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文檔簡介
2022-2023學(xué)年山東滕州實驗高中高三第二次聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若集合M={1,3},N={1,3,5},則滿足M∪X=N的集合X的個數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.42.已知雙曲線:(,)的右焦點與圓:的圓心重合,且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.33.函數(shù)()的圖像可以是()A. B.C. D.4.已知向量,,若,則()A. B. C.-8 D.85.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.6.已知(),i為虛數(shù)單位,則()A. B.3 C.1 D.57.已知拋物線和點,直線與拋物線交于不同兩點,,直線與拋物線交于另一點.給出以下判斷:①以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離;②直線與直線的斜率乘積為;③設(shè)過點,,的圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,則.其中,所有正確判斷的序號是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.已知集合,則集合真子集的個數(shù)為()A.3 B.4 C.7 D.89.《周易》是我國古代典籍,用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個八卦圖,包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個爻組成,其中“”表示一個陽爻,“”表示一個陰爻)若從八卦中任取兩卦,這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為()A. B. C. D.10.已知變量,滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.11.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項和,,則()A. B. C. D.12.五名志愿者到三個不同的單位去進(jìn)行幫扶,每個單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知(且)有最小值,且最小值不小于1,則的取值范圍為__________.14.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,如圖是過且垂直于長軸的弦,則的內(nèi)切圓方程是________.15.已知集合,,則_________.16.在長方體中,,,,為的中點,則點到平面的距離是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左、右頂點分別為、,上、下頂點分別為,,為其右焦點,,且該橢圓的離心率為;(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過點作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點,交直線于點,直線與橢圓的另一個交點為,直線與直線交于點.若,求取值范圍.18.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)若過點的直線與交于,兩點,與交于,兩點,求的取值范圍.19.(12分)已知橢圓:的離心率為,左、右頂點分別為、,過左焦點的直線交橢圓于、兩點(異于、兩點),當(dāng)直線垂直于軸時,四邊形的面積為1.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線、的交點為;試問的橫坐標(biāo)是否為定值?若是,求出定值;若不是,請說明理由.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;(2)設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點為,曲線與軸的交點為,點,求的周長的最大值.21.(12分)如圖,在三棱柱中,是邊長為2的等邊三角形,,,.(1)證明:平面平面;(2),分別是,的中點,是線段上的動點,若二面角的平面角的大小為,試確定點的位置.22.(10分)已知函數(shù)(1)已知直線:,:.若直線與關(guān)于對稱,又函數(shù)在處的切線與垂直,求實數(shù)的值;(2)若函數(shù),則當(dāng),時,求證:①;②.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】可以是共4個,選D.2.A【解析】
由已知,圓心M到漸近線的距離為,可得,又,解方程即可.【詳解】由已知,,漸近線方程為,因為圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,所以圓心M到漸近線的距離為,故,所以離心率為.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的問題,涉及到直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的運算能力,是一道容易題.3.B【解析】
根據(jù),可排除,然后采用導(dǎo)數(shù),判斷原函數(shù)的單調(diào)性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,所以當(dāng)時,,又,令,則令,則所以函數(shù)在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增,故選:B【點睛】本題考查函數(shù)的圖像,可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察:(1)定義域;(2)奇偶性;(3)特殊值;(4)單調(diào)性;(5)值域,屬基礎(chǔ)題.4.B【解析】
先求出向量,的坐標(biāo),然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量,,則,,又,則,解得.故選:B【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算和模長的運算,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】
求出集合,然后進(jìn)行并集的運算即可.【詳解】∵,,∴.故選:A.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得答案.【詳解】由,得,解得.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算,是基礎(chǔ)題.7.D【解析】
對于①,利用拋物線的定義,利用可判斷;對于②,設(shè)直線的方程為,與拋物線聯(lián)立,用坐標(biāo)表示直線與直線的斜率乘積,即可判斷;對于③,將代入拋物線的方程可得,,從而,,利用韋達(dá)定理可得,再由,可用m表示,線段的中垂線與軸的交點(即圓心)橫坐標(biāo)為,可得a,即可判斷.【詳解】如圖,設(shè)為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點不共線,則.所以①正確.由題意可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點,的坐標(biāo)分別為,,則,.所以.則直線與直線的斜率乘積為.所以②正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,.根據(jù)拋物線的對稱性可知,,兩點關(guān)于軸對稱,所以過點,,的圓的圓心在軸上.由上,有,,則.所以,線段的中垂線與軸的交點(即圓心)橫坐標(biāo)為,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正確.故選:D【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.8.C【解析】
解出集合,再由含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個可得答案.【詳解】解:由,得所以集合的真子集個數(shù)為個.故選:C【點睛】此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應(yīng)用,含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】
分類討論,僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦;從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個,再取沒有陽爻的坤卦,計算滿足條件的種數(shù),利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知,僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦滿足條件,其種數(shù)是;僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦,沒有陽爻的是坤卦,此時取兩卦滿足條件的種數(shù)是,于是所求的概率.故選:C【點睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,分類討論,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】
先根據(jù)約束條件畫出可行域,再利用幾何意義求最值.【詳解】解:由變量,滿足不等式組,畫出相應(yīng)圖形如下:可知點,,在處有最小值,最小值為.故選:B.【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃,運用了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值,然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用,同時也考查了等差數(shù)列求和,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率,利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選:D.【點睛】本題考查古典概型的概率公式的計算,涉及到排列與組合的應(yīng)用,在正面情況較多時,可以先求其對立事件,即甲、乙兩人在同一個單位的概率,本題有一定難度.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
真數(shù)有最小值,根據(jù)已知可得的范圍,求出函數(shù)的最小值,建立關(guān)于的不等量關(guān)系,求解即可.【詳解】,且(且)有最小值,,的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
利用公式計算出,其中為的周長,為內(nèi)切圓半徑,再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標(biāo).【詳解】由已知,,,,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,半徑為,則,故有,解得,由,或(舍),所以的內(nèi)切圓方程為.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問題,涉及到橢圓焦點三角形、橢圓的定義等知識,考查學(xué)生的運算能力,是一道中檔題.15.【解析】
根據(jù)交集的定義即可寫出答案?!驹斀狻?,,故填【點睛】本題考查集合的交集,需熟練掌握集合交集的定義,屬于基礎(chǔ)題。16.【解析】
利用等體積法求解點到平面的距離【詳解】由題在長方體中,,,所以,所以,設(shè)點到平面的距離為,解得故答案為:【點睛】此題考查求點到平面的距離,通過在三棱錐中利用等體積法求解,關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】
(Ⅰ)由題意可得,的坐標(biāo),結(jié)合橢圓離心率,及隱含條件列式求得,的值,則橢圓方程可求;(Ⅱ)設(shè)直線,求得的坐標(biāo),再設(shè)直線,求出點的坐標(biāo),寫出的方程,聯(lián)立與,可求出的坐標(biāo),由,可得關(guān)于的函數(shù)式,由單調(diào)性可得取值范圍.【詳解】(Ⅰ),,,,,由,得,又,,解得:,,.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(Ⅱ)設(shè)直線,則與直線的交點,又,設(shè)直線,聯(lián)立,消可得.解得,,聯(lián)立,得,,直線,聯(lián)立,解得,,,,,,,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,.【點睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運算求解能力,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.18.(1)見解析;(2).【解析】試題分析:(1)利用平方法消去參數(shù),即可得到的普通方程,兩邊同乘以利用即可得的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入,利用韋達(dá)定理、直線參數(shù)方程的幾何意義以及三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.試題解析:(1)曲線的普通方程為,曲線的直角坐標(biāo)方程為;(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))又直線與曲線:存在兩個交點,因此.聯(lián)立直線與曲線:可得則聯(lián)立直線與曲線:可得,則即19.(1)(2)是為定值,的橫坐標(biāo)為定值【解析】
(1)根據(jù)“直線垂直于軸時,四邊形的面積為1”列方程,由此求得,結(jié)合橢圓離心率以及,求得,由此求得橢圓方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,化簡后寫出根與系數(shù)關(guān)系.求得直線的方程,并求得兩直線交點的橫坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡,求得的橫坐標(biāo)為定值.【詳解】(1)依題意可知,解得,即;而,即,結(jié)合解得,,因此橢圓方程為(2)由題意得,左焦點,設(shè)直線的方程為:,,.由消去并整理得,∴,.直線的方程為:,直線的方程為:.聯(lián)系方程,解得,又因為.所以.所以的橫坐標(biāo)為定值.【點睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓離心率求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查直線和直線交點坐標(biāo)的求法,考查運算求解能力,屬于中檔題.20.(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)(2)【解析】
(1)將代入,可得,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由可得,將,代入上式,可得,整理可得,所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).(2)由題可設(shè),,,所以,,,所以,因為,所以,所以當(dāng),即時,l取得最大值為,所以的周長的最大值為.21.(1)證明見解析;(2)為線段上靠近點的四等分點,且坐標(biāo)為【解析】
(1)先通過線面垂直的判定定理證明平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明;(2)分析位置關(guān)系并建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)二面角的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關(guān)系,即可計算出的坐標(biāo)從而位置可確定.【詳解】(1)證明:因為,,,所以,即.又因為,,所以,,所以平面.因為平面,所以平面平面.(2)解:連接,因為,是的中點,所以.由(1)知,平面平面,所以平面.以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則平面的一個法向量是,,,.設(shè),,,,代入上式得,,,所以.設(shè)平面的一個法向量為
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