2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章概率統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第六節(jié)統(tǒng)計圖表用樣本估計總體教師文檔教案文北師大版

PAGE第六節(jié)統(tǒng)計圖表、用樣本估計總體授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第184頁[基礎(chǔ)梳理]1．常用統(tǒng)計圖表(1)頻率分布表的畫法：第一步：求極差，確定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；其次步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最終一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖．如圖：橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率．(3)莖葉圖的畫法：第一步：將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；其次步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列，寫在左(右)側(cè)；第三步：將各個數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的右(左)側(cè)．2．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征定義與求法優(yōu)點與缺點眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．但明顯它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些狀況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點續(xù)表數(shù)字特征定義與求法優(yōu)點與缺點平均數(shù)假如有n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個數(shù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)平均數(shù)和每一個數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時牢靠性降低(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差①標(biāo)準(zhǔn)差：表示樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2]).②方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫作方差．s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，其中xi(i＝1，2，3，…，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\o(x,\s\up6(－))是樣本平均數(shù)．1．頻率分布直方圖中的常見結(jié)論(1)眾數(shù)的估計值為最高矩形的中點對應(yīng)的橫坐標(biāo)．(2)平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．(3)中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的．2．平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.[四基自測]1．(基礎(chǔ)點：頻率分布表)某便利店記錄了100天某商品的日需求量(單位：件)，整理得下表：日需求量n/件1415161820頻率0.10.20.30.20.2試估計該商品日平均需求量為()A．16件 B．16.2件C．16.6件 D．16.8件答案：D2．(基礎(chǔ)點：平均數(shù)與方差)甲、乙兩名籃球運動員5場競賽得分的原始記錄如莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均得分分別為eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙；乙比甲得分穩(wěn)定B.eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙；甲比乙得分穩(wěn)定C.eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙；乙比甲得分穩(wěn)定D.eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙；甲比乙得分穩(wěn)定答案：A3．(基礎(chǔ)點：樣本方差的計算)已知一個樣本中的數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，則該樣本的方差為()A．1 B．2C．3 D．4答案：B4．(基礎(chǔ)點：頻率分布直方圖)某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成果的頻率分布直方圖如圖所示，其中成果分組區(qū)間是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，則圖中a的值為________．答案：0.005授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第186頁考點一簡潔統(tǒng)計圖表的應(yīng)用挖掘圖與表的統(tǒng)計意義/自主練透[例](1)(2024·高考全國卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入改變狀況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入削減B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半[解析]設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入為a，則新農(nóng)村建設(shè)后，農(nóng)村經(jīng)濟(jì)收入為2a新農(nóng)村建設(shè)前新農(nóng)村建設(shè)后新農(nóng)村建設(shè)后改變狀況結(jié)論種植收入60%a37%×2a＝74%增加A錯其他收入4%a5%×2a＝10%增加一倍以上B對養(yǎng)殖收入30%a30%×2a＝60%增加了一倍C對養(yǎng)殖收入＋第三產(chǎn)業(yè)收入(30%＋6%)a＝36%a(30%＋28%)×2＝116%a超過經(jīng)濟(jì)收入2aD對故選A.[答案]A(2)(2024·高考全國卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的改變規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2024年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．依據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，改變比較平穩(wěn)[解析]依據(jù)折線圖可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是削減，所以A錯誤．[答案]A(3)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫狀況，繪制了一年中各月平均最高氣溫柔平均最低氣溫的雷達(dá)圖．圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃A．各月的平均最低氣溫都在0℃B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D．平均最高氣溫高于20℃[解析]由題圖可知，0℃在虛線圈內(nèi)，所以各月的平均最低氣溫都在0℃以上，A正確；易知B，C正確；平均最高氣溫高于[答案]D[破題技法]依據(jù)統(tǒng)計圖表(或圖像)分析其意義時(1)明確圖表(圖像)中各數(shù)字的意義及作用．(2)分析數(shù)字或圖像的改變趨勢對實際結(jié)果的影響．(3)常常用到的有扇形圖、條形圖、頻率分布直方圖、莖葉圖、頻數(shù)(頻率)折線圖、等勢線圖等．考點二頻率分布直方圖及綜合應(yīng)用挖掘1作頻率分布直方圖/自主練透[例1](2024·高考全國卷Ⅰ)某家庭記錄了未運用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和運用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未運用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7)頻數(shù)13249265運用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)頻數(shù)151310165(1)在下圖中作出訪用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計該家庭運用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3(3)估計該家庭運用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)約多少水？(一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)[解析](1)如圖所示．(2)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭運用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×因此該家庭運用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3(3)該家庭未運用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為－x1＝eq\f(1,50)×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.該家庭運用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為－x2＝eq\f(1,50)×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估計運用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)約水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．[破題技法]頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法(1)eq\f(fi,Δxi)×Δxi＝fi.(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．挖掘2應(yīng)用頻率分布直方圖估計總體/互動探究[例2](1)(2024·山西四校聯(lián)考)某學(xué)校組織學(xué)生參與數(shù)學(xué)測試，成果的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A．45B．50C．55D．60[解析]∵[20，40)，[40，60)的頻率和為(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴該班的學(xué)生人數(shù)是eq\f(15,0.3)＝50.故選B.[答案]B(2)(2024·高考全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．依據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事務(wù)：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，依據(jù)直方圖得到P(C①求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；②分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．[解析]①由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.②甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.[破題技法]利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征的思路(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)當(dāng)相等，由此可以估計中位數(shù)的值．(2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．(3)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo)．考點三莖葉圖及應(yīng)用挖掘1莖葉圖與樣本數(shù)字特征/自主練透[例1](1)(2024·湖北孝感模擬)某校高三年級10個班參與合唱競賽得分的莖葉圖如圖所示，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是20，則eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值為()12359723a58bA.1 B.eq\f(3,2)C．2 D.eq\f(5,2)[解析]依據(jù)莖葉圖知，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\f(1,10)×[12＋13＋15＋19＋17＋23＋(20＋a)＋25＋28＋(20＋b)]＝20，∴a＋b＝8，∴eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))(a＋b)＝eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋9＋\f(9a,b)＋\f(b,a)))≥eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋2\r(\f(9a,b)·\f(b,a))))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝3a＝6時取“＝”，∴eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值為2.故選C.[答案]C(2)(2024·河北石家莊教學(xué)質(zhì)量檢測)某學(xué)校A、B兩個班的愛好小組在一次對抗賽中的成果如莖葉圖所示，通過莖葉圖比較兩個班愛好小組成果的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差．①A班愛好小組的平均成果高于B班愛好小組的平均成果；②B班愛好小組的平均成果高于A班愛好小組的平均成果；③A班愛好小組成果的標(biāo)準(zhǔn)差大于B班愛好小組成果的標(biāo)準(zhǔn)差；④B班愛好小組成果的標(biāo)準(zhǔn)差大于A班愛好小組成果的標(biāo)準(zhǔn)差．其中正確結(jié)論的編號為()A．①④ B．②③C．②④ D．①③[解析]A班愛好小組的平均成果為eq\f(53＋62＋64＋…＋92＋95,15)＝78，其方差為eq\f(1,15)×[(53－78)2＋(62－78)2＋…＋(95－78)2]＝121.6，則其標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(121.6)≈11.03；B班愛好小組的平均成果為eq\f(45＋48＋51＋…＋91,15)＝66，其方差為eq\f(1,15)×[(45－66)2＋(48－66)2＋…＋(91－66)2]＝175.2，則其標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(169.2)≈13.24.故選A.[答案]A[破題技法]莖葉圖的繪制需留意：(1)“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不須要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特殊是“葉”的位置上的數(shù)據(jù)．挖掘2用莖葉圖進(jìn)行總體估計/互動探究[例2](2024·唐山高三年級摸底考試)某廠分別用甲、乙兩種工藝生產(chǎn)同一種零件，尺寸在[223，228]內(nèi)(單位：mm)的零件為一等品，其余為二等品．在兩種工藝生產(chǎn)的零件中，各隨機(jī)抽取10個，其尺寸的莖葉