【人教A版】高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊：-7.4.2超幾何分布(新教材同步)

【人教A版】高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊7.4.2超幾何分布情境導(dǎo)入

已知100件產(chǎn)品中有8件次品，現(xiàn)從中采用有放回方式隨機抽取3件．設(shè)抽取的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.思考：采用有放回抽樣，隨機變量X服從二項分布嗎？

若將本題中的“有放回”改為”無放回”，那么各次試驗條件就不同了，不是伯努利概型，此時，只能用古典概型求解.答案：服從.一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為其中n

，

N，M∈

N*，M≤N，n≤N

，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}．如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.知識海洋超幾何分布

說明：超幾何分布實質(zhì)上就是有總數(shù)為N的兩類物品，其中一類有M(M<n)件，從所有物品中任取n件，這n件中含這類物品的件數(shù)X是一個離散型變量，它的取值為k的概率．知識海洋

(1)在超幾何分布的模型中，“任取n件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取n件”.

(2)若隨機變量X滿足①試驗是不放回地抽取n次；②隨機變量X表示抽取到的“次品”件數(shù)，則該隨機變量服從超幾何分布.

(3)超幾何分布的特點：①不放回抽樣；②考察對象分兩類；③已知各類對象的個數(shù)；④從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)X的概率分布列．

(4)若X符合超幾何分布，則．

應(yīng)用探究

(2)中的抽取方式為有放回抽取，符合二項分布，故有放回地任取3件，則其中恰有2件次品的概率為.

【例】

(1)在產(chǎn)品抽樣檢驗中，從含有5個次品的100件產(chǎn)品中，不放回地任取3件，則其中恰有2件次品的概率為________.(2)在產(chǎn)品抽樣檢驗中，從含有5個次品的100件產(chǎn)品中，有放回地任取3件，則其中恰有2件次品的概率為________________.（用式子表示即可）

解析：(1)抽取的方式為不放回抽取，符合超幾何分布，故不放回地任取3件，則其中恰好有2件次品的概率為.知識海洋

超幾何分布與二項分布的關(guān)系：①區(qū)別：由古典概型得出超幾何分布，由獨立重復(fù)試驗得出二項分布，這兩個分布的關(guān)系：在產(chǎn)品抽樣檢驗中，如果采用有放回抽樣，則次品數(shù)服從二項分布，如果采用不放回抽樣，則次品數(shù)服從超幾何分布．②聯(lián)系：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽樣數(shù)不太大時，不放回抽樣可以認(rèn)為有放回抽樣，計算超幾何分布時可以用二項分布來代替．應(yīng)用探究

【例】在一個口袋中有30個球，其中有10個是紅球，其余為白球，這些球除顏色外完全相同，游戲者一次從中摸出5個球，摸到且只能摸到4個紅球就中一等獎，那么獲一等獎的概率有多大(保留兩位有效數(shù)字)？

解：將30個球看成是一批產(chǎn)品，則總數(shù)N=30，10個紅球看成是次品，則M=10，一次摸出5個球即n=5，這5個球中紅球的個數(shù)X是一個離散型隨機變量，X服從N=30，M=10，n=5的超幾何分布.X的值可以取0，1，2，3，4，5，那么中一等獎的概率為應(yīng)用探究

【例】某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進行支教活動（每位同學(xué)被選到的可能性相同）.

(1)求選出的3名同學(xué)來自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列.

解:(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A，則所以這3名同學(xué)來自互不相同學(xué)院的概率為應(yīng)用探究

【例】某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進行支教活動（每位同學(xué)被選到的可能性相同）.(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列.X0123P

解:(2)隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3.所以，，所以隨機變量X的分布列是應(yīng)用探究

求超幾何分布列的步驟

(1)驗證隨