高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)教師用書第十章算法初步統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例

第十章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))算法初步、統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例第一節(jié)算法初步1．算法(1)算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟．(2)應(yīng)用：算法通?？梢跃幊捎?jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問題．2．程序框圖程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形．3．三種基本邏輯結(jié)構(gòu)及相應(yīng)語句名稱示意圖相應(yīng)語句順序結(jié)構(gòu)①輸入語句：INPUT“提示內(nèi)容”；變量②輸出語句：PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式③賦值語句：變量＝表達(dá)式條件結(jié)構(gòu)IF條件THEN語句體ENDIFIF條件THEN語句體1ELSE語句體2ENDIF循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)WHILE條件循環(huán)體WEND1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)算法的每一步都有確定的意義，且可以無限地運(yùn)算．()(2)一個(gè)程序框圖一定包含順序結(jié)構(gòu)，也包含條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)．()(3)一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)一定包含條件結(jié)構(gòu)．()(4)當(dāng)型循環(huán)是給定條件不成立時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體，反復(fù)進(jìn)行，直到條件成立為止．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．如圖所示的程序框圖的運(yùn)行結(jié)果為________．解析：因?yàn)閍＝2，b＝4，所以輸出S＝eq\f(2,4)＋eq\f(4,2)＝2.5.答案：2.53．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出的結(jié)果為0，那么輸入的x的值為________．解析：當(dāng)x≤0時(shí)，由－x2＋1＝0，得x＝－1；當(dāng)x＞0時(shí)，第一次對(duì)y賦值為3x＋2，第二次對(duì)y又賦值為－x2＋1，最后y＝－x2＋1，于是由－x2＋1＝0，得x＝1，綜上知輸入的x的值為－1或1.答案：－1或14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為________．解析：進(jìn)行第一次循環(huán)時(shí)，S＝eq\f(100,5)＝20，i＝2，S＝20>1；進(jìn)行第二次循環(huán)時(shí)，S＝eq\f(20,5)＝4，i＝3，S＝4>1；進(jìn)行第三次循環(huán)時(shí)，S＝eq\f(4,5)，i＝4，S＝eq\f(4,5)<1，此時(shí)結(jié)束循環(huán)，輸出的i＝4.答案：45．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為________．解析：第一次循環(huán)：S＝eq\f(1,2)，n＝4；第二次循環(huán)：n＝4<8，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)，n＝6；第三次循環(huán)：n＝6<8，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)，n＝8；第四次循環(huán)：n＝8<8不成立，輸出S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).答案：eq\f(11,12)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一基本算法語句)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]基本算法語句在高考中的考查極少，主要考查算法語句表示的算法功能的識(shí)別，題型為選擇題或填空題，難度較小.1．根據(jù)下列算法語句，當(dāng)輸入x為60時(shí)，輸出y的值為()A．25 B．30C．31 D．61解析：選C該語句表示分段函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，x≤50，,25＋0.6×x－50，x>50，))當(dāng)x＝60時(shí)，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.故輸出y的值為31.2．按照如圖程序運(yùn)行，則輸出K的值是________．解析：第一次循環(huán)，X＝7，K＝1；第二次循環(huán)，X＝15，K＝2；第三次循環(huán)，X＝31，K＝3，X>16，終止循環(huán)，則輸出K的值是3.答案：3[怎樣快解·準(zhǔn)解]1．解決算法語句的3步驟(1)通讀全部語句，把它翻譯成數(shù)學(xué)問題；(2)領(lǐng)悟該語句的功能；(3)根據(jù)語句的功能運(yùn)行程序，解決問題．2．算法語句應(yīng)用的4關(guān)注輸入、輸出語句在輸入、輸出語句中加提示信息時(shí)，要加引號(hào)，變量之間用逗號(hào)隔開賦值語句左、右兩邊不能對(duì)換，賦值號(hào)左邊只能是變量條件語句條件語句中包含多個(gè)條件語句時(shí)，要分清內(nèi)外條件結(jié)構(gòu)，保證結(jié)構(gòu)的完整性循環(huán)語句分清“當(dāng)型”和“直到型”的格式，不能混用eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二順序結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu))eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]順序結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)在高考中單獨(dú)命題的機(jī)會(huì)較小，且多為選擇題，難度較小，屬于低檔題.1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖．若輸出y＝－eq\r(3)，則輸入角θ＝()A.eq\f(π,6) B．－eq\f(π,6)C.eq\f(π,3)D．－eq\f(π,3)解析：選D由輸出y＝－eq\r(3)<0，排除A、C，又當(dāng)θ＝－eq\f(π,3)時(shí)，輸出y＝－eq\r(3)，故選D.2．某程序框圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個(gè)函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)為()A．f(x)＝eq\f(cosx,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<x<\f(π,2)，且x≠0))B．f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)C．f(x)＝eq\f(|x|,x)D．f(x)＝x2ln(x2＋1)解析：選B由程序框圖知該程序輸出的是存在零點(diǎn)的奇函數(shù)，選項(xiàng)A、C中的函數(shù)雖然是奇函數(shù)，但在給定區(qū)間上不存在零點(diǎn)，故排除A、C.選項(xiàng)D中的函數(shù)是偶函數(shù)，故排除D.選B.3．定義[x]為不超過x的最大整數(shù)，例如[1.3]＝1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的x為4.7時(shí)，輸出的y值為()A．7 B．8.6C．10.2D．11.8解析：選C當(dāng)輸入的x為4.7時(shí)，執(zhí)行程序框圖可知，4.7>3，4.7－[4.7]＝0.7，即4.7－[4.7]不等于0，因而可得y＝7＋([4.7－3]＋1)×1.6＝10.2，即輸出的y值為10.2.[怎樣快解·準(zhǔn)解]順序結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的運(yùn)算方法(1)順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間、框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的．解決此類問題，只需分清運(yùn)算步驟，賦值量及其范圍進(jìn)行逐步運(yùn)算即可．(2)條件結(jié)構(gòu)中條件的判斷關(guān)鍵是明確條件結(jié)構(gòu)的功能，然后根據(jù)“是”的分支成立的條件進(jìn)行判斷．(3)對(duì)于條件結(jié)構(gòu)，無論判斷框中的條件是否成立，都只能執(zhí)行兩個(gè)分支中的一個(gè)，不能同時(shí)執(zhí)行兩個(gè)分支．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三循環(huán)結(jié)構(gòu))eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——追根溯源)循環(huán)結(jié)構(gòu)是每年高考的熱點(diǎn)，屬必考內(nèi)容，常與函數(shù)、數(shù)列、不等式等內(nèi)容綜合考查，題型為選擇題或填空題，難度適中，屬于中檔題.,常見的命題角度有：1由程序框圖求輸出輸入結(jié)果；2完善程序框圖.[題點(diǎn)全練]角度(一)由程序框圖求輸出(輸入)結(jié)果1．(2017·全國卷Ⅱ)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的a＝－1，則輸出的S＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：選B運(yùn)行程序框圖，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，輸出S＝3.2．(2017·全國卷Ⅲ)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為()A．5 B．4C．3 D．2解析：選D法一：執(zhí)行程序框圖，S＝0＋100＝100，M＝－10，t＝2；S＝100－10＝90，M＝1，t＝3，S<91，輸出S，此時(shí)，t＝3不滿足t≤N，所以輸入的正整數(shù)N的最小值為2.法二：要求的是最小值，觀察選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)中最小的為2，不妨將2代入檢驗(yàn)．當(dāng)輸入的N為2時(shí)，第一次循環(huán)，S＝100，M＝－10，t＝2；第二次循環(huán)，S＝90，M＝1，t＝3，此時(shí)退出循環(huán)，輸出S＝90，符合題意，故選D.3．(2017·山東高考)執(zhí)行兩次如圖所示的程序框圖，若第一次輸入的x的值為7，第二次輸入的x的值為9，則第一次、第二次輸出的a的值分別為()A．0,0 B．1,1C．0,1 D．1,0解析：選D當(dāng)輸入x＝7時(shí)，b＝2，因?yàn)閎2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，這時(shí)b2>x成立，故a＝1，輸出a的值為1.當(dāng)輸入x＝9時(shí)，b＝2，因?yàn)閎2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，這時(shí)b2>x不成立且x能被b整除，故a＝0，輸出a的值為0.[題型技法]循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖求輸出結(jié)果的方法解決此類問題最常用的方法是列舉法，即依次執(zhí)行循環(huán)體中的每一步，直到循環(huán)終止，但在執(zhí)行循環(huán)體的過程中：第一，要明確是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，根據(jù)各自特點(diǎn)執(zhí)行循環(huán)體；第二，要明確框圖中的累加變量，明確每一次執(zhí)行循環(huán)體前和執(zhí)行循環(huán)體后，變量的值發(fā)生的變化；第三，要明確循環(huán)終止的條件是什么，什么時(shí)候要終止執(zhí)行循環(huán)體．角度(二)完善程序框圖4．(2017·全國卷Ⅰ)如圖所示的程序框圖是為了求出滿足3n－2n>1000的最小偶數(shù)n，那么在

和?兩個(gè)空白框中，可以分別填入()A．A>1000和n＝n＋1 B．A>1000和n＝n＋2C．A≤1000和n＝n＋1 D．A≤1000和n＝n＋2解析：選D程序框圖中A＝3n－2n，且判斷框內(nèi)的條件不滿足時(shí)輸出n，所以判斷框中應(yīng)填入A≤1000，由于初始值n＝0，要求滿足A＝3n－2n>1000的最小偶數(shù)，故執(zhí)行框中應(yīng)填入n＝n＋2.5．(2018·廣東五校協(xié)作體診斷)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋eq\f(1,2)x2在x＝－1處取得極大值，記g(x)＝eq\f(1,f′x).執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果S>eq\f(2017,2018)，則判斷框中可以填入的關(guān)于n的判斷條件是()A．n≤2017? B．n≤2018?C．n>2017? D．n>2018?解析：選Bf′(x)＝3ax2＋x，則f′(－1)＝3a－1＝0，解得a＝eq\f(1,3)，g(x)＝eq\f(1,f′x)＝eq\f(1,x2＋x)＝eq\f(1,xx＋1)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋1)，則g(n)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，即S＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，因?yàn)檩敵龅慕Y(jié)果S>eq\f(2017,2018)，分析可知判斷框中可以填入的判斷條件是“n≤2018？”，選B.[題型技法]程序框圖補(bǔ)全問題的求解方法(1)先假設(shè)參數(shù)的判斷條件滿足或不滿足；(2)運(yùn)行循環(huán)結(jié)構(gòu)，一直到運(yùn)行結(jié)果與題目要求的輸出結(jié)果相同為止；(3)根據(jù)此時(shí)各個(gè)變量的值，補(bǔ)全程序框圖．[題“根”探求]1．當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別要明確直到型循環(huán)是“先循環(huán)，后判斷，條件滿足時(shí)終止循環(huán)”；當(dāng)型循環(huán)則是“先判斷，后循環(huán)，條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)”．兩者的判斷框內(nèi)的條件表述在解決同一問題時(shí)是不同的，它們恰好相反．2．解決程序框圖問題要注意的幾個(gè)常用變量要謹(jǐn)記(1)計(jì)數(shù)變量：用來記錄某個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)，如i＝i＋1.(2)累加變量：用來計(jì)算數(shù)據(jù)之和，如S＝S＋i.(3)累乘變量：用來計(jì)算數(shù)據(jù)之積，如p＝p×i.[沖關(guān)演練]1．(2017·北京高考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A．2 B.eq\f(3,2)C.eq\f(5,3) D.eq\f(8,5)解析：選C運(yùn)行該程序，k＝0，s＝1，k<3；k＝0＋1＝1，s＝eq\f(1＋1,1)＝2，k<3；k＝1＋1＝2，s＝eq\f(2＋1,2)＝eq\f(3,2)，k<3；k＝2＋1＝3，s＝eq\f(\f(3,2)＋1,\f(3,2))＝eq\f(5,3)，此時(shí)不滿足循環(huán)條件，輸出s，故輸出的s值為eq\f(5,3).2．(2017·天津高考)閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為24，則輸出N的值為()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C第一次循環(huán)，24能被3整除，N＝eq\f(24,3)＝8>3；第二次循環(huán)，8不能被3整除，N＝8－1＝7>3；第三次循環(huán)，7不能被3整除，N＝7－1＝6>3；第四次循環(huán)，6能被3整除，N＝eq\f(6,3)＝2<3，結(jié)束循環(huán)，故輸出N的值為2.3．如圖，給出的是計(jì)算eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,100)的值的一個(gè)程序框圖，則圖中判斷框內(nèi)(1)處和執(zhí)行框內(nèi)的(2)處應(yīng)填的語句是()A．i>100，n＝n＋1 B．i>100，n＝n＋2C．i>50，n＝n＋2 D．i≤50，n＝n＋2解析：選C經(jīng)第一次循環(huán)得到的結(jié)果是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S＝\f(1,2)，,n＝4，,i＝2；))經(jīng)第二次循環(huán)得到的結(jié)果是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S＝\f(1,2)＋\f(1,4)，,n＝6，,i＝3；))經(jīng)第三次循環(huán)得到的結(jié)果是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S＝\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)，,n＝8，,i＝4.))據(jù)觀察S中最后一項(xiàng)的分母與i的關(guān)系是分母＝2(i－1)，令2(i－1)＝100，解得i＝51，即需要i＝51時(shí)輸出S.故圖中判斷框內(nèi)(1)處和執(zhí)行框中的(2)處應(yīng)填的語句分別是i>50，n＝n＋2.普通高中、重點(diǎn)高中共用作業(yè)(高考難度一般，無須挖潛)A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快1．對(duì)任意非零實(shí)數(shù)a，b，若a?b的運(yùn)算原理如圖所示，則log24?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1的值為()A.eq\f(1,3) B．1C.eq\f(4,3) D．2解析：選Blog24＝2<3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1，由題意知所求值為eq\f(3－1,2)＝1.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t∈[－1,3]，則輸出的s∈()A．[－3,4] B．[－5,2]C．[－4,3] D．[－2,5]解析：選A當(dāng)－1≤t＜1時(shí)，s＝3t，則s∈[－3,3)．當(dāng)1≤t≤3時(shí)，s＝4t－t2.函數(shù)s＝4t－t2在[1,2]上單調(diào)遞增，在[2,3]上單調(diào)遞減．∴s∈[3,4]．綜上知s∈[－3,4]．3．(2017·山東高考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的x的值為4時(shí)，輸出的y的值為2，則空白判斷框中的條件可能為()A．x＞3 B．x＞4C．x≤4 D．x≤5解析：選B當(dāng)x＝4時(shí)，若執(zhí)行“是”，則y＝4＋2＝6，與題意矛盾；若執(zhí)行“否”，則y＝log24＝2，滿足題意，故應(yīng)執(zhí)行“否”．故判斷框中的條件可能為x＞4.4．(2018·合肥質(zhì)檢)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出的k的值為3，則輸入的a的值可以是()A．20 B．21C．22 D．23解析：選A根據(jù)程序框圖可知，若輸出的k＝3，則此時(shí)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)執(zhí)行了3次，執(zhí)行第1次時(shí)，S＝2×0＋3＝3，執(zhí)行第2次時(shí)，S＝2×3＋3＝9，執(zhí)行第3次時(shí)，S＝2×9＋3＝21，因此符合題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是9≤a<21，故選A.5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的n＝4，則輸出的s＝()A．10 B．16C．20 D．35解析：選C執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)，得s＝4，i＝2；第二次循環(huán)，得s＝10，i＝3；第三次循環(huán)，得s＝16，i＝4；第四次循環(huán)，得s＝20，i＝5.不滿足i≤n，退出循環(huán)，輸出的s＝20.6．如圖所示的程序框圖的算法思想源于數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中的“輾轉(zhuǎn)相除法”，執(zhí)行該程序框圖(圖中“mMODn”表示m除以n的余數(shù))，若輸入的m，n分別為495,135，則輸出的m＝()A．0 B．5C．45 D．90解析：選C該程序框圖是求495與135的最大公約數(shù)，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495與135的最大公約數(shù)是45，所以輸出的m＝45，故選C.7．(2018·石家莊模擬)程序框圖如圖，若輸入的S＝1，k＝1，則輸出的S為________．解析：執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)，k＝2，S＝4；第二次循環(huán)，k＝3，S＝11；第三次循環(huán)，k＝4，S＝26；第四次循環(huán)，k＝5，S＝57.此時(shí)，終止循環(huán)，輸出的S＝57.答案：578．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的a，b的值分別為56,140，則輸出的a＝________.解析：執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)：a＝56，b＝140－56＝84；第二次循環(huán)：a＝56，b＝84－56＝28；第三次循環(huán)：a＝56－28＝28，b＝28，退出循環(huán)，輸出的a＝28.答案：289．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的N＝20，則輸出的S＝________.解析：依題意，結(jié)合題中的程序框圖知，當(dāng)輸入的N＝20時(shí)，輸出S的值是數(shù)列{2k－1}的前19項(xiàng)和，即eq\f(191＋37,2)＝361.答案：36110．(2018·寶雞質(zhì)檢)閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為1，則輸出S的值為________．解析：依題意，執(zhí)行題中的程序框圖，當(dāng)輸入x的值為1時(shí)，進(jìn)行第一次循環(huán)，S＝1<50，x＝2；進(jìn)行第二次循環(huán)，S＝1＋23＝9<50，x＝4；進(jìn)行第三次循環(huán)，S＝9＋43＝73>50，此時(shí)結(jié)束循環(huán)，輸出S的值為73.答案：73B級(jí)——中檔題目練通抓牢1．(2018·合肥質(zhì)檢)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出n的值為()A．9 B．11C．13 D．15解析：選C由程序框圖可知，S是對(duì)eq\f(1,n)進(jìn)行累乘，直到S<eq\f(1,2018)時(shí)停止運(yùn)算，即當(dāng)S＝1×eq\f(1,3)×eq\f(1,5)×eq\f(1,7)×eq\f(1,9)×eq\f(1,11)<eq\f(1,2018)時(shí)循環(huán)終止，此時(shí)輸出的n＝13.2.如圖所示，程序框圖的功能是()A．求eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))的前10項(xiàng)和B．求eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)))的前11項(xiàng)和C．求eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))的前11項(xiàng)和D．求eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)))的前10項(xiàng)和解析：選D依題意可得S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,2n)，故程序框圖的功能是求eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)))的前10項(xiàng)和，選D.3.(2018·長春質(zhì)檢)運(yùn)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為()A．1008B．1009C．2017D．2018解析：選B由程序框圖知，此題是求當(dāng)k取1,2，…，2018這些值時(shí)，(－1)k·k的和，所以輸出的S＝0－1＋2－3＋4－…＋2016－2017＋2018＝0＋(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2017＋2018)＝1009.4．(2018·湘中名校聯(lián)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果運(yùn)行結(jié)果為5040，那么判斷框中應(yīng)填入()A．k<6? B．k<7?C．k>6? D．k>7?解析：選D執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)，得S＝2，k＝3；第二次循環(huán)，得S＝6，k＝4；第三次循環(huán)，得S＝24，k＝5；第四次循環(huán)，得S＝120，k＝6；第五次循環(huán)，得S＝720，k＝7；第六次循環(huán)，得S＝5040，k＝8，此時(shí)滿足題意，退出循環(huán)，輸出的S＝5040，故判斷框中應(yīng)填入“k>7？”．5．(2018·惠州三調(diào))執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為________．解析：法一：i＝1，S＝lgeq\f(1,3)＝－lg3>－1；i＝3，S＝lgeq\f(1,3)＋lgeq\f(3,5)＝lgeq\f(1,5)＝－lg5>－1；i＝5，S＝lgeq\f(1,5)＋lgeq\f(5,7)＝lgeq\f(1,7)＝－lg7>－1；i＝7，S＝lgeq\f(1,7)＋lgeq\f(7,9)＝lgeq\f(1,9)＝－lg9>－1；i＝9，S＝lgeq\f(1,9)＋lgeq\f(9,11)＝lgeq\f(1,11)＝－lg11<－1，故輸出的i＝9.法二：因?yàn)镾＝lgeq\f(1,3)＋lgeq\f(3,5)＋…＋lgeq\f(i,i＋2)＝lg1－lg3＋lg3－lg5＋…＋lgi－lg(i＋2)＝－lg(i＋2)，當(dāng)i＝9時(shí)，S＝－lg(9＋2)<－lg10＝－1，所以輸出的i＝9.答案：96．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的x，y∈R，那么輸出的S的最大值為________．解析：當(dāng)條件x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立時(shí)，輸出S的值為1，當(dāng)條件x≥0，y≥0，x＋y≤1成立時(shí)，輸出S＝2x＋y，下面用線性規(guī)劃的方法求此時(shí)S的最大值．作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖可知當(dāng)直線S＝2x＋y經(jīng)過點(diǎn)M(1,0)時(shí)S最大，其最大值為2×1＋0＝2，故輸出S的最大值為2.答案：2第二節(jié)隨機(jī)抽樣1．簡單隨機(jī)抽樣(1)抽取方式：逐個(gè)不放回抽?。?2)特點(diǎn)：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．2．分層抽樣(1)在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣．3．系統(tǒng)抽樣的步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．(1)先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；(2)確定分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段．當(dāng)eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k＝eq\f(N,n)；(3)在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(l≤k)；(4)按照一定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)l＋k，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)l＋2k，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本．1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在簡單隨機(jī)抽樣中，某一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與第幾次抽取有關(guān)，第一次被抽到的可能性最大．()(2)從100件玩具中隨機(jī)拿出一件，放回后再拿出一件，連續(xù)拿5次，是簡單隨機(jī)抽樣．()(3)系統(tǒng)抽樣適用于元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體．()(4)要從1002個(gè)學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個(gè)容量為20的樣本，需要剔除2個(gè)學(xué)生，這樣對(duì)被剔除者不公平．()(5)分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．()(6)某校即將召開學(xué)生代表大會(huì)，現(xiàn)從高一、高二、高三共抽取60名代表，則可用分層抽樣方法抽取．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√2．(教材習(xí)題改編)老師在班級(jí)50名學(xué)生中，依次抽取學(xué)號(hào)為5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的學(xué)生進(jìn)行作業(yè)檢查，這種抽樣方法是()A．隨機(jī)抽樣 B．分層抽樣C．系統(tǒng)抽樣 D．以上都不是解析：選C因?yàn)槌槿W(xué)號(hào)是以5為公差的等差數(shù)列，故采用的抽樣方法應(yīng)是系統(tǒng)抽樣．3．利用簡單隨機(jī)抽樣從含有8個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為4的樣本，則總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是________．解析：總體個(gè)數(shù)為N＝8，樣本容量為M＝4，則每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率為P＝eq\f(M,N)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4．(教材習(xí)題改編)某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級(jí)抽取________名學(xué)生．解析：設(shè)應(yīng)從高二年級(jí)抽取x名學(xué)生，則eq\f(x,50)＝eq\f(3,10)，解得x＝15.答案：155．已知某商場(chǎng)新進(jìn)3000袋奶粉，為檢查其三聚氰胺是否超標(biāo)，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取150袋檢查，若第一組抽出的號(hào)碼是11，則第六十一組抽出的號(hào)碼為________．解析：每組袋數(shù)：d＝eq\f(3000,150)＝20，由題意知這些號(hào)碼是以11為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列．a(chǎn)61＝11＋60×20＝1211.答案：1211eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一簡單隨機(jī)抽樣)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]簡單隨機(jī)抽樣在高考中單獨(dú)考查的頻率較小，主要涉及隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)及隨機(jī)數(shù)法的應(yīng)用.題型為選擇題或填空題，難度較小.1．以下抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣的是()A．在某年明信片銷售活動(dòng)中，規(guī)定每100萬張為一個(gè)開獎(jiǎng)組，通過隨機(jī)抽取的方式確定號(hào)碼的后四位為2709的為三等獎(jiǎng)B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格C．某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對(duì)學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見D．用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)解析：選D選項(xiàng)A、B不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)槌槿〉膫€(gè)體間的間隔是固定的；選項(xiàng)C不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)榭傮w的個(gè)體有明顯的層次；選項(xiàng)D是簡單隨機(jī)抽樣．2．總體由編號(hào)為01,02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B．07C．02 D．01解析：選D由隨機(jī)數(shù)法的隨機(jī)抽樣的過程可知選出的5個(gè)個(gè)體是08,02,14,07,01，所以第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)是01.3．利用簡單隨機(jī)抽樣，從n個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本．若第二次抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為eq\f(1,3)，則在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,14) D.eq\f(10,27)解析：選C根據(jù)題意，eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，解得n＝28.故在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).[怎樣快解·準(zhǔn)解]1．簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)(1)抽取的個(gè)體數(shù)較少；(2)是逐個(gè)抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽?。挥兴膫€(gè)特點(diǎn)都滿足的抽樣才是簡單隨機(jī)抽樣．2．抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用情況(1)抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況．(2)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便；二是號(hào)簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法．[易錯(cuò)提醒]利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，一定要注意“重復(fù)的號(hào)碼”只能記一次，如第2題易誤認(rèn)為第5個(gè)個(gè)體編號(hào)為02而誤選．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二系統(tǒng)抽樣)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)系統(tǒng)抽樣在高考中單獨(dú)考查的頻率也較小，主要考查系統(tǒng)抽樣的抽取方法.題型為選擇題或填空題，難度較小.[典題領(lǐng)悟]1．從編號(hào)為001,002，…，500的500個(gè)產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本，已知樣本中編號(hào)最小的兩個(gè)編號(hào)分別為007,032，則樣本中最大的編號(hào)應(yīng)該為()A．480 B．481C．482 D．483解析：選C根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義可知樣本的編號(hào)成等差數(shù)列，令a1＝7，a2＝32，故d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大編號(hào)為7＋25×19＝482.2．中央電視臺(tái)為了解觀眾對(duì)某綜藝節(jié)目的意見，準(zhǔn)備從502名現(xiàn)場(chǎng)觀眾中抽取10%進(jìn)行座談，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽樣，則在進(jìn)行分組時(shí)，需剔除________個(gè)個(gè)體，抽樣間隔為________．解析：把502名觀眾平均分成50組，由于502除以50的商是10，余數(shù)是2，所以每組有10名觀眾，還剩2名觀眾，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽樣時(shí)，應(yīng)先用簡單隨機(jī)抽樣的方法從502名觀眾中抽取2名觀眾，這2名觀眾不參加座談；再將剩下的500名觀眾編號(hào)為1,2,3，…，500，并均勻分成50段，每段含eq\f(500,50)＝10個(gè)個(gè)體．所以需剔除2個(gè)個(gè)體，抽樣間隔為10.答案：210[解題師說]1．掌握“4特點(diǎn)”(1)適用于元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體．(2)每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均相等．(3)總體分組后，在起始部分抽樣時(shí)采用的是簡單隨機(jī)抽樣．(4)如果總體容量N能被樣本容量n整除，則抽樣間隔為k＝eq\f(N,n).2．謹(jǐn)防“1易錯(cuò)”用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本，當(dāng)eq\f(N,n)不為整數(shù)時(shí)，取k＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(N,n)))，即先從總體中用簡單隨機(jī)抽樣的方法剔除(N－nk)個(gè)個(gè)體，且剔除多余的個(gè)體不影響抽樣的公平性．(如典題領(lǐng)悟第2題)[沖關(guān)演練]1．某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為()A．11 B．12C．13 D．14解析：選B由系統(tǒng)抽樣定義可知，所分組距為eq\f(840,42)＝20，每組抽取一人，因?yàn)榘麛?shù)個(gè)組，所以抽取個(gè)體在區(qū)間[481,720]的數(shù)目為eq\f(720－480,20)＝12.2．某學(xué)校采用系統(tǒng)抽樣方法，從該校高一年級(jí)全體800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做視力檢查．現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號(hào)．已知從33～48這16個(gè)數(shù)中抽到的數(shù)是39，則在第1小組1～16中隨機(jī)抽到的數(shù)是()A．5 B．7C．11 D．13解析：選B把800名學(xué)生分成50組，每組16人，各小組抽到的數(shù)構(gòu)成一個(gè)公差為16的等差數(shù)列，39在第3組，所以第1組抽到的數(shù)為39－32＝7.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三分層抽樣)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)分層抽樣是每年高考的常考內(nèi)容，題型既有選擇題、填空題，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中，難度較小，屬于低檔題.[典題領(lǐng)悟]1．(2017·江蘇高考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件．為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取________件．解析：應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取60×eq\f(300,200＋400＋300＋100)＝18(件)．答案：182．為了了解高一、高二、高三學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為1200的樣本，三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比依次為k∶5∶3，已知高一年級(jí)共抽取了240人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為________．解析：因?yàn)楦咭荒昙?jí)抽取學(xué)生的比例為eq\f(240,1200)＝eq\f(1,5)，所以eq\f(k,k＋5＋3)＝eq\f(1,5)，解得k＝2，故高三年級(jí)抽取的人數(shù)為1200×eq\f(3,2＋5＋3)＝360.答案：3603．某學(xué)校三個(gè)興趣小組的學(xué)生人數(shù)分布如下表(每名同學(xué)只參加一個(gè)小組)(單位：人).籃球組書畫組樂器組高一4530a高二151020學(xué)校要對(duì)這三個(gè)小組的活動(dòng)效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個(gè)興趣小組的學(xué)生中抽取30人，結(jié)果籃球組被抽出12人，則a的值為________．解析：由題意知eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,45＋15＋30＋10＋a＋20)，解得a＝30.答案：30[解題師說]1．牢記“2關(guān)系”進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常用到的2個(gè)關(guān)系(1)eq\f(樣本容量n,總體的個(gè)數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個(gè)體數(shù),該層的個(gè)體數(shù))；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．2．謹(jǐn)防“1失誤”分層抽樣時(shí)，每層抽取的個(gè)體可以不一樣多，但必須滿足抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)個(gè)個(gè)體(其中i是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個(gè)體的個(gè)數(shù)，N是總體容量)．[沖關(guān)演練]1．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3∶5∶7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n＝()A．54 B．90C．45 D．126解析：選B依題意得eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18，解得n＝90，即樣本容量為90.2．為了調(diào)查老師對(duì)微課堂的了解程度，某市擬采用分層抽樣的方法從A，B，C三所中學(xué)抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查，已知A，B，C三所學(xué)校中分別有180,270,90名教師，則從C學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為()A．10 B．12C．18 D．24解析：選A根據(jù)分層抽樣的特征，從C學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為eq\f(90,180＋270＋90)×60＝10.普通高中、重點(diǎn)高中共用作業(yè)(高考難度一般，無須挖潛)A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快1．從2018名學(xué)生中選取50名學(xué)生參加全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽，若采用以下方法選取：先用簡單隨機(jī)抽樣法從2018名學(xué)生中剔除18名學(xué)生，剩下的2000名學(xué)生再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每名學(xué)生入選的概率()A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為eq\f(50,2018) D．都相等，且為eq\f(1,40)解析：選C從N個(gè)個(gè)體中抽取M個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都等于eq\f(M,N)，故每名學(xué)生入選的概率都相等，且為eq\f(50,2018).2．(2018·長春一模)完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調(diào)查社會(huì)購買能力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從某中學(xué)的15名藝術(shù)特長生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況．宜采用的抽樣方法依次是()A．①簡單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣B．①分層抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣C．①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣D．①②都用分層抽樣解析：選B因?yàn)樯鐣?huì)購買能力的某項(xiàng)指標(biāo)受到家庭收入的影響，而社區(qū)中各個(gè)家庭收入差別明顯，所以①用分層抽樣法；從某中學(xué)的15名藝術(shù)特長生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，個(gè)體之間差別不大，且總體和樣本容量較小，所以②用簡單隨機(jī)抽樣法．3．從30個(gè)個(gè)體(編號(hào)為00～29)中抽取10個(gè)樣本，現(xiàn)給出某隨機(jī)數(shù)表的第11行到第15行(見下表)，如果某人選取第12行的第6列和第7列中的數(shù)作為第一個(gè)數(shù)并且由此數(shù)向右讀，則選取的前4個(gè)的號(hào)碼分別為()9264460720213920776638173256164058587766317005002593054553707814288966286757823115890062004738155131818637094521666553255383270290557196217232071114138443594488A．76,63,17,00 B．16,00,02,30C．17,00,02,25 D．17,00,02,07解析：選D在隨機(jī)數(shù)表中，將處于00～29的號(hào)碼選出，滿足要求的前4個(gè)號(hào)碼為17,00,02,07.4．(2017·懷化二模)某校高三(1)班共有48人，學(xué)號(hào)依次為1,2,3，…，48，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為6的樣本，已知學(xué)號(hào)為3,11,19,35,43的同學(xué)在樣本中，則還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)應(yīng)為()A．27 B．26C．25 D．24解析：選A根據(jù)系統(tǒng)抽樣的規(guī)則——“等距離”抽取，則抽取的號(hào)碼差相等，易知相鄰兩個(gè)學(xué)號(hào)之間的差為11－3＝8，所以在19與35之間還有27.5．某小學(xué)共有學(xué)生2000人，其中一至六年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為400,400,400,300,300,200.為做好小學(xué)放學(xué)后“快樂30分”的活動(dòng)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查，那么應(yīng)抽取一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為()A．120 B．40C．30 D．20解析：選B∵一年級(jí)學(xué)生共400人，抽取一個(gè)容量為200的樣本，∴用分層抽樣的方法抽取的一年級(jí)學(xué)生人數(shù)為eq\f(400,2000)×200＝40.6．采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查，將他們隨機(jī)編號(hào)1,2，…，1000.適當(dāng)分組后在第一組采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為8.若抽到的50人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[1,400]的人做問卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[401,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷C的人數(shù)為()A．12 B．13C．14 D．15解析：選A根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)可知，所有做問卷調(diào)查的人的編號(hào)構(gòu)成首項(xiàng)為8，公差d＝eq\f(1000,50)＝20的等差數(shù)列{an}，∴通項(xiàng)公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1000，得eq\f(763,20)≤n≤eq\f(253,5)，又∵n∈N*，∴39≤n≤50，∴做問卷C的共有12人．7．某商場(chǎng)有四類食品，食品類別和種數(shù)見下表：類別糧食類植物油類動(dòng)物性食品類果蔬類種數(shù)40103020現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測(cè)，若采用分層抽樣方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和為________．解析：因?yàn)榭傮w的個(gè)數(shù)為40＋10＋30＋20＝100，所以根據(jù)分層抽樣的定義可知，抽取的植物油類食品種數(shù)為eq\f(10,100)×20＝2，抽取的果蔬類食品種數(shù)為eq\f(20,100)×20＝4，所以抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和為2＋4＝6.答案：68．某市教育主管部門為了全面了解2018屆高三學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，決定對(duì)該市參加2018年高三第一次全國大聯(lián)考統(tǒng)考(后稱統(tǒng)考)的32所學(xué)校進(jìn)行抽樣調(diào)查，將參加統(tǒng)考的32所學(xué)校進(jìn)行編號(hào)，依次為1到32，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取8所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查，若抽到的最大編號(hào)為31，則最小的編號(hào)是________．解析：根據(jù)系統(tǒng)抽樣法，將總體分成8組，組距為eq\f(32,8)＝4，若抽到的最大編號(hào)為31，則最小的編號(hào)是31－4×7＝3.答案：39．一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類型用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛，則z的值為________．解析：由題意可得eq\f(50,100＋300＋150＋450＋z＋600)＝eq\f(10,100＋300)，解得z＝400.答案：40010．某企業(yè)三個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個(gè)分廠產(chǎn)量分布如圖所示，現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個(gè)分廠生產(chǎn)的該產(chǎn)品中共抽取100件做使用壽命的測(cè)試，則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為________；由所得樣品的測(cè)試結(jié)果計(jì)算出一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命平均值分別為1020小時(shí)、980小時(shí)、1030小時(shí)，估計(jì)這個(gè)企業(yè)所生產(chǎn)的該產(chǎn)品的平均使用壽命為________小時(shí)．解析：第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為100×50%＝50；該產(chǎn)品的平均使用壽命為1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.答案：501015B級(jí)——中檔題目練通抓牢1．某工廠在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為()A．800雙 B．1000雙C．1200雙 D．1500雙解析：選C因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，即第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的三分之一，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占12月份生產(chǎn)總數(shù)的三分之一，即為1200雙皮靴．2．將參加夏令營的600名學(xué)生編號(hào)為：001,002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003.這600名學(xué)生分住在三個(gè)營區(qū)，從001到300在A營區(qū)，從301到495在B營區(qū)，從496到600在C營區(qū)，則三個(gè)營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為()A．26,16,8 B．25,17,8C．25,16,9 D．24,17,9解析：選B依題意及系統(tǒng)抽樣的意義可知，將這600名學(xué)生按編號(hào)依次分成50組，每一組各有12名學(xué)生，第k(k∈N*)組抽中的號(hào)碼是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤eq\f(103,4)，因此A營區(qū)被抽中的人數(shù)是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得eq\f(103,4)<k≤42，因此B營區(qū)被抽中的人數(shù)是42－25＝17，故C營區(qū)被抽中的人數(shù)為50－25－17＝8.3．一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)為0,1,2，…，99.依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組，組號(hào)依次為1,2,3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，如果在第一組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為m，那么在第k組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與m＋k的個(gè)位數(shù)字相同．若m＝6，則在第7組中抽取的號(hào)碼是()A．63 B．64C．65 D．66解析：選A若m＝6，則在第7組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與13的個(gè)位數(shù)字相同，而第7組中的編號(hào)依次為60,61,62,63，…，69，故在第7組中抽取的號(hào)碼是63.4．某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A，B，C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1300樣本容量(件)130由于不小心，表格中A，C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計(jì)員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，根據(jù)以上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是________件．解析：設(shè)樣本容量為x，則eq\f(x,3000)×1300＝130，∴x＝300.∴A產(chǎn)品和C產(chǎn)品在樣本中共有300－130＝170(件)．設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為y，則y＋y＋10＝170，∴y＝80.∴C產(chǎn)品的數(shù)量為eq\f(3000,300)×80＝800(件)．答案：8005．某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表：初一年級(jí)初二年級(jí)初三年級(jí)女生373xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級(jí)女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級(jí)抽取多少名？解：(1)∵eq\f(x,2000)＝0.19，∴x＝380.(2)初三年級(jí)人數(shù)為y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在初三年級(jí)抽取的人數(shù)為eq\f(48,2000)×500＝12(名)．6．某公路設(shè)計(jì)院有工程師6人，技術(shù)員12人，技工18人，要從這些人中抽取n人參加市里召開的科學(xué)技術(shù)大會(huì)．如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的方法抽取，不用剔除個(gè)體，如果參會(huì)人數(shù)增加1個(gè)，則在采用系統(tǒng)抽樣時(shí)，需要在總體中先剔除1個(gè)個(gè)體，求n.解：總體容量為6＋12＋18＝36.當(dāng)樣本容量是n時(shí)，由題意知，系統(tǒng)抽樣的間隔為eq\f(36,n)，分層抽樣的比例是eq\f(n,36)，抽取的工程師人數(shù)為eq\f(n,36)×6＝eq\f(n,6)，技術(shù)員人數(shù)為eq\f(n,36)×12＝eq\f(n,3)，技工人數(shù)為eq\f(n,36)×18＝eq\f(n,2).所以n應(yīng)是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，即n＝6,12,18.當(dāng)樣本容量為(n＋1)時(shí)，總體容量是35人，系統(tǒng)抽樣的間隔為eq\f(35,n＋1)，因?yàn)閑q\f(35,n＋1)必須是整數(shù)，所以n只能取6.即樣本容量為n＝6.第三節(jié)用樣本估計(jì)總體1．作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖．2．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．3．莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)記錄，這對(duì)數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來方便．[注意]莖葉圖中莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．4．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征概念優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)眾數(shù)通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．但顯然它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使它無法客觀地反映總體特征中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差①標(biāo)準(zhǔn)差：樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).②方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\x\to(x)是樣本平均數(shù)．1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率．()(2)頻率分布直方圖中各個(gè)長方形的面積之和為1.()(3)莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．()(4)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．()(5)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2.如圖是某班8位學(xué)生詩詞比賽得分的莖葉圖，那么這8位學(xué)生得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別為________．解析：依題意，結(jié)合莖葉圖，將題中的數(shù)由小到大依次排列得到：86,86,90,91,93,93,93,96，因此這8位學(xué)生得分的眾數(shù)是93，中位數(shù)是eq\f(91＋93,2)＝92.答案：93923．(教材習(xí)題改編)某校為了了解教科研工作開展?fàn)顩r與教師年齡之間的關(guān)系，將該校不小于35歲的80名教師按年齡分組，分組區(qū)間為[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到頻率分布直方圖如圖，則這80名教師中年齡小于45歲的有________人．解析：由頻率分布直方圖可知45歲以下的教師的頻率為5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人)．答案：484．已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．解析：5個(gè)數(shù)的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，所以它們的方差s2＝eq\f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.1eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一莖葉圖)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)1.莖葉圖的繪制需注意1“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；2重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置上的數(shù)據(jù).2.莖葉圖的用途莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù).通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對(duì)稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等.[典題領(lǐng)悟]某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民．根據(jù)這50位市民對(duì)這兩部門的評(píng)分(評(píng)分越高表明市民的評(píng)價(jià)越高)，繪制莖葉圖如下：(1)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門評(píng)分的中位數(shù)；(2)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)分高于90的概率；(3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)價(jià)．解：(1)由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對(duì)甲部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是75.50位市民對(duì)乙部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故樣本中位數(shù)為eq\f(66＋68,2)＝67，所以該市的市民對(duì)乙部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是67.(2)由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的比率分別為eq\f(5,50)＝0.1，eq\f(8,50)＝0.16，故該市的市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的概率的估計(jì)值分別為0.1，0.16.(3)由所給莖葉圖知，市民對(duì)甲部門的評(píng)分的中位數(shù)高于對(duì)乙部門的評(píng)分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差，說明該市市民對(duì)甲部門的評(píng)價(jià)較高、評(píng)價(jià)較為一致，對(duì)乙部門的評(píng)價(jià)較低、評(píng)價(jià)差異較大．[解題師說]熟記規(guī)律給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計(jì)數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小．(如典題領(lǐng)悟中甲部門的數(shù)據(jù)集中，方差則小)失誤防范在使用莖葉圖時(shí)，一定要注意看清楚所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個(gè)圖中的數(shù)字特點(diǎn)，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義[沖關(guān)演練]某良種培育基地正在培育一小麥新品種A，將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下．品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423，423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406，407,410,412,415,416,422,430.(1)作出數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)通過觀察莖葉圖，對(duì)品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．解：(1)畫出莖葉圖如圖所示：(2)通過觀察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)(或均值)比品種B高；②品種A的畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二頻率分布直方圖)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)頻率分布直方圖是每年高考的重點(diǎn)，既有單獨(dú)命題，也有與數(shù)字特征、概率等知識(shí)的綜合問題，題型既有選擇題或填空題，也有解答題，難度適中，屬于中檔題.[典題領(lǐng)悟](2017·北京高考)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．[學(xué)審題](1)分?jǐn)?shù)小于70的頻率即為其概率的估計(jì)值；(2)由于分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生人數(shù)已知，因此要求[40,50)內(nèi)的人數(shù)，只要求出小于50的人數(shù)或頻率即可；(3)“樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等”，這是解題的關(guān)鍵，可先計(jì)算出分?jǐn)?shù)不小于70的總?cè)藬?shù)，問題便迎刃而解．解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4.所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)值為0.4.(2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故樣本中分?jǐn)?shù)小于50的頻率為0.1，故分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100×0.1－5＝5.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為400×eq\f(5,100)＝20.(3)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)＝30.所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2.所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計(jì)為3∶2.[解題師說]熟記結(jié)論(1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所有小長方形的面積的和等于1；(2)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率；(3)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)易錯(cuò)防范頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是eq\f(頻率,組距)，而不是頻率[沖關(guān)演練]某網(wǎng)絡(luò)營銷部門隨機(jī)抽查了某市200名網(wǎng)友在2017年11月11日的網(wǎng)購金額，所得數(shù)據(jù)如下表：網(wǎng)購金額(單位：千元)人數(shù)頻率(0,1]160.08(1,2]240.12(2,3]xp(3,4]yq(4,5]160.08(5,6]140.07總計(jì)2001.00已知網(wǎng)購金額不超過3千元與超過3千元的人數(shù)比恰為3∶2.(1)試確定x，y，p，q的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖)；(2)該營銷部門為了了解該市網(wǎng)友的購物體驗(yàn)，從這200名網(wǎng)友中，用分層抽樣的方法從網(wǎng)購金額在(1,2]和(4,5]的兩個(gè)群體中確定5人進(jìn)行問卷調(diào)查，若需從這5人中隨機(jī)選取2人繼續(xù)訪談，則此2人來自不同群體的概率是多少？解：(1)根據(jù)題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16＋24＋x＋y＋16＋14＝200，,\f(16＋24＋x,y＋16＋14)＝\f(3,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝80，,y＝50，))∴p＝0.4，q＝0.25.補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示．(2)根據(jù)題意，抽取網(wǎng)購金額在(1,2]內(nèi)的人數(shù)為eq\f(24,24＋16)×5＝3(人)，記為：a，b，c.抽取網(wǎng)購金額在(4,5]內(nèi)的人數(shù)為eq\f(16,24＋16)×5＝2(人)，記為：A，B.則從這5人中隨機(jī)選取2人的選法為：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10種．記2人來自不同群體的事件為M，則M中含有(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)共6種．∴P(M)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，故此2人來自不同群體的概率為eq\f(3,5).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三樣本的數(shù)字特征)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——追根溯源)eq\x(\a\al(樣本的數(shù)字特征常與頻率分布直方圖、莖葉圖等知識(shí)交匯命題.,常見的命題角度有：,1樣本的數(shù)字特征與頻率分布直方圖交匯；,2樣本的數(shù)字特征與莖葉圖交匯；,3樣本的數(shù)字特征與優(yōu)化決策問題交匯.))[題點(diǎn)全練]角度(一)樣本的數(shù)字特征與頻率分布直方圖交匯1．(2018·武昌調(diào)研)我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)，為了了解全市居民用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估計(jì)x的值，并說明理由；(3)已知平價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為4元/噸，議價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為8元/噸．當(dāng)x＝3時(shí)，估計(jì)該市居民的月平均水費(fèi)．(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)解：(1)由頻率分布直方圖，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.(2)∵前6組的頻率之和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，而前5組的頻率之和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85，∴2.5≤x＜3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.因此，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)．(3)設(shè)居民月用水量為t噸，相應(yīng)的水費(fèi)為y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t，0<t≤3，,3×4＋t－3×8，t>3，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t，0<t≤3，,8t－12，t>3.))由題設(shè)條件及月均用水量的頻率分布直方圖，得居民每月的水費(fèi)數(shù)據(jù)分組與頻率分布表如下：組號(hào)123456789分組[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,16)[16,20)[20,24]頻率0.040.080.150.200.260.150.060.040.02根據(jù)題意，該市居民的月平均水費(fèi)估計(jì)為1×0.04＋3×0.08＋5×0.15＋7×0.20＋9×0.26＋11×0.15＋14×0.06＋18×0.04＋22×0.02＝8.42(元)．[題型技法]頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．角度(二)樣本的數(shù)字特征與莖葉圖交匯2.(2017·山東高考)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為()A．3,5 B．5,5C．3,7 D．5,7解析：選A由兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它們的平均值相等，所以eq\f(1,5)×[56＋62＋65＋74＋(70＋x)]＝eq\f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x＝3.3．將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91.現(xiàn)場(chǎng)作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示，則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為________.解析：由圖可知去掉的兩個(gè)數(shù)是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.故s2＝eq\f(1,7)[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝eq\f(36,7).答案：eq\f(36,7)[題型技法](1)在使用莖葉圖時(shí)，一定要觀察所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個(gè)圖中數(shù)字的特點(diǎn)，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義．(2)莖葉圖既可以表示兩組數(shù)據(jù)，也可以表示一組數(shù)據(jù)，用它表示的數(shù)據(jù)是完整的數(shù)據(jù)，因此可以從莖葉圖中看出數(shù)據(jù)的眾數(shù)(數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù))、中位數(shù)(中間位置的一個(gè)數(shù)，或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))等．角度(三)樣本的數(shù)字特征與優(yōu)化決策問題交匯4．甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)eq\x\to(x)8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4從這四個(gè)人中選擇一人參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：選C由表格中數(shù)據(jù)可知，乙、丙平均環(huán)數(shù)最高，但丙方差最小，說明成績好，且技術(shù)穩(wěn)定，選C.[題型技法]利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．[沖關(guān)演練]1．(2018·長沙模擬)空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQualityIndex，簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴(yán)重污染．一環(huán)保人士從當(dāng)?shù)啬衬甑腁QI記錄數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取10個(gè)，用莖葉圖記錄如圖．根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)此地該年AQI大于100的天數(shù)為________．(該年為365天)解析：該樣本中AQI大于100的頻數(shù)為4，頻率為eq\f(2,5)，以此估計(jì)此地全年AQI大于100的頻率為eq\f(2,5)，故此地該年AQI大于100的天數(shù)約為365×eq\f(2,5)＝146.答案：1462．某班100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求圖中a的值；(2)若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為這組數(shù)據(jù)的平均分，根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分；(3)若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如表所示，求數(shù)學(xué)成績?cè)赱50,90)之外的人數(shù)．分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解：(1)由頻率分布直方圖知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1，解得a(2)估計(jì)這次語文成績的平均分eq\x\to(x)＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.所以這100名學(xué)生語文成績的平均分為73分．(3)分別求出語文成績?cè)诜謹(jǐn)?shù)段[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人數(shù)依次為0.05×100＝5,0.4×100＝40,0.3×100＝30,0.2×100＝20.所以數(shù)學(xué)成績分?jǐn)?shù)段在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人數(shù)依次為5,20,40,25.所以數(shù)學(xué)成績?cè)赱50,90)之外的人數(shù)有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．(一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快1.在如圖所示一組數(shù)據(jù)的莖葉圖中，有一個(gè)數(shù)字被污染后模糊不清，但曾計(jì)算得該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為61，則被污染的數(shù)字為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B由圖可知該組數(shù)據(jù)的極差為48－20＝28，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為61－28＝33，易得被污染的數(shù)字為2.2．(2016·全國卷Ⅲ)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖．圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為