2022年江蘇省泰州市姜堰張沐初級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2022年江蘇省泰州市姜堰張沐初級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月

考試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.直線串=一九+8一定通過()

A.第一、三象限B.第二、四象限

C.第一、二、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限

參考答案：

B

【知識點】直線的傾斜角與斜率

【試題解析】因為斜率無=-2,傾斜角為鈍角，所以，直線必過二、四象限

故答案為：B

2.如圖，二面角口一，一尸的大小是60°,線H3ua.Be/,58與，所成的角為

30°.則-8與平面戶所成的角的正弦值是▲:

參考答案:

略

3.在R上定義運算：對X、ye笈，有工十了=2x+y,

-?（—）

如果a十（%）=1（ab>0）

則a3b的最小值是（)

3228

A.4B.3c.9D.T

參考答案：

C

略

4.函數(shù)人x）=1+x-sinx在（0,2兀）上是（）

A.增函數(shù)B.在（0,兀）上遞增，在

（it,2兀）上遞減

C.減函數(shù)D.在（0,兀）上遞減，在

（0,2兀）上遞增

參考答案：

A

5.下列結(jié)論正確的是（）

（log^xy=-（1%xy=—

A.xB.x&(5)=5*D.(5》5—5

參考答案：

D

6.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，與點R（L2）的距離為1,且與點'（31）的距離為2的直線共

（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

參考答案：

B

略

7.若偶函數(shù)?r）在（一叫0）內(nèi)單調(diào)遞減，則不等式/（—D</（電力的解集是（)

參考答案：

c

【分析】

根據(jù)題意先得到函數(shù)/口）在3+?）的單調(diào)性，進(jìn)而可對不等式求解，得出結(jié)果.

【詳解】因為〃x）為偶函數(shù)在S,）內(nèi)單調(diào)遞減，所以/㈤在（0刎單調(diào)遞增：

由〃T）</（電埼，可得隨W>1,即lgr>l或lgK<—l,

c1

0<x<—

解得x>10或10,

所以，原不等式的解集為I10^

故選C

【點睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，熟記函數(shù)奇偶性、單調(diào)性即可，屬于?？碱}型.

8.如圖，在四面體ABCZ）中，截面PQMN是正方形，則下列命題中，錯誤的為

A.AC1BDB.AC=BD

C.AC〃截面PQMND.異面直線PM與5。所成的角為45°

參考答案：

B

2

9.點P在曲線y=x，-x+m上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為a,則角a的取值范圍是

（）

7T713冗3打K3冗

A.[0,2]B.[0,2)u[4,Jr)c.[4,K)D.(2,4]

參考答案：

B

【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率即為該點處的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的取值范圍

求出斜率的范圍，最后再根據(jù)斜率與傾斜角之間的關(guān)系k=tana,求出a的范圍即可.

【解答】解：???tana=3(-1,

/?tanae[-1,+8).

兀

當(dāng)tanae[0,+°°)時，aG[0,2)；

3-

當(dāng)tanaG[-l,0)時，ae[4,JT).

.3―

ae[o,2)u[4,it)

故選B.

10.在AABC中，若a=18,b=24,A=44°,則此三角形解的情況為

A.無解B.兩解C.一解D.一解或兩解

參考答案：

B

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x、y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在

一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是.

參考答案：

4_

【考點】JA：圓與圓的位置關(guān)系及其判定；J9：直線與圓的位置關(guān)系.

【分析】由于圓C的方程為(x-4)2+y2=l，由題意可知，只需(x-4)與直線

y=kx-2有公共點即可.

【解答】解：???圓C的方程為x2+/-8x+15=0,整理得：(XT)的』，即圓C是以

(4,0)為圓心，1為半徑的圓；

又直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，

???只需圓C'：(x-4)?+/=4與直線y=kx-2有公共點即可.

設(shè)圓心C(4,0)到直線y=kx-2的距離為d,

|4k-2|

則d=Ul+k2W2,即3k?-4kW0,

4_

.?.OWkW后.

4_

???k的最大值是瓦

_4

故答案為：3.

12.命題”非空集等Hx|2a+l<x<3a-5),命題型=卜|(一)(彳22)叫，若

rP是的必要不充分條件，則實數(shù)。的取值范圍▲。

參考答案：

39]

略

13.若曲線》=J三7與直線了=封工-2)+3有兩個不同的公共點，則實數(shù)k的取值范圍

是____________________________________

參考答案：

3

4

xy

14.已知雙曲線/一戶一的左、右焦點分別為&(-G°)，居七°),若雙曲線

上存在一點P使,則該雙曲線的離心莖的取值范圍是.

參考答案：

ee(l,Al)

略

15.如圖所示，用五種不同的顏色分別給A、B、C、D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同

顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有種。

參考答案：

180

16.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在/時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位降2米后,

水面寬米.

4m

參考答案：

4&

略

17.己知KyC,且x+2jr=l,則f+均的最小值為

參考答案：

3

4

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.己知f(x)=ln(x+1)-ax(aGR)

(1)當(dāng)a=l時，求f(x)在定義域上的最大值;

(2)已知y=f(x)在x€[l,+8)上恒有f(x)<0,求a的取值范圍;

12+1+122+2+132+3+1n2+n+l

------■-------■-------*???■-------e

⑶求證：12+122+232+3n2+n

參考答案:

解：(1)Vf(x)=ln(x+1)-ax(a€R)，a=l,

fZ(X)=-^--1=—

1+x1+x,

f'(X)f(x)

由l+x>0,得」<x<0；由1+xVO,得X>O；

所以y=f(x)在(-1,0)為增，在(0,+8)為減,

所以x=0時，f(x)取最大值0.

(2)y=f(x)在xC[l,+°°)上恒有f(x)<0,

a〉ln(x+1)

等價于&x恒成立，

--

I1n(x+4.1)'i—'(T1T+xIn(x+1)

g(x)---=g(x)-------2—

設(shè)AX

-X

h(x)=『n(x+l)=h'(x)12<0(x>l)

T+x

(1+x)

1

h(x)<h(1)=^-ln2<0(4>e=>2>e2)

所以h(x)是減函數(shù)，所以

所以g(x)是減函數(shù)，gmax(X)=g(1),所以a>ln2

12+1+122+2+132+3+1n2+n+l

⑶要證1+12Z+23‘+3n'+n

ln^+ln展…+ln—<1

只需證1+122+2n2+2

In(1+^—)+ln(1+^—)+…+ln(1+^—)<1

只需證1+12,2nz+n

In(l+-y—)<^^=--^j-

因為nz+nn，nnn+1,

In(1+^—)+ln(1+^-)+-+ln(1+^—)<1--^-<1

所以r+12,2n，nn+1.

12+1+122+2+132+3+1n2+n+l

故12+122+232+3n2+n

略

19-已知數(shù)列｛a?)的前n項和為S?,ai=l,a)。,a?a?+1=4S?-1.

(I)求｛a.｝的通項公式；

111

(II)證明：S1+S2+--+Sn<2.

參考答案：

【考點】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式.

【分析】(I)由已知數(shù)列遞推式可得ag2=4S.+L1,與原遞推式作差可得4-a?=4,

說明匕2一｝是首項為1,公差為4的等差數(shù)列，｛出“｝是首項為3,公差為4的等差數(shù)列，分

別求出通項公式后可得｛1｝的通項公式；

111

(II)由等差數(shù)列的前n項和求得S“，取其倒數(shù)后利用放縮法證明Sl+$2+…+Sn<2.

【解答】(I)解：由題設(shè),anan+l=4Sn-1?得an+ian+2=4Sn+l-L

=

兩式相減得a.n+i(an+2-a)4an+i.

由于an”HO，/?an+2~an=4.

由題設(shè),ai=Laia2=4Si-1,可得a2=3.

故可得圓一｝是首項為1,公差為4的等差數(shù)列，a2n-i=4n-3=2(2n-1)-1；

｛aj是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-l=2?2n-1.

.a=2n-l(n€N*)

??n；

n(l+2n-l)2

S=-----------------二n

(II)證明：n2,

1<1^11

當(dāng)n>l時，由八n(n-l)丁-1不，得

尹力…專號+今$+■</4亭貴+…七±2之

22

20.已知橢圓C：a+b=1(a>b>0)上一點到兩焦點間的距離之和為2位,直線4x.

3y+3=O被以橢圓C的短軸為直徑的圓M截得的弦長為M.

(1)求橢圓C的方程；

11

(2)若橢圓C上存在兩個不同的點A,B,關(guān)于直線I：y=-k(x+2)對稱.

(i)求k的取值范圍；

(ii)求證：AAOB面積的最大值等于橢圓C的離心率.

參考答案：

【考點】橢圓的簡單性質(zhì).

【分析】(1)由題意可知：2a=2y，a=F,?=2心-d,即5—2I5,

得：b=l,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)(i)由題意可知：設(shè)直線y=kx+m,代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式

求得中點P坐標(biāo)，代入直線方程1方程，由△>(),即可求得k的取值范圍；

]卜2(k2-^+2)

22

由三角形的面積公式可知：S='2|mI?IX|-x2I(k+2),由基本不等式

返

的性質(zhì)，即可求得三角形面積的最大值，則橢圓的離心率2,即可求證：AAOB面積的

最大值等于橢圓C的離心率.

O9

【解答】解：(1)??,橢圓C：a+b=1(a>b>o)上一點到兩焦點間的距離之和為

2V2,即2a=2V2,a=V2,

由O到直線4x-3y+3=0距離d=4V32+a42=5

8.

直線4x-3y+3=0被以橢圓C的短軸為直徑的圓M截得的弦長為百，

則后=2舊二即后=2｛產(chǎn)一%解得：b=l,

y2,2=1

二橢圓C的方程為：2*

11

(2)(i)由題意可知：直線1：y=-k(x+2)對稱，則設(shè)直線1：y=kx+m,A(xi,

yi),B(X2，yi)，

y=kx+m

V2_

~T+X—I,整理得：(2+k2)x2+2kmx+m2-2=0,

2kmIQ2-2

由韋達(dá)定理可知：xi+x2=-2+k,x)?X2=2+k,

根據(jù)題意：△=4k2m24(2+k2)(m2-2)=8(k2-m2+2)>0,

------29

設(shè)線段AB的中點P(xo，yo)，則xo=2=.2+k,yo=kxo+m=2+k,

1[2m]km]

???點P在直線y=-E(x+2)上，2+k2(一2+1?+萬)，

2+k?

.?.m=-2k,代入△>(),可得3k4+4k2.4>0,

2返返

解得：k2>~3,則或k>刀,

直線AB與y軸交點橫坐標(biāo)為m,

(ii)證明：ZkAOB面積S=2|mI?Ixi-X2I=2?|m

如《2-?+2)1252-1^+2)

I?k2+2(k2+2)2,

K+k2-11)2+2@2+2)2

由基本不等式可得：m2(k2.m2+2)<(2)2=4,

但返

??.△AOB面積S<V2xV4=2,當(dāng)且僅當(dāng)m2=k2-m2+2,即2m2=k?+2,

2+k?

又：m=2k,解得：k=±V2,

返

當(dāng)且僅當(dāng)土丘時,

k=△AOB面積取得最大值為2.

2

y,2=1二返

由橢圓C的方程為：2X的離心率e=a=2,

??.△AOB面積的最大值等于橢圓C的離心率.

21.在銳角4ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2asinB=b.

（I）求角A的大?。?/p>

（II）若a=6,b+c=8,求AABC的面積.

參考答案：

一?，?八二.kBe(0,—)sinB*0/.sinA=—

(1)由已知得到：2011/811】^=438111^,且\22,

Ae(Q,-):.A=-

且23；

cosA=—

(II)由(1)知2,由已知得到：

36=b2+c2-2bcx1=>@+of_勸。=36=>64-3^c=36=>he