專題03不等式4題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(原卷版+解析版)_第1頁
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文檔簡介

專題03不等式4題型分類1.不等式的性質(zhì)(1)對稱性:a>b?b<a.(2)傳遞性:a>b,b>c?a>c.(3)可加性:a>b?a+c>b+c.(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc.(5)同向可加性:a>b,c>d?a+c>b+d.(6)同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0?ac>bd.(7)同正可乘方性:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2).2.兩個實數(shù)比較大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-b>0?a>b,,a-b=0?a=b,,a-b<0?a<b.))(a,b∈R).3.基本不等式(1)基本不等式:eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2).(2)基本不等式成立的條件:a>0,b>0.(3)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.(4)其中eq\f(a+b,2)叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),eq\r(ab)叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).4.幾個重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥2(a,b同號).(3)ab≤(a,b∈R).(4)eq\f(a2+b2,2)≥(a,b∈R).5.三個“二次”的關(guān)系判別式ΔΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)的圖象方程的根有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=-eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根不等式的解集{x|x<x1,或x>x2}{x|x≠-eq\f(b,2a)}R6.分式不等式與絕對值不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0).(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.(3)|x|>a(a>0)的解集為(-∞,-a)∪(a,+∞),|x|<a(a>0)的解集為(-a,a).(一)不等式的性質(zhì)1.常用結(jié)論(1)若ab>0,且a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)若a>b>0,m>0?eq\f(b,a)<eq\f(b+m,a+m).(3)若b>a>0,m>0?eq\f(b,a)>eq\f(b+m,a+m).2.判斷不等式的常用方法.(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗證.(2)利用特殊值法排除錯誤選項.(3)作差法.(4)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性.題型1:不等式的性質(zhì)1-1.(2024高三上·廣東·期末)已知,,則的取值范圍為(

)A. B. C. D.1-2.(2024·全國)若a>b,則A.ln(a?b)>0 B.3a<3bC.a(chǎn)3?b3>0 D.│a│>│b│1-3.(2024·山東)若a>b>0,且ab=1,則下列不等式成立的是A. B.C. D.(二)比較大小1.不等式大小比較的常用方法(1)作差:作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果.(2)作商(常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式).(3)分析法.(4)平方法.(5)分子(或分母)有理化.(6)利用函數(shù)的單調(diào)性.(7)尋找中間量或放縮法.(8)圖象法.其中比較法(作差、作商)是最基本的方法.題型2:比較大小2-1.(2024·全國)已知,則(

)A. B. C. D.2-2.(2024高三·全國·課后作業(yè))(1)已知a>b>0,c<d<0,求證:;(2)設(shè)x,,比較與的大小.2-3.(2024高一上·江蘇南京·階段練習(xí))(1)試比較與的大??;(2)已知,,求證:.(三)基本不等式1.基本不等式(1)基本不等式:eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)(a>0,b>0).(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.2.幾個重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥2(a,b同號).(3)ab≤(a,b∈R).(4)eq\f(a2+b2,2)≥(a,b∈R).3.基本不等式求最值(1)前提:“一正”“二定”“三相等”.(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后再利用基本不等式.(3)條件最值的求解通常有三種方法:一是配湊法;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)“1”代換的方法;三是消元法.題型3:基本不等式3-1.(2024高一下·廣西柳州·期末)若,則的最小值為.3-2.(2024高三·河北·學(xué)業(yè)考試)若,,且,則的最大值為.3-3.(2024高三上·湖南婁底·期末)已知a,b為正實數(shù),且,則的最小值為.3-4.(2024·天津南開·一模)已知實數(shù),則的最小值為.3-5.(2024高三上·江蘇常州·開學(xué)考試)已知正實數(shù)滿足,則的最小值為.3-6.(2024·上海浦東新·二模)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.3-7.(2024·上海長寧·二模)某小學(xué)開展勞動教育,欲在圍墻邊用柵欄圍城一個2平方米的矩形植物種植園,矩形的一條邊為圍墻,如圖.則至少需要米柵欄.(四)不等式的求解1.含參一元二次不等式的解法(1)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).(3)有兩個根時,有時還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.2.一元二次不等式恒成立問題(1)弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下,求誰的范圍,誰就是參數(shù).(2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判別式Δ;一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立,不能用判別式Δ,一般分離參數(shù)求最值或分類討論.題型4:不等式的求解4-1.(2024·全國)已知集合則(

)A. B.C. D.4-2.(2024高一下·廣東陽江·期末)不等式的解集為(

)A. B.C. D.4-3.(2024高三·全國·專題練習(xí))解下列關(guān)于的不等式.4-4.(2024高三·全國·專題練習(xí))若不等式對任意恒成立,實數(shù)x的取值范圍是.4-5.(2024高二下·吉林·期末)若使關(guān)于的不等式成立,則實數(shù)的取值范圍是.4-6.(2024·廣西·模擬預(yù)測)若不等式對恒成立,則a的取值范圍是.4-7.(2024高三上·北京·期中)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解,則實數(shù)a的取值范圍是.一、單選題1.(2024高一上·吉林延邊·期末)已知,,則的取值范圍是(

)A. B.C. D.2.(2024·遼寧·二模)數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖所示圖形,在等腰直角三角形中,點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個動點(diǎn),設(shè),,用該圖形能證明的不等式為(

).A. B.C. D.3.(2024·黑龍江哈爾濱·三模)已知x,y都是正數(shù),且,則下列選項不恒成立的是(

)A. B.C. D.4.(2024高二上·寧夏·期中)下列運(yùn)用基本不等式求最值,使用正確的個數(shù)是(

)已知,求的最小值;解答過程:;求函數(shù)的最小值;解答過程:可化得;設(shè),求的最小值;解答過程:,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,把代入得最小值為4.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個5.(2024高三下·重慶渝中·階段練習(xí))已知正實數(shù)a,b滿足,則的最小值是()A.2 B. C. D.66.(2024高三下·浙江·期中)設(shè),,若,則的最大值為(

)A. B. C. D.7.(2024高三上·河北承德·階段練習(xí))已知集合,集合,若“”是“”的充分不必要條件,則實數(shù)的取值范圍(

)A. B. C. D.8.(2024·全國·模擬預(yù)測)若關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個整數(shù),則實數(shù)m的取值范圍為(

)A. B.C. D.9.(2024高一下·浙江湖州·開學(xué)考試)已知關(guān)于的不等式的解集為或,則下列說法正確的是(

)A. B.不等式的解集為C. D.不等式的解集為10.(2024高一上·上海浦東新·期中)已知實數(shù),關(guān)于的不等式的解集為,則實數(shù)a、b、、從小到大的排列是(

)A. B.C. D.安徽省合肥一六八中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)關(guān)于的不等式的解集為,則不等式的解集為(

)A. B. C. D.12.(2024·北京海淀·模擬預(yù)測)已知關(guān)于x的不等式的解集是,則下列四個結(jié)論中錯誤的是(

)A.B.C.若關(guān)于x的不等式的解集為,則D.若關(guān)于x的不等式的解集為,且,則13.(2024高三上·江蘇南通·期中)已知關(guān)于x的不等式的解集為,其中,則的最小值為(

)A.-2 B.1 C.2 D.814.(2024·山東)已知二次函數(shù)的圖像如圖所示,則不等式的解集是(

)A. B. C. D.15.(2024·全國)已知集合,則A. B.C. D.16.(2024·四川成都·三模)設(shè)為正項等差數(shù)列的前項和.若,則的最小值為(

)A. B. C. D.17.(2024·北京房山·二模)下列函數(shù)中,是偶函數(shù)且有最小值的是(

)A. B.C. D.18.(2024·海南??凇つM預(yù)測)若正實數(shù),滿足.則的最小值為(

)A.12 B.25 C.27 D.3619.(2024·湖北荊門·模擬預(yù)測)已知實數(shù)滿足,則的最小值是(

)A.5 B.9 C.13 D.1820.(2024·湖南長沙·一模)已知,則m,n不可能滿足的關(guān)系是(

)A. B.C. D.21.(2024·浙江杭州·二模)已知,,且,則ab的最小值為(

)A.4 B.8 C.16 D.3222.(2024·河南安陽·三模)已知,則下列命題錯誤的是(

)A.若,則B.若,則的最小值為4C.若,則的最大值為2D.若,則的最大值為23.(2024·廣東湛江·二模)當(dāng),時,恒成立,則m的取值范圍是(

)A. B. C. D.二、多選題24.(2024·重慶·模擬預(yù)測)已知,,則下列關(guān)系式一定成立的是(

)A. B.C. D.25.(2024·山東·二模)已知實數(shù)滿足,且,則下列說法正確的是(

)A. B. C. D.26.(2024高三上·山東泰安·期末)若,則下列結(jié)論正確的是(

)A. B.C. D.27.(2024高三上·江蘇·階段練習(xí))已知實數(shù)x,y滿足則(

)A.的取值范圍為 B.的取值范圍為C.的取值范圍為 D.的取值范圍為28.(2024高三下·河北衡水·階段練習(xí))已知,,且滿足,.則的取值可以為(

)A.10 B.11 C.12 D.2029.(2024高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí))已知,則(

)A. B.C. D.30.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知實數(shù)a,b滿足,則(

)A. B.C. D.的最小值為131.(2024·江蘇·模擬預(yù)測)已知糖水中含有糖(),若再添加糖完全溶解在其中,則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大),根據(jù)這個事實,下列不等式中一定成立的有(

)A. B.C. D.32.(2024·全國)若x,y滿足,則(

)A. B.C. D.33.(2024·重慶·模擬預(yù)測)若實數(shù),滿足,則(

)A. B.C. D.34.(2024高三下·湖北·階段練習(xí))已知,且,則(

)A.的最小值為4 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為35.(2024·云南紅河·一模)已知,,且,則下列說法正確的是(

)A. B. C. D.36.(2024·山西·一模)設(shè),,,則下列結(jié)論正確的是(

)A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為9 D.的最小值為37.(2024·山東)已知a>0,b>0,且a+b=1,則(

)A. B.C. D.38.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知實數(shù)a,b滿足,則下列說法正確的有(

)A. B.C.若,則 D.39.(2024高一上·浙江溫州·期中)已知,且則下列結(jié)論一定正確的有(

)A. B.C.a(chǎn)b有最大值4 D.有最小值940.(2024高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí))下列說法正確的是(

)A.若且,則,至少有一個大于2B.,C.若,,則D.的最小值為241.(2024·云南曲靖·模擬預(yù)測)若實數(shù)滿足,則(

)A.且 B.的最大值為C.的最小值為7 D.三、填空題42.(2024高一·全國·單元測試)若,則將從小到大排列為.43.(2024高二·全國·單元測試)如果a>b,給出下列不等式:①;②a3>b3;③;④2ac2>2bc2;⑤>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.其中一定成立的不等式的序號是.44.(2024高三上·上海普陀·期中)已知三個實數(shù)a、b、c,當(dāng)時,且,則的取值范圍是.45.(2024·浙江)已知實數(shù)、、滿足,,則的最大值為.46.(2024·山西·一模)我們都知道一杯糖水中再加入一些糖,糖水會更甜.這句話用數(shù)學(xué)符號可表示為:,其中,且a,b,.據(jù)此可以判斷兩個分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系,比如(填“>”“<”).47.(2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模)若克不飽和糖水中含有克糖,則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為,這個質(zhì)量分?jǐn)?shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖,生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜,從而可抽象出不等式(,)數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出(用“”或“”填空);并寫出上述結(jié)論所對應(yīng)的一個糖水不等式.48.(2024高三上·天津南開·階段練習(xí))若,,且,則的最小值是.49.(2024·重慶·模擬預(yù)測)已知,則的最小值為.50.(2024高三·全國·專題練習(xí))若,則的最小值為51.(2024高三下·上海浦東新·階段練習(xí))若關(guān)于x的不等式的解集為,則的最小值為.52.(2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí))若,,則的最小值為.53.(2024高二下·浙江·期中)已知,,滿足,則的最小值是.54.(2024·天津·一模)若,,,,則的最小值為.55.(2024高三上·浙江寧波·期中)已知,,,則取到最小值為.56.(2024·安徽蚌埠·二模)若直線過點(diǎn),則的最小值為.57.(2024高三下·河北·階段練習(xí))已知,則的最小值為.58.(2024高一上·山東煙臺·階段練習(xí))已知,,且,則的最小值為.59.(2024高三下·浙江·開學(xué)考試)已知正實數(shù)a,b,c,,則的最小值為.60.(2024·天津濱海新·模擬預(yù)測)已知,則的最大值是.61.(2024·上海金山·二模)若實數(shù)滿足不等式,則的取值范圍是.62.(2024高三·全國·課后作業(yè))不等式的解集為.63.(2024高一下·湖北省直轄縣級單位·期末)函數(shù)的定義域為.64.(2024高三·全國·課后作業(yè))不等式的解集為.65.(2024高一上·上海松江·階段練習(xí))不等式的解集為.66.(2024·江西)不等式的的解集是67.(2024·上海崇明·二模)若不等式,則x的取值范圍是.68.(2024·上海浦東新·三模)不等式的解集是.69.(2024高三下·上海楊浦·階段練習(xí))已知集合,則.70.(2024高一上·全國·專題練習(xí))方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根,的取值范圍為.71.(2024高一·全國·專題練習(xí))若方程有兩個不相等的實根,則可取的最大整數(shù)值是.72.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知,,則的取值范圍為.73.(2024高三·全國·專題練習(xí))若不等式對恒成立,則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題74.(2024高三·江蘇·專題練習(xí))利用基本不等式證明:已知都是正數(shù),求證:75.(2024高三下·河南·階段練習(xí))已知x,y,z為正數(shù),證明:(1)若,則;(2)若,則.76.(2024·四川綿陽·二模)已知函數(shù),若的解集為.(1)求實數(shù),的值;(2)已知,均為正數(shù),且滿足,求證:.77.(2024高二下·江蘇·期末)首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會在南昌召開,本屆大會以“節(jié)能減排,綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采取了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為,且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?(2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位不虧損?78.(2024高一上·貴州安順·期末)某企業(yè)采用新工藝,把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為100噸,最多為600噸,月處理成本(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為.(1)該單位每月處理量為多少噸時,才能使月處理成本最低?月處理成本最低是多少元?(2)該單位每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?每噸的平均處理成本最低是多少元?79.(2024高一下·湖北孝感·開學(xué)考試)截至年月日,全國新型冠狀病毒的感染人數(shù)突破人疫情嚴(yán)峻,請同學(xué)們利用數(shù)學(xué)模型解決生活中的實際問題.(1)我國某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥,并已進(jìn)入二期臨床試驗階段已知這種新藥在注射停止后的血藥含量(單位:)隨著時間(單位:).的變化用指數(shù)模型描述,假定某藥物的消除速率常數(shù)(單位:),剛注射這種新藥后的初始血藥含量,且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于時才會對新冠肺炎起療效,現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥,求該新藥對病人有療效的時長大約為多少小時?(精確到,參考數(shù)據(jù):,)(2)為了抗擊新冠,需要建造隔離房間.如圖,每個房間是長方體,且有一面靠墻,底面積為平方米,側(cè)面長為米,且不超過,房高為米.房屋正面造價元平方米,側(cè)面造價元平方米.如果不計房屋背面、屋頂和地面費(fèi)用,則側(cè)面長為多少時,總價最低?

專題03不等式4題型分類1.不等式的性質(zhì)(1)對稱性:a>b?b<a.(2)傳遞性:a>b,b>c?a>c.(3)可加性:a>b?a+c>b+c.(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc.(5)同向可加性:a>b,c>d?a+c>b+d.(6)同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0?ac>bd.(7)同正可乘方性:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2).2.兩個實數(shù)比較大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-b>0?a>b,,a-b=0?a=b,,a-b<0?a<b.))(a,b∈R).3.基本不等式(1)基本不等式:eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2).(2)基本不等式成立的條件:a>0,b>0.(3)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.(4)其中eq\f(a+b,2)叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),eq\r(ab)叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).4.幾個重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥2(a,b同號).(3)ab≤(a,b∈R).(4)eq\f(a2+b2,2)≥(a,b∈R).5.三個“二次”的關(guān)系判別式ΔΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)的圖象方程的根有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=-eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根不等式的解集{x|x<x1,或x>x2}{x|x≠-eq\f(b,2a)}R6.分式不等式與絕對值不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0).(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.(3)|x|>a(a>0)的解集為(-∞,-a)∪(a,+∞),|x|<a(a>0)的解集為(-a,a).(一)不等式的性質(zhì)1.常用結(jié)論(1)若ab>0,且a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)若a>b>0,m>0?eq\f(b,a)<eq\f(b+m,a+m).(3)若b>a>0,m>0?eq\f(b,a)>eq\f(b+m,a+m).2.判斷不等式的常用方法.(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗證.(2)利用特殊值法排除錯誤選項.(3)作差法.(4)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性.題型1:不等式的性質(zhì)1-1.(2024高三上·廣東·期末)已知,,則的取值范圍為(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)不等式的同向可加性,結(jié)合待定系數(shù)法可得,即可得的取值范圍.【詳解】解:設(shè),所以,則,又,所以,,由不等式的性質(zhì)得:,則的取值范圍為.故選:D.1-2.(2024·全國)若a>b,則A.ln(a?b)>0 B.3a<3bC.a(chǎn)3?b3>0 D.│a│>│b│【答案】C【分析】本題也可用直接法,因為,所以,當(dāng)時,,知A錯,因為是增函數(shù),所以,故B錯;因為冪函數(shù)是增函數(shù),,所以,知C正確;取,滿足,,知D錯.【詳解】取,滿足,,知A錯,排除A;因為,知B錯,排除B;取,滿足,,知D錯,排除D,因為冪函數(shù)是增函數(shù),,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義,滲透了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng),利用特殊值排除即可判斷.1-3.(2024·山東)若a>b>0,且ab=1,則下列不等式成立的是A. B.C. D.【答案】B【詳解】因為,且,所以設(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以,所以選B.【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.本題雖小,但考查的知識點(diǎn)較多,需靈活利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷.(二)比較大小1.不等式大小比較的常用方法(1)作差:作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果.(2)作商(常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式).(3)分析法.(4)平方法.(5)分子(或分母)有理化.(6)利用函數(shù)的單調(diào)性.(7)尋找中間量或放縮法.(8)圖象法.其中比較法(作差、作商)是最基本的方法.題型2:比較大小2-1.(2024·全國)已知,則(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】法一:根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知,再利用基本不等式,換底公式可得,,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.【詳解】[方法一]:(指對數(shù)函數(shù)性質(zhì))由可得,而,所以,即,所以.又,所以,即,所以.綜上,.[方法二]:【最優(yōu)解】(構(gòu)造函數(shù))由,可得.根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù),則,令,解得,由知.在上單調(diào)遞增,所以,即,又因為,所以.故選:A.【點(diǎn)評】法一:通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較,方法直接常用,屬于通性通法;法二:利用的形式構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系,簡單明了,是該題的最優(yōu)解.2-2.(2024高三·全國·課后作業(yè))(1)已知a>b>0,c<d<0,求證:;(2)設(shè)x,,比較與的大小.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】(1)由不等式的性質(zhì)即可證明.(2)要比較與的大小,將兩式做差展開化簡,得到即可判斷正負(fù)并比較出結(jié)果.【詳解】(1)由a>b>0,c<d<0,得-c>-d>0,a-c>b-d>0,從而得.又a>b>0,所以.(2)因為,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時等號成立,所以當(dāng)x=y(tǒng)時,;當(dāng)時,.2-3.(2024高一上·江蘇南京·階段練習(xí))(1)試比較與的大?。唬?)已知,,求證:.【答案】(1);(2)證明見解析.【分析】(1)與作差,判斷差的正負(fù)即可得出結(jié)論;(2)結(jié)合不等式的性質(zhì)分析即可證出結(jié)論.【詳解】(1)由題意,,所以.(2)證明:因為,所以,即,而,所以,則.得證.(三)基本不等式1.基本不等式(1)基本不等式:eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)(a>0,b>0).(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.2.幾個重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥2(a,b同號).(3)ab≤(a,b∈R).(4)eq\f(a2+b2,2)≥(a,b∈R).3.基本不等式求最值(1)前提:“一正”“二定”“三相等”.(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后再利用基本不等式.(3)條件最值的求解通常有三種方法:一是配湊法;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)“1”代換的方法;三是消元法.題型3:基本不等式3-1.(2024高一下·廣西柳州·期末)若,則的最小值為.【答案】0【分析】構(gòu)造,利用基本不等式計算即可得出結(jié)果.【詳解】由,得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故答案為:03-2.(2024高三·河北·學(xué)業(yè)考試)若,,且,則的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)基本不等式得即可解決.【詳解】由題知,,,且因為,所以,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時,取等號,故答案為:3-3.(2024高三上·湖南婁底·期末)已知a,b為正實數(shù),且,則的最小值為.【答案】6【分析】利用已知化簡可得,根據(jù)基本不等式計算即可.【詳解】由已知條件得,,當(dāng)且僅當(dāng),即,時取等號.故答案為:6.3-4.(2024·天津南開·一模)已知實數(shù),則的最小值為.【答案】【分析】運(yùn)用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】∵,,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.故答案為:.3-5.(2024高三上·江蘇常州·開學(xué)考試)已知正實數(shù)滿足,則的最小值為.【答案】8【分析】根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】解:因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時,取等號,所以的最小值為8.故答案為:8.3-6.(2024·上海浦東新·二模)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.【答案】.【分析】對函數(shù)變形后,利用基本不等式求出最小值.【詳解】,因為,所以,故,故,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.故答案為:3-7.(2024·上海長寧·二模)某小學(xué)開展勞動教育,欲在圍墻邊用柵欄圍城一個2平方米的矩形植物種植園,矩形的一條邊為圍墻,如圖.則至少需要米柵欄.【答案】【分析】設(shè)矩形植物種植園的寬、長為,由題意結(jié)合均值不等式求解即可.【詳解】設(shè)矩形植物種植園的寬、長為,所以,則,當(dāng)且僅當(dāng)“”時取等.故至少需要米柵欄.故答案為:.(四)不等式的求解1.含參一元二次不等式的解法(1)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).(3)有兩個根時,有時還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.2.一元二次不等式恒成立問題(1)弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下,求誰的范圍,誰就是參數(shù).(2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判別式Δ;一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立,不能用判別式Δ,一般分離參數(shù)求最值或分類討論.題型4:不等式的求解4-1.(2024·全國)已知集合則(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】首先解一元二次不等式求得集合A,之后利用交集中元素的特征求得,得到結(jié)果.【詳解】由解得,所以,又因為,所以,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)集合的問題,涉及到的知識點(diǎn)有利用一元二次不等式的解法求集合,集合的交運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.4-2.(2024高一下·廣東陽江·期末)不等式的解集為(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解.【詳解】解:原不等式可以轉(zhuǎn)化為:,當(dāng)時,可知,對應(yīng)的方程的兩根為1,,根據(jù)一元二次不等式的解集的特點(diǎn),可知不等式的解集為:.故選:A.4-3.(2024高三·全國·專題練習(xí))解下列關(guān)于的不等式.【答案】見解析【分析】一元二次不等式,討論開口方向即可.【詳解】方程:且解得方程兩根:;當(dāng)時,原不等式的解集為:當(dāng)時,原不等式的解集為:綜上所述,當(dāng)時,原不等式的解集為:當(dāng)時,原不等式的解集為:4-4.(2024高三·全國·專題練習(xí))若不等式對任意恒成立,實數(shù)x的取值范圍是.【答案】【分析】把題意轉(zhuǎn)化為,設(shè),由一次函數(shù)的單調(diào)性列不等式組,即可求解.【詳解】可轉(zhuǎn)化為.設(shè),則是關(guān)于m的一次型函數(shù).要使恒成立,只需,解得.故答案為:4-5.(2024高二下·吉林·期末)若使關(guān)于的不等式成立,則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意,,使關(guān)于的不等式成立,則,即,,再結(jié)合對勾函數(shù)找到最大值即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解:,使關(guān)于的不等式成立,則,即,,令,,則對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,故故答案為:4-6.(2024·廣西·模擬預(yù)測)若不等式對恒成立,則a的取值范圍是.【答案】【分析】通過參數(shù)分離等價轉(zhuǎn)化不等式,再求二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值,即可求出a的取值范圍.【詳解】由不等式對恒成立,可轉(zhuǎn)化為對恒成立,即,而,當(dāng)時,有最大值,所以,故答案為:.4-7.(2024高三上·北京·期中)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解,則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題中條件,由分離參數(shù)的方法得到,求出在給定區(qū)間的最大值,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因為,所以由得,因為關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解,所以只需小于等于的最大值,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故的最大值為1,所以,即實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.一、單選題1.(2024高一上·吉林延邊·期末)已知,,則的取值范圍是(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】先求的范圍,再根據(jù)不等式的性質(zhì),求的范圍.【詳解】因為,所以,由,得.故選:A.2.(2024·遼寧·二模)數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖所示圖形,在等腰直角三角形中,點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個動點(diǎn),設(shè),,用該圖形能證明的不等式為(

).A. B.C. D.【答案】C【分析】由為等腰直角三角形,得到,,然后在中,得到CD判斷.【詳解】解:由圖知:,在中,,所以,即,故選:C3.(2024·黑龍江哈爾濱·三模)已知x,y都是正數(shù),且,則下列選項不恒成立的是(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式判斷.【詳解】x,y都是正數(shù),由基本不等式,,,,這三個不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,而題中,因此等號都取不到,所以ABC三個不等式恒成立;中當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,如即可取等號,D中不等式不恒成立.故選:D.4.(2024高二上·寧夏·期中)下列運(yùn)用基本不等式求最值,使用正確的個數(shù)是(

)已知,求的最小值;解答過程:;求函數(shù)的最小值;解答過程:可化得;設(shè),求的最小值;解答過程:,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,把代入得最小值為4.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】A【分析】利用基本不等式成立的條件,對三個求解過程分別進(jìn)行判斷即可得到答案.【詳解】對:基本不等式適用于兩個正數(shù),當(dāng),均為負(fù)值,此時,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,故的用法有誤,故錯誤;對:,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,但,則等號取不到,故的用法有誤;對:,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,故的用法有誤;故使用正確的個數(shù)是0個,故選:.5.(2024高三下·重慶渝中·階段練習(xí))已知正實數(shù)a,b滿足,則的最小值是()A.2 B. C. D.6【答案】B【分析】根據(jù)變形得,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為,用湊配方式得出,再利用基本不等式即可求解.【詳解】由,得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即取等號.故選:B.6.(2024高三下·浙江·期中)設(shè),,若,則的最大值為(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】法一:設(shè),進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為已知,求的最大值問題,再根據(jù)基本不等式求解即可;法二:由題知進(jìn)而根據(jù)三角換元得,再根據(jù)三角函數(shù)最值求解即可.【詳解】解:法一:(基本不等式)設(shè),則,條件,所以,即.故選:D.法二:(三角換元)由條件,故可設(shè),即,由于,,故,解得所以,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選:D.7.(2024高三上·河北承德·階段練習(xí))已知集合,集合,若“”是“”的充分不必要條件,則實數(shù)的取值范圍(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】解分式不等式可求得集合;根據(jù)充分不必要條件的定義可知;解一元二次不等式,分別討論,和的情況,根據(jù)包含關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由得:,,解得:,;由得:;“”是“”的充分不必要條件,,當(dāng)時,,不滿足;當(dāng)時,,不滿足;當(dāng)時,,若,則需;綜上所述:實數(shù)的取值范圍為.故選:A.8.(2024·全國·模擬預(yù)測)若關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個整數(shù),則實數(shù)m的取值范圍為(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】討論m與2的大小關(guān)系,求得不等式的解集,根據(jù)解集中恰有4個整數(shù),確定m的取值范圍.【詳解】不等式即,當(dāng)時,不等式解集為,此時要使解集中恰有4個整數(shù),這四個整數(shù)只能是3,4,5,6,故,當(dāng)時,不等式解集為,此時不符合題意;當(dāng)時,不等式解集為,此時要使解集中恰有4個整數(shù),這四個整數(shù)只能是,故,,故實數(shù)m的取值范圍為,故選:C9.(2024高一下·浙江湖州·開學(xué)考試)已知關(guān)于的不等式的解集為或,則下列說法正確的是(

)A. B.不等式的解集為C. D.不等式的解集為【答案】B【分析】根據(jù)解集形式確定選項A錯誤;化不等式為即可判斷選項B正確;設(shè),則,判斷選項C錯誤;解不等式可判斷選項D錯誤.【詳解】解:因為關(guān)于的不等式的解集為或,所以,所以選項A錯誤;由題得,所以為.所以選項B正確;設(shè),則,所以選項C錯誤;不等式為,所以選項D錯誤.故選:B10.(2024高一上·上海浦東新·期中)已知實數(shù),關(guān)于的不等式的解集為,則實數(shù)a、b、、從小到大的排列是(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】由題可知,再利用中間量,根據(jù)與之間的關(guān)系求出的取值范圍,即可判斷a、b、、之間的關(guān)系.【詳解】由題可得:,.由,,設(shè),則.所以,所以,.又,所以,所以.故,.又,故.故選:A.11.(安徽省合肥一六八中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)關(guān)于的不等式的解集為,則不等式的解集為(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】首先利用一元二次不等式和方程的關(guān)系,列出根與系數(shù)的關(guān)系,得到的關(guān)系,代入不等式化簡求解.【詳解】的解集是,,得,則不等式,即,解得:,所以不等式的解集是.故選:D12.(2024·北京海淀·模擬預(yù)測)已知關(guān)于x的不等式的解集是,則下列四個結(jié)論中錯誤的是(

)A.B.C.若關(guān)于x的不等式的解集為,則D.若關(guān)于x的不等式的解集為,且,則【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法與一元二次方程之間的關(guān)系以及韋達(dá)定理,基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意,所以正確;對于:,當(dāng)且僅當(dāng),即時成立,所以正確;對于,由韋達(dá)定理,可知,所以錯誤;對于,由韋達(dá)定理,可知,則,解得,所以正確,故選:.13.(2024高三上·江蘇南通·期中)已知關(guān)于x的不等式的解集為,其中,則的最小值為(

)A.-2 B.1 C.2 D.8【答案】C【分析】由不等式的解集結(jié)合基本不等式得到,,從而利用基本不等式求出的最小值.【詳解】由題意可知,方程的兩個根為m,,則,解得:,故,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,故的最小值為2.故選:C.14.(2024·山東)已知二次函數(shù)的圖像如圖所示,則不等式的解集是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】本題可根據(jù)圖像得出結(jié)果.【詳解】結(jié)合圖像易知,不等式的解集,故選:A.15.(2024·全國)已知集合,則A. B.C. D.【答案】B【詳解】分析:首先利用一元二次不等式的解法,求出的解集,從而求得集合A,之后根據(jù)集合補(bǔ)集中元素的特征,求得結(jié)果.詳解:解不等式得,所以,所以可以求得,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)一元二次不等式的解法以及集合的補(bǔ)集的求解問題,在解題的過程中,需要明確一元二次不等式的解集的形式以及補(bǔ)集中元素的特征,從而求得結(jié)果.16.(2024·四川成都·三模)設(shè)為正項等差數(shù)列的前項和.若,則的最小值為(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】由等差數(shù)列的求和公式和等差中項公式,求得且,化簡,結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前項和公式,可得,可得,又由且,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,即時,等號成立,所以的最小值為.故選:D.17.(2024·北京房山·二模)下列函數(shù)中,是偶函數(shù)且有最小值的是(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】判斷二次函數(shù)的對稱軸,可得函數(shù)不是偶函數(shù),判斷選項A,根據(jù)函數(shù)的定義域判斷選項B,判斷得,從而得函數(shù)為偶函數(shù),結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷得該函數(shù)不具有最小值,從而判斷選項C,根據(jù),得函數(shù)為偶函數(shù),再利用基本不等式求解出最小值,即可判斷選項D.【詳解】對A,二次函數(shù)的對稱軸為,不是偶函數(shù),故A錯誤;對B,函數(shù)的定義域為,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以不是偶函數(shù),故B錯誤;對C,,定義域為,所以函數(shù)是偶函數(shù),結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)易判斷函數(shù)無最小值,故C錯誤;對D,,定義域為,所以函數(shù)是偶函數(shù),因為,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,所以函數(shù)有最小值,故D正確.故選:D18.(2024·海南海口·模擬預(yù)測)若正實數(shù),滿足.則的最小值為(

)A.12 B.25 C.27 D.36【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可;【詳解】解:因為,所以.因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即,時,等號成立,所以,的最小值為27.故選:C19.(2024·湖北荊門·模擬預(yù)測)已知實數(shù)滿足,則的最小值是(

)A.5 B.9 C.13 D.18【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則,求得,且,利用,結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】由,可得,所以,即,且,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,所以的最小值為.故選:B.20.(2024·湖南長沙·一模)已知,則m,n不可能滿足的關(guān)系是(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算判斷A,根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】,即,即.對于A,成立.對于B,,成立.對于C,,即.故C錯誤;對于D,成立.故選:C.21.(2024·浙江杭州·二模)已知,,且,則ab的最小值為(

)A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【分析】運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算及換底公式可得,運(yùn)用基本不等式可求得的最小值.【詳解】∵,∴,即:∴,∵,,∴,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,即:,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故的最小值為16.故選:C.22.(2024·河南安陽·三模)已知,則下列命題錯誤的是(

)A.若,則B.若,則的最小值為4C.若,則的最大值為2D.若,則的最大值為【答案】D【分析】直接使用基本不等式即可判斷A,C,D;若,則,展開后使用基本不等式即可判斷B.【詳解】∵,∴,∴,故A正確;若,則,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,故B正確;若,則,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,故C正確;若,則,即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,故D錯誤.故選:D.23.(2024·廣東湛江·二模)當(dāng),時,恒成立,則m的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】將左側(cè)分式的分子因式分解成的形式,再利用均值不等式的結(jié)論進(jìn)行計算即可以得到結(jié)果.【詳解】當(dāng),時,,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,所以的最大值為.所以,即.故選:A.二、多選題24.(2024·重慶·模擬預(yù)測)已知,,則下列關(guān)系式一定成立的是(

)A. B.C. D.【答案】BD【分析】得到或,分兩種情況,結(jié)合基本不等式和不等式的性質(zhì)對四個選項一一進(jìn)行判斷,得到正確答案.【詳解】因為,所以或,當(dāng)時,,A不成立,,,由,故,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,因為,故等號不成立,故;當(dāng)時,,,不妨設(shè),則,故此時C不成立,由,故,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,因為,故等號不成立,故;綜上:BD一定成立.故選:BD25.(2024·山東·二模)已知實數(shù)滿足,且,則下列說法正確的是(

)A. B. C. D.【答案】BC【分析】根據(jù)已知等式可確定,結(jié)合不等式性質(zhì)和作差法依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A,,,,A錯誤;對于B,,,,,,,,即,B正確;對于C,,,,即,C正確;對于D,,D錯誤.故選:BC.26.(2024高三上·山東泰安·期末)若,則下列結(jié)論正確的是(

)A. B.C. D.【答案】ACD【分析】由不等式的性質(zhì)判斷.【詳解】∵,則,,∴,即,A正確;例如,,,,,顯然,B錯誤;由得,,∴,即,C正確;易知,,,,∴,D正確;故選:ACD.27.(2024高三上·江蘇·階段練習(xí))已知實數(shù)x,y滿足則(

)A.的取值范圍為 B.的取值范圍為C.的取值范圍為 D.的取值范圍為【答案】ABD【解析】利用不等式的性質(zhì)直接求解.【詳解】因為,所以.因為,所以,則,故A正確;因為,所以.因為,所以,所以,所以,故B正確;因為,所以,則,故C錯誤;因為,所以,則,故D正確.故選:ABD.28.(2024高三下·河北衡水·階段練習(xí))已知,,且滿足,.則的取值可以為(

)A.10 B.11 C.12 D.20【答案】CD【分析】根據(jù)條件及基本不等式可得,進(jìn)而即得.【詳解】因為,,所以,,故,當(dāng),且,而時,即等號不能同時成立,所以,故AB錯誤,CD正確.故選:CD.29.(2024高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí))已知,則(

)A. B.C. D.【答案】ABD【分析】根據(jù)條件可得,,進(jìn)而根據(jù)即可求解A,根據(jù)基本不等式即可判斷BC,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】由得,,由于,所以,所以,因此且,故A正確,,當(dāng)時,,由于,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故,當(dāng)時,,所以,故B正確,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故,所以C錯誤,,當(dāng)且僅當(dāng)取等號,又,所以或者等號成立,故選:ABD30.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知實數(shù)a,b滿足,則(

)A. B.C. D.的最小值為1【答案】BC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得.結(jié)合對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷AB;利用作差法計算即可判斷C;結(jié)合基本不等式計算即可判斷D.【詳解】由可知,,由不等式的性質(zhì)可知,則.選項A:因為對數(shù)函數(shù)為減函數(shù),,所以,故A錯誤;選項B:由函數(shù)的單調(diào)性可知,故B正確;選項C:因為,所以,故C正確;選項D:,當(dāng)且僅當(dāng),即時取得等號,顯然等號不成立,故D錯誤.故選:BC.31.(2024·江蘇·模擬預(yù)測)已知糖水中含有糖(),若再添加糖完全溶解在其中,則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大),根據(jù)這個事實,下列不等式中一定成立的有(

)A. B.C. D.【答案】ABD【分析】依題意得到,再根據(jù)不等式的性質(zhì)一一判斷即可;【詳解】對于A,由題意可知,正確;對于B,因為,所以,正確;對于C,即,錯誤;對于D,,正確.故選:ABD32.(2024·全國)若x,y滿足,則(

)A. B.C. D.【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假.【詳解】因為(R),由可變形為,,解得,當(dāng)且僅當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時,,所以A錯誤,B正確;由可變形為,解得,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以C正確;因為變形可得,設(shè),所以,因此,所以當(dāng)時滿足等式,但是不成立,所以D錯誤.故選:BC.33.(2024·重慶·模擬預(yù)測)若實數(shù),滿足,則(

)A. B.C. D.【答案】BC【分析】利用基本不等式,分,,討論,可得的范圍,再利用的范圍求出的范圍.【詳解】,當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立,得,當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立,得,當(dāng)時,由可得或綜合可得,故C正確,D錯誤;,當(dāng)時,,故A錯誤,B正確;故選:BC.34.(2024高三下·湖北·階段練習(xí))已知,且,則(

)A.的最小值為4 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】ACD【分析】結(jié)合已知等式,運(yùn)用基本不等式、配方法逐一判斷即可.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,則正確;,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,則B錯誤;,當(dāng),即時,,則C正確;,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,則D正確.故選:ACD35.(2024·云南紅河·一模)已知,,且,則下列說法正確的是(

)A. B. C. D.【答案】BC【分析】對于選項AB:根據(jù)已知結(jié)合基本不等式將已知等式中的或轉(zhuǎn)化,即可解不等式得出答案;對于選項CD:將要求的式子通過完全平方或分式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為或,即可根據(jù)選項AB求出的范圍根據(jù)不等式的性質(zhì)或一元二次函數(shù)的值域得出要求的式子的范圍.【詳解】對于A:由,得,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,解得,即,故A不正確;對于B:由,得,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立即,解得,或(舍去),故B正確;對于C:,令,,即,故C正確;對于D,,令,,即,故D不正確,故選:BC.36.(2024·山西·一模)設(shè),,,則下列結(jié)論正確的是(

)A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為9 D.的最小值為【答案】ABC【分析】對于AD,利用基本不等式判斷即可;對于B,利用不等式判斷即可,對于C,利用基本不等式“1”的妙用判斷即可.【詳解】對于A,因為,,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故A正確;對于B,因為,故,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即的最小值,故B正確;對于C,,當(dāng)且僅當(dāng)且,即,時取等號,所以的最小值為9,故C正確;對于D,,故,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即的最大值,故D錯誤.故選:ABC.37.(2024·山東)已知a>0,b>0,且a+b=1,則(

)A. B.C. D.【答案】ABD【分析】根據(jù),結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進(jìn)行求解.【詳解】對于A,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故A正確;對于B,,所以,故B正確;對于C,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故C不正確;對于D,因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故D正確;故選:ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì),綜合了基本不等式,指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).38.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知實數(shù)a,b滿足,則下列說法正確的有(

)A. B.C.若,則 D.【答案】BC【分析】利用特殊值法、基本不等式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷正誤.【詳解】A選項:,由于函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,已知,即,若取,,則,故A錯誤.B選項:因為,,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,故B正確.C選項:若,則,且,,由于函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,即,故C正確.D選項:令,,則,故D錯誤.故選:BC.39.(2024高一上·浙江溫州·期中)已知,且則下列結(jié)論一定正確的有(

)A. B.C.a(chǎn)b有最大值4 D.有最小值9【答案】AC【分析】A、C選項,分別根據(jù)基本不等式計算即可得到;B選項找出反例即可;D選項由基本不等式“1”的代換計算,漏除了4.【詳解】A選項,,A正確;B選項,找反例,當(dāng)時,,,,B不正確;C選項,,,當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”,C正確;D選項,,D不正確.故選:AC.40.(2024高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí))下列說法正確的是(

)A.若且,則,至少有一個大于2B.,C.若,,則D.的最小值為2【答案】AC【分析】根據(jù)逆否命題的真假性即可判斷A,根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷B,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷C,根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對于A,若,均不大于2,則,則,故,則,至少有一個大于2為真命題,故A正確,對于B,B.,,故B錯誤,對于C,由得,由得,所以,故C正確,對于D,由于,函數(shù)在單調(diào)遞增,故,D錯誤,故選:AC41.(2024·云南曲靖·模擬預(yù)測)若實數(shù)滿足,則(

)A.且 B.的最大值為C.的最小值為7 D.【答案】ABD【分析】對于AD,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷;對于BC,利用指數(shù)的運(yùn)算法則與基本不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】由,可得,所以且,故A正確;由,可得,即,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,所以的最大值為,故B正確;,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以的最小值為9,故C錯誤;因為,則,所以,故D正確.故選:ABD.三、填空題42.(2024高一·全國·單元測試)若,則將從小到大排列為.【答案】【分析】不妨令,分別求得的值,即可得到的大小順序.【詳解】,不妨令,則有,有,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式與不等關(guān)系,利用特殊值代入法比較幾個式子在限定條件下的大小關(guān)系,是一種簡單有效的方法,屬于基礎(chǔ)題.43.(2024高二·全國·單元測試)如果a>b,給出下列不等式:①;②a3>b3;③;④2ac2>2bc2;⑤>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.其中一定成立的不等式的序號是.【答案】②⑥【分析】對分別賦值,然后對各個不等式進(jìn)行排除,對于無法排除的選項利用函數(shù)的單調(diào)性和差比較法證明成立.【詳解】令,,排除①,,排除③選項,,排除⑤.當(dāng)時,排除④.由于冪函數(shù)為上的遞增函數(shù),故,②是一定成立的.由于,故.故⑥正確.所以一定成立的是②⑥.【點(diǎn)睛】本小題主要考查實數(shù)比較大小,使用的方法較多,一個是特殊值比較法,也就是對問題中的舉出一些具體的數(shù)值,然后對不等式的正確與否進(jìn)行判斷.第二個是用函數(shù)的單調(diào)性的方法來比較,即是如果要比較的兩個數(shù)和某個函數(shù)有點(diǎn)接近,如本題中②,用冪函數(shù)的單調(diào)性來判斷.第三個是用差比較法來判斷,如本題中的⑥.44.(2024高三上·上海普陀·期中)已知三個實數(shù)a、b、c,當(dāng)時,且,則的取值范圍是.【答案】【分析】當(dāng)時滿足:且,可得,進(jìn)而得,解得或.于是,令,可得,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值.【詳解】當(dāng)時滿足:且,,即,進(jìn)而,解得.所以或,,令,,由于所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以故答案為:.45.(2024·浙江)已知實數(shù)、、滿足,,則的最大值為.【答案】【詳解】試題分析:因為,所以,所以,所以,由,解得,故實數(shù)的最大值為.考點(diǎn):一元二次方程的根的判別式,容易題.46.(2024·山西·一模)我們都知道一杯糖水中再加入一些糖,糖水會更甜.這句話用數(shù)學(xué)符號可表示為:,其中,且a,b,.據(jù)此可以判斷兩個分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系,比如(填“>”“<”).【答案】>【分析】設(shè)、,類比題設(shè)的不等關(guān)系,判斷兩個分?jǐn)?shù)的大小.【詳解】令,則,令,則,所以,,根據(jù)題設(shè)知:.故答案為:>47.(2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模)若克不飽和糖水中含有克糖,則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為,這個質(zhì)量分?jǐn)?shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖,生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜,從而可抽象出不等式(,)數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出(用“”或“”填空);并寫出上述結(jié)論所對應(yīng)的一個糖水不等式.【答案】【分析】根據(jù)題中糖水不等式,結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式進(jìn)行解題即可.【詳解】空1:因為,所以可得:;空2:由空1可得:,即.故答案為:;48.(2024高三上·天津南開·階段練習(xí))若,,且,則的最小值是.【答案】【分析】利用基本不等式得,再解不等式可得結(jié)果.【詳解】因為(當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立),所以,所以,所以,所以,所以的最小值為.故答案為:49.(2024·重慶·模擬預(yù)測)已知,則的最小值為.【答案】3【分析】將原式變形為,然后利用基本不等式求最小值.【詳解】解:,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.故答案為:3.50.(2024高三·全國·專題練習(xí))若,則的最小值為【答案】/【分析】由已知可得,變形可得,然后根據(jù)基本不等式即可得出答案.【詳解】由,則.因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,故的最小值為.故答案為:.51.(2024高三下·上海浦東新·階段練習(xí))若關(guān)于x的不等式的解集為,則的最小值為.【答案】8【分析】由題意可得化簡得,所以,利用基本不等式即可求解【詳解】因為不等式的解集為,則,因為,所以,∴.當(dāng)且僅當(dāng),即時,取到等號.故答案為:852.(2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí))若,,則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題中所給等式可化為,再通過平方關(guān)系將其與聯(lián)系起來,運(yùn)用基本不等式求解最小值即可.【詳解】因為且,則兩邊同除以,得,又因為,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以.故答案為:53.(2024高二下·浙江·期中)已知,,滿足,則的最小值是.【答案】.【分析】由已知得,進(jìn)而,利用基本不等式計算即可.【詳解】由,得,所以.當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,所以的最小值是.故答案為:.54.(2024·天津·一模)若,,,,則的最小值為.【答案】/【分析】令,則,由此可將變形為,結(jié)合基本不等式,即可求得答案?!驹斀狻坑深}意,,,,得:,設(shè),則,故,當(dāng)且僅當(dāng),即時取得等號,故的最小值為,故答案為:55.(2024高三上·浙江寧波·期中)已知,,,則取到最小值為.【答案】.【詳解】試題分析:令,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,即的最小值是.考點(diǎn):基本不等式求最值.【思路點(diǎn)睛】用基本不等式求函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項和或積的形式,然后用基本不等式求出最值.在求條件最值時,一種方法是消元,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值;另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形,然后用基本不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為一個定值,但無論哪種方法在用基本不等式解題時都必須驗證等號成立的條件.56.(2024·安徽蚌埠·二模)若直線過點(diǎn),則的最小值為.【答案】/【分析】由直線過點(diǎn),可得,利用基本不等式“1”的代換,求出最小值.【詳解】∵直線過點(diǎn),.,當(dāng)且僅當(dāng),即,時取等號.的最小值為.故答案為:.57.(2024高三下·河北·階段練習(xí))已知,則的最小值為.【答案】【分析】由已知得,利用基本不等式求和的最小值.【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,則的最小值為.故答案為:58.(2024高一上·山東煙臺·階段練習(xí))已知,,且,則的最小值為.【答案】1【分析】構(gòu)造,展開,利用基本不等式即可求解.【詳解】因為,所以,即,因為,,所以,,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.所以的最小值為1.故答案為:159.(2024高三下·浙江·開學(xué)考試)已知正實數(shù)a,b,c,,則的最小值為.【答案】/【分析】利用變形為,再將變形為,利用基本不等式整理為,進(jìn)而再用基本不等式求得答案.【詳解】由正實數(shù)a,b,,可得,所以而,當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,故,當(dāng)且僅當(dāng)時,即時取等號,故答案為:60.(2024·天津濱海新·模擬預(yù)測)已知,則的最大值是.【答案】【解析】先化簡原式為,再換元設(shè)得原式,再換元設(shè)得原式可化為,再利用函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的最大值.【詳解】,設(shè),所以原式=,令所以原式=.(函數(shù)在上單調(diào)遞增)故答案為:【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查基本不等式,考查函數(shù)y=+的圖像和性質(zhì),考查換元法的運(yùn)用,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化的能力及數(shù)形結(jié)合的思想方法;(2)解答本題的關(guān)鍵是兩次換元,第一次是設(shè),第二次是設(shè),換元一定要注意新元的范圍.61.(2024·上海金山·二模)若實數(shù)滿足不等式,則的取值范圍是.【答案】【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】不等式,即,解得,則的取值范圍是.故答案為:.62.(2024高三·全國·課后作業(yè))不等式的解集為.【答案】【分析】根據(jù)不等式,解出即可.【詳解】解:由題知不等式為,即,即,解得,所以解集為.故答案為:63.(2024高一下·湖北省直轄縣級單位·期末)函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】由偶次根式、對數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】要使函數(shù)有意義,則,解得.所以函數(shù)的定義域為.故答案為:.64.(2024高三·全國·課后作業(yè))不等式的解集為.【答案】【分析】求得不等式對應(yīng)的方程的解,即可求得一元二次不等式的解集.【詳解】不等式即,的根為,故的解集為,即不等式的解集為,故答案為:65.(2024高一上·上海松江·階段練習(xí))不等式的解集為.【答案】或【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式,再利用一元二次不等式解法即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)分式不等式解法可知等價于,由一元二次不等式解法可得或;所以不等式的解集為或.故答案為:或66.(2024·江西)不等式的的解集是【答案】:【詳解】:則或【考點(diǎn)定位】本題考查將分式不等式等價轉(zhuǎn)化為高次不等式、考查高次不等式的解法67.(2024·上海崇明·二模)若不等式,則x的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)絕對值的幾何意義解不等式.【詳解】∵,則,解得,∴x的取值范圍是.故答案為:.68.(2024·上海浦東新·三模)不等式的解集是.【答案】【分析】零點(diǎn)分段法求解絕對值不等式.【詳解】當(dāng)時,,解得,此時解集為空集,當(dāng)時,,即,符合要求,此時解集為,當(dāng)時,,解得,此時解集為空集,綜上:不等式的解集為.故答案為:69.(2024高三下·上海楊浦·階段練習(xí))已知集合,則.【答案】【分析】計算,,再計算交集得到答案.【詳解】,.故.故答案為:70.(2024高一上·全國·專題練習(xí))方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根,的取值范圍為.【答案】【分析】令,

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