模型訓練：全等三角形基本模型（解析版）

全等三角形基本模型訓練全等模型一一線三等角模型例題：【探究】如圖①，點B、C在的邊上，點E、F在內部的射線上，分別是、△CAF的外角．若，，求證：△ABE≌△CAF．【應用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點D在邊上，，點E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【答案】探究：見解析；應用：6【分析】探究：根據(jù)，，得出，根據(jù)，得出，再根據(jù)證明即可；應用：根據(jù)全等三角形的性質得出：，進而得出，根據(jù)，的面積為9，得出，即可得出答案．【詳解】探究證明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和△CAF中，∴；應用解：∵△ABE≌△CAF，∴，∴，∵，的面積為9，∴，∴與的面積之和為6，故答案為：6．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．鞏固訓練1．（23-24八年級上·廣西南寧·開學考試）如圖，是經過頂點C的一條直線，，E、F分別是直線上兩點，且．(1)若直線經過的內部，且E、F在射線上．①如圖1，若，，試判斷和的數(shù)量關系，并說明理由；②如圖2，若，請?zhí)砑右粋€關于α與關系的條件，使①中的條件仍然成立，并說明理由．(2)如圖3.若直線經過的外部，，請?zhí)岢鲫P于，，三條線段數(shù)量關系的合理猜想，并說明理由．【答案】(1)①證明見解析；②，理由見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、三角形外角的性質、三角形內角和定理，（1）①由，，可得，從而可證，故．②若，則可使得．根據(jù)題目已知條件添加條件，再使得一對角相等，便可得證．（2）題干已知條件可證，故，，從而可證明．【詳解】（1）解：①證明：∵，∴．又∵，∴．在和中，，∴．∴．②解：，理由如下：∵，∴．又∵，∴．又∵，∴．∴．∴．在和中，，∴．∴．（2）解：，理由如下：∵，∴，又∵，∴．∴．在和中，，∴．∴，．∴，即．2．（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）（1）如圖①，已知：中，，，直線經過點，于，于，求證：；（2）拓展：如圖②，將（1）中的條件改為：中，，、、三點都在直線上，并且，為任意銳角或鈍角，請問結論是否成立？如成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）應用：如圖③，在中，是鈍角，，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是，求與的面積之和．【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析；（3）8【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比．熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．（1）證明，則，，；（2）同理（1）證明即可；（3）同理（2）可得，，則，設的底邊上的高為，則的底邊上的高為，，，由，可得，根據(jù)，求解作答即可．【詳解】（1）證明：直線，直線，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，，∴，∴；（2）解：結論成立；理由如下：∵，∴，即，∵，∴，∴，，∴，∴；（3）解：同理（2）可得，，∴，設的底邊上的高為，則的底邊上的高為，∴，，，∴，∴，∴與的面積之和為8．全等模型二三垂直模型例題：通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：(1)如圖1，點A在直線l上，，過點B作于點C，過點D作交于點E．得．又，可以推理得到．進而得到結論：_____，_____．我們把這個數(shù)學模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；(2)如圖2，∠于點C，于點E，與直線交于點，求證：．【答案】(1)，(2)見解析【分析】本題考查一線三直角全等問題，（1）由，得，則，而，即可證明，得，，于是得到問題的答案；（2）作于點，因為于點，于點，所以，由（1）得，因為，所以，則，而，即可證明，得，所以，再證明，則．【詳解】（1））解：于點，于點，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，故答案為：，．（2）證明：如圖2，作于點，∵于點，于點E，∴，由，同理（1）得，∴，在和中，∴，∴．鞏固訓練1．（2024上·吉林遼源·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，直線經過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉到①的位置時，求證：①；②；(2)當直線繞點C旋轉到②的位置時，求證：；(3)當直線繞點C旋轉到③的位置時，試問、、具有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出這個等量關系，不需要證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析(3)(或，)．【分析】本題考查了幾何變換綜合題，需要掌握全等三角形的性質和判定，垂線的定義等知識點的應用，解此題的關鍵是推出證明和全等的三個條件．題型較好．（1）①已知已有兩直角相等和，再由同角的余角相等證明即可證明；②由全等三角形的對應邊相等得到，，從而得證；（2）根據(jù)垂直定義求出，根據(jù)等式性質求出，根據(jù)證出和全等，再由全等三角形的對應邊相等得到，，從而得證；（3）同樣由三角形全等尋找邊的關系，根據(jù)位置尋找和差的關系．【詳解】（1）①證明：∵，，∴，，∴，在與中，，∴；②由①知，，∴，，∵，∴；（2）證明：∵于D，于E，∴，∴，，∴，在與中，，∴．∴，，∴．（3）解：同（2）理可證．∴，，∵∴，即；當旋轉到圖3的位置時，、、所滿足的等量關系是(或，)．2．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）數(shù)學課上，老師讓同學們利用三角形紙片進行操作活動，探究有關線段之間的關系問題情境：如圖1，三角形紙片中，，.將點C放在直線上，點A，B位于直線的同側，過點A作于點D初步探究：(1)在圖1的直線上取點E，使，得到圖2，猜想線段與的數(shù)量關系，并說明理由；(2)小穎又拿了一張三角形紙片繼續(xù)進行拼圖操作，其中，.小穎在圖1的基礎上，將三角形紙片的頂點P放在直線上，點M與點B重合，過點N作于點H.如圖3，探究線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由【答案】(1)(2)【分析】本題考查了全等三角形的常見模型－垂直模型，熟記模型的構成以及結論是解題關鍵．（1）過點B作于點F，證得，根據(jù)“三線合一”可得，即可求解；（2）結合（1）的推理過程可得得，再證得即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下：過點B作于點F，即，，，，.，..在和中，，..，，..（2）解：.理由如下：過點B作于點F，∴，由（1）可得：，.，，.，..在和中，，..3．（23-24七年級下·云南昆明·期末）綜合與實踐：(1)【問題情境】在綜合與實踐課上，何老師對各學習小組出示了一個問題：如圖1，，，，，垂足分別為點，．請證明：．(2)【合作探究】“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將題目改編如下：如圖2，，，點是上一動點，連接，作且，連接交于點．若，，請證明：點為的中點．(3)【拓展提升】“創(chuàng)新”小組在“希望”小組的基礎上繼續(xù)提出問題：如圖3，，，點是射線上一動點，連接，作且，連接交射線于點．若，請直接寫出的值．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解(3)9【分析】本題考查了全等三角形的綜合問題，有關中點的相關計算，熟練掌握全等三角形的判定及性質，添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．（1）利用證得，即可求證結論；（2）過作于，由（1）得，進而可得，再利用可證，則可證，根據(jù)數(shù)量關系可得，，進而可求證結論；（3）過點作于，由（2）得，，，再根據(jù)數(shù)量關系即可求解；【詳解】（1）證明：，，，，，在和中，，，；（2）證明：過作于，如圖：由（1）得：，，，，在和中，，，，，，，，，，是的中點；（3）解：，理由如下：過點作于，如圖：由（2）得：，，，，，，，，，．即．全等模型三旋轉型模型例題：如圖1，把一塊直角三角尺ABC的直角頂點C放置在水平直線MN上，在中，，，試回答下列問題：（1）若把三角尺ABC繞著點C按順時針方向旋轉，當AB∥MN時，度；（2）在三角尺ABC繞著點C按順時針方向旋轉過程中，分別作AM⊥MN于M，BN⊥MN與N，若，，求MN．（3）三角尺ABC繞著點C按順時針方向繼續(xù)旋轉到圖3的位置，其他條件不變，則AM、BN與MN之間有什么關系？請說明理由．【答案】（1）45；（2）8；（3）MN＝BN?AM，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質以及平行線的性質求解即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質以及等角的余角相等，先證明△AMC≌△CNB，進而可得結論；（3）證明△AMC≌△CNB，可得結論．【詳解】（1）解：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵AB∥MN，∴∠2＝∠ABC＝45°，故答案為：45；（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．在△AMC中，∠1＋∠CAM＋∠AMC＝180°∴∠1＋∠CAM＝90°，同理：∠2＋∠CBN＝90°．又∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠CBN，∠2＝∠CAM，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC＋CN＝AM＋BN=2+6=8；（3）解：結論：MN＝BN?AM．理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠ACM＋∠NCB＝90°，又∵∠NCB＋∠CBN＝90°，∴∠ACM＝∠CBN，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴CM＝BN，CN＝AM，∴MN＝CM?CN＝BN?AM，∴MN＝BN?AM．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．鞏固訓練1．如圖，和都是等腰直角三角形，．（1）猜想：如圖1，點在上，點在上，線段與的數(shù)量關系是______，位置關系是______；（2）探究：把繞點旋轉到如圖2的位置，連接，，（1）中的結論還成立嗎？說明理由；（3）拓展：把繞點在平面內自由旋轉，若，，當，，三點在同一直線上時，則的長是______．【答案】（1），；（2）成立，理由見解析；（3）34或14【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質得出BC=AC，EC=DC，在作差，得出BE=AD，再用∠ACB=90°，即可得出結論；（2）先由旋轉的旋轉得出∠BCE=∠ACD，進而判斷出△BCE≌△ACD（SAS），得出BE=AD，∠CBE=∠CAD，BE與AC的交點記作點H，BE與AD的交點記作點G，進而得出∠CAD+∠BHC=90°，即可得出結論；（3）分兩種情況，①當點E在線段AD上時，過點C作CM⊥AD于M，求出EM=CM=DE=10，再用勾股定理求出AM=24，即可得出結論；②當點D在線段AD的延長線上時，過點C作CN⊥AD于N，求出EN=CN=DE=10，再由勾股定理求出根據(jù)勾股定理得，AN=24，即可得出結論．【詳解】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴BC=AC，EC=DC，∴BC-EC=AC-DC，∴BE=AD，∵點E在BC上，點D在AC上，且∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故答案為BE=AD，BE⊥AD；（2）（1）中結論仍然成立，理由：由旋轉知，∠BCE=∠ACD，∵BC=AC，EC=DC，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，如圖2，BE與AC的交點記作點H，BE與AD的交點記作點G，∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠BHC=90°，∵∠BHC=∠AHG，∴∠CAD+∠AHG=90°，∴∠AGH=90°，∴BE⊥AD；（3）①當點E在線段AD上時，如圖3，過點C作CM⊥AD于M，∵△CDE時等腰直角三角形，且DE=20，∴EM=CM=DE=10，在Rt△AMC中，AC=26，根據(jù)勾股定理得，，∴AE=AM-EM=24-10=14；②當點D在線段AD的延長線上時，如圖4，過點C作CN⊥AD于N，∵△CDE時等腰直角三角形，且DE=20，∴EN=CN=DE=10，在Rt△ANC中，AC=26，根據(jù)勾股定理得，∴AE=AN+EN=24+10=34；綜上，AE的長為14或34，故答案為14或34．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，旋轉的旋轉，全等三角形的判定和性質，勾股定理，作出輔助線構造出直角三角形是解本題的關鍵．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關系為；（2）猜想論證當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關系，并對圖2的結論進行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見解析；（3）72或2【分析】（1）首先通過SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質和等量代換即可得出答案；（2）仿照（1）中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質即可得出結論；（3）首先求出BE的長度，然后利用S△AED?AD?EB即可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如圖2中，結論：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如圖3中，結論：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB12×12＝72．如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB2×2＝2．【點睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質并分情況討論是關鍵．全等模型四倍長中線模型例題：（23-24八年級上·湖北省直轄縣級單位·期中）我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，，，．回答下列問題：(1)求證：和是兄弟三角形．(2)取的中點，連接，試說明．小王同學根據(jù)要求的結論，想起了老師上課講的“中線（點）倍延”的輔助線構造方法，解決了這個問題．①請在圖中通過作輔助線構造，并證明．②求證：．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②見解析【分析】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．（1）證出，由兄弟三角形的定義可得出結論；（2）①延長至，使，證明，由全等三角形的性質得出；②證明，由全等三角形的性質得出，則可得出結論．【詳解】（1）證明：，，又，，和是兄弟三角形；（2）證明：①延長至，使，為的中點，，在和中，，，；②，，∴，，又，，，，，在和中，，，，又，．鞏固訓練1．（23-24七年級下·山東濟南·期末）如圖，中，為的中點，是上一點，連接并延長交于．若，，，那么的長度為．【答案】12【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定與性質，延長到使，連接，通過，根據(jù)全等三角形的性質得到，，等量代換得到，由等腰三角形的性質得到，推出即可得解決問題．【詳解】解：如圖，延長到使，連接，在與中，，，，，，，，，．，，即，，故答案為：．2．（23-24七年級下·山東濟南·期中）閱讀下列材料，完成相應任務．數(shù)學活動課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長至E，使，∵是邊上的中線，∴，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△

CDA（依據(jù)1），∴，在中，（依據(jù)2），∴．(1)任務一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：；依據(jù)2：．【歸納總結】上述方法是通過延長中線，使，構造了一對全等三角形，將，，轉化到一個三角形中，進而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．(2)任務二：如圖3，，，則的取值范圍是；A．； B．； C．(3)任務三：利用“倍長中線法”，解決下列問題．如圖4，中，，D為中點，求證：．【答案】(1)兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等；三角形任意兩邊的和大于第三邊(2)C(3)見解釋【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的性質．掌握題目中“倍長中線法”是解題的關鍵．（1）掌握全等三角形的判定與性質，三角形的性質即可．（2）利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”求解即可．（3）判斷，即可．【詳解】（1）解：依據(jù)1：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（或“邊角邊”或“”）；依據(jù)2：三角形兩邊的和大于第三邊；故答案為：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等；三角形任意兩邊的和大于第三邊．（2）解：如圖，延長至點，使,連接．是的中線，,在與中，,，,在中，，即，．故選：C．（3）證明：如圖4，延長至F，使連接，是的中點，∴,又∴，，，∵，∴,,即，又∵，∴，∴，∴．3．（2023上·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到，得到，在中求得的取值范圍，從而求得的取值范圍是．方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．(2)如圖2，是的中線，，，，試判斷線段與的數(shù)量關系，并加以證明；(3)如圖3，在中，D，E在邊上，且．求證：．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)見解析【分析】本題考查三角形全等的判定及性質，三角形的三邊關系．（1）由作圖可得，根據(jù)“”證得，得到，在中，根據(jù)三角形的三邊關系有，代入即可求解；（2）延長到M，使得，連接，則，由（1）同理可證，得到，，從而，又，因此，進而得證，故；（3）取的中點為M，連接并延長至N，使，連接、，證得得到，證得得到．延長交于F，由三角形的三邊關系得到，即．【詳解】（1）∵，∴∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵在中，，即，∴．故答案為：（2），理由：如圖，延長到M，使得，連接，∴，∵是的中線，∴，在和中∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴；（3）取的中點為M，連接并延長至N，使，連接、，∵點M是的中點，∴，在和中，∴，∴∵，∴，即，在和中，∴，∴，延長交于F，則，且，∴，∴，即．4．（22-23七年級下·江蘇泰州·期末）【發(fā)現(xiàn)問題】（1）數(shù)學活動課上，王老師提出了如下問題：如圖1，，【探究方法】第一小組經過合作交流，得到了如下的解決方法：①延長到E，使得；②連接，通過三角形全等把轉化在中；③利用三角形的三邊關系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是______；方法總結：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構造全等三角形【問題解決】（2）如圖2，是的中線，是的中線，，下列四個選項中：直接寫出所有正確選項的序號是______．①；②；③；④【問題拓展】（3）如圖3，，，與互補，連接E是的中點，求證：；（4）如圖4，在（3）的條件下，若，延長交于點，，，則的面積是______．【答案】（1）；（2）②③；（3）證明見解析；（4）．【分析】（1）由“”可證，可得，由三角形的三邊關系可求解；（2）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，，即可求解；（3）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，可得結論；（4）由全等三角形的性質可得，，，由三角形的面積公式可求解．【詳解】（1）解：如圖1中，延長至點，使．在和中，，，，，，，，故答案為：；（2）解：如圖2，延長至，使，連接，是中線，，又，，，，，，，，為中線，，，，又，，，，，故答案為：②③；（3）證明：如圖3，延長至，使，連接，是的中點，，又，，，，，，，與互補，，，又，，，，；（4）如圖3，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：8．【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，中點的性質，平行線的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．全等模型五截長補短模型例題：在四邊形中，點C是邊的中點．(1)如圖①，平分，，寫出線段，，間的數(shù)量關系及理由；(2)如圖②，平分，平分，，寫出線段，，，間的數(shù)量關系及理由．【答案】(1)，見解析(2)，理由見解析【分析】（1）在上取一點F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出結論；（2）在上取點F，使，連接，在上取點G，使，連接．可以求得，是等邊三角形，就有，進而得出結論；【詳解】（1），理由如下：在上取一點F，使，連接．∵平分，∴，在和中∴．∴，，∵C是邊的中點．∴，∴．∵，∴，∴．在和中∴．∴．∵，∴．（2），理由如下：在上取，，連接，．與（1）同理，可得，．∴，，，．∵，∴．∵，∴．∴為等邊三角形．∴．∵，∴．

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定及性質的運用，等邊三角形的性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．鞏固訓練1．（23-24七年級下·四川成都·期中）在的高、交于點，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖1，求的度數(shù)；(3)如圖2，延長到點，過點作的垂線交的延長線于點，當時