2025屆淮南市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆淮南市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若點(diǎn)在橢圓的外部，則的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（）A. B.C. D.3．如圖，將邊長(zhǎng)為4的正方形折成一個(gè)正四棱柱的側(cè)面，則異面直線AK和LM所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°4．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是C上的點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.13 B.16C.20 D.5．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最小值為（）A. B.C. D.6．下列直線中，傾斜角為銳角的是（）A. B.C. D.7．設(shè)命題甲：，命題乙：直線與直線平行，則（）A.甲是乙的充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件8．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則的形狀為（）A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形9．圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是A. B.C. D.10．拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離（）A. B.C.1 D.211．隨機(jī)抽取甲乙兩位同學(xué)連續(xù)9次成績(jī)（單位：分），得到如圖所示的成績(jī)莖葉圖，關(guān)于這9次成績(jī)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.甲成績(jī)的中位數(shù)為33 B.乙成績(jī)的極差為40C.甲乙兩人成績(jī)的眾數(shù)相等 D.甲成績(jī)的平均數(shù)低于乙成績(jī)的平均數(shù)12．直線l：的傾斜角為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)雙曲線C：(a>0，b>0)的一條漸近線為y=x，則C的離心率為_(kāi)________14．若，則__________15．已知，用割線逼近切線的方法可以求得___________.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上的點(diǎn)，且.（1）求拋物線C的方程；（2）若直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).18．（12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)B為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點(diǎn)P（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）19．（12分）如圖，在三棱柱中，面ABC，，，D為BC的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若F為中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值20．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值21．（12分）如圖①，直角梯形中，，，點(diǎn)，分別在，上，，，將四邊形沿折起，使得點(diǎn)，分別到達(dá)點(diǎn)，的位置，如圖②，平面平面，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.離心率為，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)（斜率不為0），已知直線，且，垂足為，垂足為，若，且的面積是面積的5倍，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題中條件，得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的外部，所以，即，解得或.故選：B.2、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，可得出，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，則，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.3、D【解析】作出折疊后的正四棱錐，確定線面關(guān)系，從而把異面直線的夾角通過(guò)平移放到一個(gè)平面內(nèi)求得.【詳解】由題知，折疊后的正四棱錐如圖所示，易知K為的四等分點(diǎn)，L為的中點(diǎn)，M為的四等分點(diǎn)，，取的中點(diǎn)N，易證，則異面直線AK和LM所成角即直線AK和KN所成角，在中，，，故故選：D4、B【解析】利用橢圓的定義及即可得到答案.【詳解】由橢圓的定義，，焦距，所以的周長(zhǎng)為.故選：B5、B【解析】設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PM|+|PD|的最小值，即可求解【詳解】解：由題意，設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，當(dāng)D，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|+|PD|取得最小值為故選：B6、A【解析】先由直線方程找到直線的斜率，再推導(dǎo)出直線的傾斜角即可.【詳解】選項(xiàng)A：直線的斜率，則直線傾斜角為，是銳角，判斷正確；選項(xiàng)B：直線的斜率，則直線傾斜角為鈍角，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：直線的斜率，則直線傾斜角為0，不是銳角，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：直線沒(méi)有斜率，傾斜角為直角，不是銳角，判斷錯(cuò)誤.故選：A7、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合兩直線平行的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線方程為，此時(shí)，直線與直線平行，即甲乙；直線和直線平行，則，解得或，即乙甲；則甲是乙的充分不必要條件.故選：.8、C【解析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)求得，即可判定三角形形狀.【詳解】解：由題，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：C.9、A【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，兩圓的相交弦的垂直平分線即為直線，其方程為，即；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程、兩圓的相交弦問(wèn)題；處理直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系時(shí)，往往結(jié)合平面幾何知識(shí)（如本題中，求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過(guò)兩圓的圓心的直線方程）可減小運(yùn)算量.10、B【解析】由拋物線可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由拋物線可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可得，即拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為.故選：B.11、D【解析】按照莖葉圖所給的數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲的成績(jī)?yōu)椋?1，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，平均數(shù)為；乙的成績(jī)?yōu)椋?0，22，31，32，35，42，42，50，52，極差為52-10=42，眾數(shù)為42，平均數(shù)為；由以上數(shù)據(jù)可知，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確；故選：D.12、D【解析】先求得直線的斜率，由此求得傾斜角.【詳解】依題意，直線的斜率為，傾斜角的范圍為,則傾斜角為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)已知可得，結(jié)合雙曲線中的關(guān)系，即可求解.【詳解】由雙曲線方程可得其焦點(diǎn)在軸上，因?yàn)槠湟粭l漸近線為，所以，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)雙曲線性質(zhì)，利用漸近線方程與離心率關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意判斷焦點(diǎn)所在位置，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】分別令和，再將兩個(gè)等式相加可求得的值.【詳解】令，則；令，則.上述兩式相加得故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和的計(jì)算，一般令和，通過(guò)對(duì)等式相加減求得，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算即可【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?6、【解析】根據(jù)題意求得，得到，利用等差數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合裂項(xiàng)法求和法，即可求解.【詳解】由，可得，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，可得，所以，所?故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線定義可得，從而得到拋物線C的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，消去，可得的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得所求值【詳解】（1），所以，即拋物線C的方程.（2）設(shè)，由得所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算拋物線弦長(zhǎng)方法，(1)若直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)(2)若直線不過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則用|AB|＝·|x1－x2|求解18、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，即可得到軌跡方程；（2）設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，則，代入韋達(dá)定理，即可求出面積最小值；【小問(wèn)1詳解】解：由已知可得，，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線的距離，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)的軌跡方程為【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)，設(shè)直線方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即面積的最小值為；19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）連接交于點(diǎn)O，連接OD，通過(guò)三角形中位線證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】解法1：如圖，連接交于點(diǎn)O，連接OD，因?yàn)樵谌庵?，四邊形是平行四邊形，所以O(shè)是的中點(diǎn)，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以在中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面解?：因?yàn)樵谌庵?，面ABC，，所以BA，BC，兩兩垂直，故以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋訠（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，∴，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】設(shè)與平面所成角為，由(1)知平面法向量為，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴，，∴即與平面所成角正弦值為.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點(diǎn)，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)，，，，易證，再根據(jù)平面平面，，得到平面，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定定理證明平面即可；（2）根據(jù)（1）知，，兩兩垂直，以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，由求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，，所以，，又，所以是等腰直角三角形，即，所?由平面幾何知識(shí)易知，所以，即.又平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以.又，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，兩兩垂直，以，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，F(xiàn)（1，0，0），則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，取，則.由，，，得平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則，由圖可知二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.22、（1）（2）面積的最大值為