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文檔簡介

2025屆福建省廈門市湖里區(qū)雙十中學數學高三第一學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.要得到函數的圖象,只需將函數的圖象A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度2.設不等式組,表示的平面區(qū)域為,在區(qū)域內任取一點,則點的坐標滿足不等式的概率為A. B.C. D.3.下圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊,已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C.1 D.4.設向量,滿足,,,則的取值范圍是A. B.C. D.5.設全集,集合,.則集合等于()A. B. C. D.6.已知等差數列中,則()A.10 B.16 C.20 D.247.陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一,但陀螺這個名詞,直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現.如圖所示的網格紙中小正方形的邊長均為1,粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖,則該陀螺模型的表面積為()A. B.C. D.8.雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.69.是邊長為的等邊三角形,、分別為、的中點,沿把折起,使點翻折到點的位置,連接、,當四棱錐的外接球的表面積最小時,四棱錐的體積為()A. B. C. D.10.若直線與圓相交所得弦長為,則()A.1 B.2 C. D.311.已知復數滿足:(為虛數單位),則()A. B. C. D.12.()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,、分別是雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點,若,,則雙曲線的離心率是______.14.已知函數為上的奇函數,滿足.則不等式的解集為________.15.已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2,點P是上底面16.在各項均為正數的等比數列中,,且,成等差數列,則___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數.(1)當時,不等式恒成立,求的最小值;(2)設數列,其前項和為,證明:.18.(12分)在中,內角,,所對的邊分別是,,,,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.19.(12分)在銳角中,分別是角的對邊,,,且.(1)求角的大??;(2)求函數的值域.20.(12分)在中,內角的對邊分別為,且(1)求;(2)若,且面積的最大值為,求周長的取值范圍.21.(12分)某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產品所用時間,對每個工人組裝一個該產品的用時作了記錄,得到大量統(tǒng)計數據.從這些統(tǒng)計數據中隨機抽取了個數據作為樣本,得到如圖所示的莖葉圖(單位:分鐘).若用時不超過(分鐘),則稱這個工人為優(yōu)秀員工.(1)求這個樣本數據的中位數和眾數;(2)以這個樣本數據中優(yōu)秀員工的頻率作為概率,任意調查名工人,求被調查的名工人中優(yōu)秀員工的數量分布列和數學期望.22.(10分)設橢圓E:(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點,O為坐標原點,(1)求橢圓E的方程;(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先將化為,根據函數圖像的平移原則,即可得出結果.【詳解】因為,所以只需將的圖象向右平移個單位.【點睛】本題主要考查三角函數的平移,熟記函數平移原則即可,屬于基礎題型.2、A【解析】

畫出不等式組表示的區(qū)域,求出其面積,再得到在區(qū)域內的面積,根據幾何概型的公式,得到答案.【詳解】畫出所表示的區(qū)域,易知,所以的面積為,滿足不等式的點,在區(qū)域內是一個以原點為圓心,為半徑的圓面,其面積為,由幾何概型的公式可得其概率為,故選A項.【點睛】本題考查由約束條件畫可行域,求幾何概型,屬于簡單題.3、D【解析】

根據以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得,即的值,由此求得和的值,進而求得所求表達式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為,所以,即,所以,所以.故選:D【點睛】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式,考查二倍角公式,屬于基礎題.4、B【解析】

由模長公式求解即可.【詳解】,當時取等號,所以本題答案為B.【點睛】本題考查向量的數量積,考查模長公式,準確計算是關鍵,是基礎題.5、A【解析】

先算出集合,再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以,又因為.所以.故選:A.【點睛】本題考查集合間的基本運算,涉及到解一元二次不等式、指數不等式,是一道容易題.6、C【解析】

根據等差數列性質得到,再計算得到答案.【詳解】已知等差數列中,故答案選C【點睛】本題考查了等差數列的性質,是數列的??碱}型.7、C【解析】

根據三視圖可知,該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構成,由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為,底面周長為,側面積為,下面圓錐的母線長為,底面周長為,側面積為,沒被擋住的部分面積為,中間圓柱的側面積為.故表面積為,故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數學文化,考查三視圖還原為原圖,考查幾何體表面積的計算,屬于基礎題.8、A【解析】

由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±22x,圓心坐標為(3,0).由題意知,圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=±答案:A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關系,屬于基礎題.9、D【解析】

首先由題意得,當梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,通過圖形發(fā)現,的中點即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進而可根據四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設為梯形的外接圓圓心,當也為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過作的垂線交于點,交于點,連接,點必在上,、分別為、的中點,則必有,,即為直角三角形.對于等腰梯形,如圖:因為是等邊三角形,、、分別為、、的中點,必有,所以點為等腰梯形的外接圓圓心,即點與點重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.【點睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題,關鍵是要找到外接球球心的位置,這個是一個難點,考查了學生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.10、A【解析】

將圓的方程化簡成標準方程,再根據垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標準方程,圓心坐標為,半徑為,因為直線與圓相交所得弦長為,所以直線過圓心,得,即.故選:A【點睛】本題考查了根據垂徑定理求解直線中參數的方法,屬于基礎題.11、A【解析】

利用復數的乘法、除法運算求出,再根據共軛復數的概念即可求解.【詳解】由,則,所以.故選:A【點睛】本題考查了復數的四則運算、共軛復數的概念,屬于基礎題.12、A【解析】

分子分母同乘,即根據復數的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A【點睛】本題考查復數的除法運算,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據三角形中位線證得,結合判斷出垂直平分,由此求得的值,結合求得的值.【詳解】∵,∴為中點,,∵,∴垂直平分,∴,即,∴,,即.故答案為:【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法,考查化歸與轉化的數學思想方法,屬于基礎題.14、【解析】

構造函數,利用導數判斷出函數的單調性,再將所求不等式變形為,利用函數的單調性即可得解.【詳解】設,則,設,則.當時,,此時函數單調遞減;當時,,此時函數單調遞增.所以,函數在處取得極小值,也是最小值,即,,,,即,所以,函數在上為增函數,函數為上的奇函數,則,,則不等式等價于,又,解得.因此,不等式的解集為.故答案為:.【點睛】本題主要考查不等式的求解,構造函數,求函數的導數,利用導數和函數單調性之間的關系是解決本題的關鍵.綜合性較強.15、π.【解析】

設三棱錐P-ABC的外接球為球O',分別取AC、A1C1的中點O、O1,先確定球心O'在線段AC和A1C1中點的連線上,先求出球O【詳解】如圖所示,設三棱錐P-ABC的外接球為球O'分別取AC、A1C1的中點O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設球O的半徑為R,則4πR2=所以,OO則O而點P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此,點P所構成的圖形的面積為π×O【點睛】本題考查三棱錐的外接球的相關問題,根據立體幾何中的線段關系求動點的軌跡,屬于中檔題.16、【解析】

利用等差中項的性質和等比數列通項公式得到關于的方程,解方程求出代入等比數列通項公式即可.【詳解】因為,成等差數列,所以,由等比數列通項公式得,,所以,解得或,因為,所以,所以等比數列的通項公式為.故答案為:【點睛】本題考查等差中項的性質和等比數列通項公式;考查運算求解能力和知識綜合運用能力;熟練掌握等差中項和等比數列通項公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析.【解析】

(1),分,,三種情況推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到證明.【詳解】(1)由,得.當時,方程的,因此在區(qū)間上恒為負數.所以時,,函數在區(qū)間上單調遞減.又,所以函數在區(qū)間上恒成立;當時,方程有兩個不等實根,且滿足,所以函數的導函數在區(qū)間上大于零,函數在區(qū)間上單增,又,所以函數在區(qū)間上恒大于零,不滿足題意;當時,在區(qū)間上,函數在區(qū)間上恒為正數,所以在區(qū)間上恒為正數,不滿足題意;綜上可知:若時,不等式恒成立,的最小值為.(2)由第(1)知:若時,.若,則,即成立.將換成,得成立,即,以此類推,得,,上述各式相加,得,又,所以.【點睛】本題考查利用導數研究函數恒成立問題、證明數列不等式問題,考查學生的邏輯推理能力以及數學計算能力,是一道難題.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據正弦定理先求得邊c,然后由余弦定理可求得邊b;(Ⅱ)結合二倍角公式及和差公式,即可求得本題答案.【詳解】(Ⅰ)因為,由正弦定理可得,,又,所以,所以根據余弦定理得,,解得,;(Ⅱ)因為,所以,,,則.【點睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形,以及利用二倍角公式及和差公式求值,屬基礎題.19、(1);(2)【解析】

(1)由向量平行的坐標表示、正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡求得,進而得到;(2)利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡函數為,根據的范圍可確定的范圍,結合正弦函數圖象可確定所求函數的值域.【詳解】(1),,由正弦定理得:,即,,,,又,.(2)在銳角中,,..,,,,函數的值域為.【點睛】本題考查三角恒等變換、解三角形和三角函數性質的綜合應用問題;涉及到共線向量的坐標表示、利用三角恒等變換公式化簡求值、正弦定理邊化角的應用、正弦型函數值域的求解等知識.20、(1)(2)【解析】

(1)利用二倍角公式及三角形內角和定理,將化簡為,求出的值,結合,求出A的值;(2)寫出三角形的面積公式,由其最大值為求出.由余弦定理,結合,,求出的范圍,注意.進而求出周長的范圍.【詳解】解:(1)整理得解得或(舍去)又;(2)由題意知,又,,又周長的取值范圍是【點睛】本題考查了二倍角余弦公式,三角形面積公式,余弦定理的應用,求三角形的周長的范圍問題.屬于中檔題.21、(1)43,47;(2)分布列見解析,.【解析】

(1)根據莖葉圖即可得到中位數和眾數;(2)根據數據可得任取一名優(yōu)秀員工的概率為,故,寫出分布列即可得解.【詳解】(1)中位數為,眾數為.(2)被調查的名工人中優(yōu)秀員工的數量,任取一名優(yōu)秀員工的概率為,故,,,的分布列如下:故【點睛】此題考查根據莖葉圖求眾數和中位數,求離散型隨機變量分布列,根據分布列求解期望,關鍵在于準確求解概率,若能準確識別二項分布對于解題能夠起到事半功倍的作用.22、(1)(2)【解析】試題分析:(1)因為橢圓E:(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為(2)假設存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即

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