托勒密定理及不等式在最值問題中的應用與推廣-國際應用數(shù)學進展

【摘要】托勒密定理及托勒密不等式是平面幾何中的重要定理及推論。運用托勒密定理及托勒密不等式不僅對解決平面圓內(nèi)接四邊形問題具有重要作用，還給出解決代數(shù)中某類最值問題的通用解法，這一解法拓展了代數(shù)問題幾何化的解題思路，提供了快速解題的捷徑。本文通過分析托勒密定理在一元雙根式函數(shù)最大值問題中的解題思路，并舉例說明托勒密不等式在平面幾何一類最值問題中的解法，總結歸納出了代數(shù)中一元雙根式函數(shù)最大值問題和平面幾何中平面四邊形某類最值問題的一般性結論。在代數(shù)與平面幾何此類最值問題上，給中高考考生或參加數(shù)學【關鍵詞】托勒密定理；托勒密不等式；平面和幾何；最值問題；應用與推廣【收稿日期】2023年11月8日【出刊日期】2023年12月15日【DOI】10.12208/j.aam.20231025【Abstract】Ptolemy'stheorgeometry.TheuseofPtolemy'stheoremaproblemofplanecircleinscribedquadrilateral,bumaximum-minimumvalueproblemsinalgebra.Thissolutionexpandstheproblem-solvingideaofgeometricizationofalgebraicproblemsandprovidesashortcutforfastproblem-solving.Inthispaper,byanthesolutionofPtolemy'stheoreminthemaximumvalueproblemsofone-vagivingexamplestoillustratethesolutionofPtolemy'sinequalityinthemaximum-miplanegeometry,thegeneralconclusionsofsomekindsofmaximumvalueproblemsofone-variabledouble-rootfunctioninalgebraandthemaximum-minimumvalueproblemsofplanequadrilatmethodiscreatedforthecandidatesofhighschoolentranceexaminationorthosewhohavetheabilitytoparticipateinmathematicscompetitions.【Keywords】Ptolemy'stheorem;Ptolemaicinequality;Planeandgeometry;TheMaximum-minimumvalueproblem;Applicationandpromotion巧用托勒密定理及不等式能快速解決一些平面幾何乃至代數(shù)問題，拓寬解題范圍，簡化解題步驟，因此托托勒密定理：圓的內(nèi)接凸四邊形兩組對邊長度乘積的和等于兩托勒密不等式：在任意四邊形中，四邊形的兩組對邊長度乘積的和不小于兩條對角線長的乘積，當且2托勒密定理在一元雙根式函數(shù)最大值類問題中的應用與推廣由AB.CD+BC.AD=AC.BD得，=2BD。因為BD為圓上的弦，所以長度一定不大于直·,而直徑另一側的兩條直角邊只需要相等即可。 對角線為直徑的圓內(nèi)接四邊形，令圓內(nèi)接四邊形ABCD內(nèi)所對邊的邊長含·這個因數(shù)，AD、CD兩邊長有公共因數(shù)，且滿足AD2+CD2=AC2，即可找出四邊最合適的邊長，從而用托勒密定理快速求解。x+ad?d?xcc\c\ac(ac).+=AC.BD=.BD。因為BD 分析：提取兩根式的系數(shù)，使根號下x的系數(shù)之和為0，不妨使系數(shù)分別為1、-1，即 構造以·x+、·為直角邊、斜邊為直徑且為對角線的圓內(nèi)接 3托勒密不等式在平面四邊形一類最值問題中的應 t.AD+5.t≥25.t，則AD≥5，當且僅當A，B，C，D四點共圓時取等號，此時AD有最小值J5。 分析：以上兩題本可采用正余弦定理、平面直角坐標系法、向量法等常規(guī)解法，但此類解法步驟多、若已知兩邊，而四邊形內(nèi)不涉及已知兩邊的三角形三邊有比例關系，那么剩余未知一邊有最大值或最cc當且僅當A，B，C，D四點共圓時取等號。c證明：令AC=ct，CD=dtc托勒密定理及其不等式來源于平面幾何，為平面幾何問題尤其一類最值問題提供準確、快捷的解法。此外，托勒密定理還可快速解決一類代數(shù)問題——一元雙根式函數(shù)最大值問題，并用其一般化結論進行速解，拓寬中學生解題的思路與方法，為中學數(shù)學競賽題提供簡化解法，基于此，中學教師在教學實踐中應滲透托勒密定理及不等式的學習，從數(shù)學史角度給出定理并證明，以拓展解題思[1]丁奕涵,張美玲,唐玉華.四點共圓之托勒密定理[J].中學生數(shù)學,2022(12):35－36.[2]陳武.掌握托勒密定理簡證一類幾何題[J].中小學數(shù)學(初中版),2020(12):29-30.[3]閆偉.一道填空壓軸題的解法探究及拓展