m)=0恒成立,即fx4即成立………………1719.解:（1）因?yàn)榉帧?所以集合M={2,4,8},所以card（M）=…………………4(2)證明:因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,且card(M)=n-1,因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以a所