【二次型在代數(shù)學(xué)的探析、解析幾何方面的應(yīng)用（論文）5400字】

二次型在代數(shù)學(xué)的分析、解析幾何方面的應(yīng)用摘要在代數(shù)學(xué)研究不斷發(fā)展的歷史進(jìn)程中，關(guān)于二次型的研究起著至關(guān)重要的主導(dǎo)作用。一般來說我們?yōu)榱烁鼮楹啽愕乜焖俳鉀Q二次型問題，往往會將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，因此本文主要總結(jié)了幾種常見的化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法及它們的解題步驟。這些方法分別應(yīng)用了二次型不同的性質(zhì)。在求解這類問題時(shí)，我們可以根據(jù)題目特點(diǎn)選擇最適合的方法。二次型理論應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，不單單在代數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在其他學(xué)科的分支如管理、經(jīng)濟(jì)、社會科學(xué)中也有涉及。本文介紹了二次型在代數(shù)學(xué)的分析、解析幾何方面的應(yīng)用，如應(yīng)用二次型的正定性求解多元函數(shù)極值問題，利用正定、半正定矩陣的充要條件證明不等式成立，通過將二次曲面的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程來判斷該二次曲面的類型。關(guān)鍵詞：二次型；標(biāo)準(zhǔn)形；線性變換；二次曲面；應(yīng)用目錄第1章引言 [14]階實(shí)對稱矩陣是正定矩陣的充分必要條件是它的順序主子式均大于0。例9求證（其中為不全為零的實(shí)數(shù)）。證明：設(shè)二次型，則的矩陣為，此時(shí)矩陣的一階主子式為：；二階主子式為：；三階順序主子式為：。所以為正定矩陣，根據(jù)定理，二次型為正定二次型。即（其中為不全為零的實(shí)數(shù)）。結(jié)論得證。例10設(shè)為三角形的三個(gè)內(nèi)角，求證對任意的實(shí)數(shù)，下式成立。證明：記，其中，并且根據(jù)題目已知，此時(shí)矩陣進(jìn)行初等行變換：，則的特征值為，是半正定的。即對于任意實(shí)數(shù)，結(jié)論得證。例11設(shè)都是實(shí)數(shù)，證明成立。證明：設(shè)，則，是半正定二次型。根據(jù)定理，則所有主子式均。該二次型的矩陣為，所以，則題目中不等式成立，結(jié)論得證。4.3二次曲面中的應(yīng)用二次曲面的一般方程為，（均為實(shí)數(shù)）。令。所以一般方程又可記為。其中為的特征值，為對應(yīng)的單位正交向量，為對應(yīng)的單位特征向量。如果想要通過二次曲面的方程確定它的類型，需要將一般方程轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)方程，步驟如下。首先，利用正交變換將方程化為的形式。此處，，，。其次，用配方的方法作平移變換，下面根據(jù)的值進(jìn)行分類討論。（一）.時(shí)，配方得?？珊喕癁椋渲?。（）均與同號，方程可得，令，故有，該二次曲面為橢球面。（）中有一個(gè)與異號，方程可得，該二次曲面為單葉雙曲面。（）中有兩個(gè)與異號，方程可得，該二次曲面為雙葉雙曲面。（二）.中有一個(gè)為0，設(shè)。配方得。可簡化為，其中，下面對（2）中方程進(jìn)行討論。（）同號，該二次曲面為橢圓拋物面。（）異號，該二次曲面為雙曲拋物面。（三）.中有兩個(gè)為0，設(shè)。配方得，作變換變?yōu)榈男问剑ǎ?，為拋物柱面。（），此時(shí)為的形式。異號則為一組平行平面，同號則為虛平行平面，為0則是重合的平面。例12判斷的二次曲面類型解：設(shè)，矩陣，，解得特征值為，，根據(jù)上述步驟，符合中有一個(gè)與異號的條件，且標(biāo)準(zhǔn)方程為，故為單葉雙曲面。例13判斷的二次曲面類型。解：設(shè)，矩陣，，解得特征值為，對應(yīng)的特征向量矩陣，作正交變換，原方程化為，配方后，替換后得標(biāo)準(zhǔn)形為，所以是橢圓拋物面。

第5章總結(jié)本文總結(jié)了五種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，這些方法的解題原理來源于二次型不同的定義及相關(guān)性質(zhì)，本質(zhì)是通過線性變換完成化為標(biāo)準(zhǔn)形的過程。如今，我們已經(jīng)在探索二次型的應(yīng)用問題中取得了不少的進(jìn)步，二次型的性質(zhì)可以應(yīng)用到多元函數(shù)求解極值的問題，不等式證明成立問題和判斷二次曲面的類別。相信以后二次型問題能夠應(yīng)用到更多的實(shí)際場景，幫助我們更快的發(fā)展。參考文獻(xiàn)丘維聲.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2002.陳惠汝,劉紅超.淺談二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的兩種方法[J].長春師范學(xué)院學(xué)報(bào),2004(05):13-15.孫秀花.二次型的應(yīng)用[J].宜賓學(xué)院學(xué)報(bào),2010,10(06):28-29.李五明,張永金,張棟春.實(shí)二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形的幾種方法[J].和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2007(05):165-167.胡明瓊.把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法[J].工科數(shù)學(xué),1998(01):162-164.郭佑鎮(zhèn).實(shí)二次型的化簡及應(yīng)用[J].渭南師專學(xué)報(bào),2000(02):3-6.黃健.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形幾種方法的比較及技巧[J].科教導(dǎo)刊(下旬),2019(36):25-26.王國蘭,賈慶菊.二次型正定性在多元隱函數(shù)極值中的應(yīng)用[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2019,41(06):37-39.孫學(xué)波.基于正定二次型的一個(gè)不等式及其證明[J].鞍山科技大學(xué)學(xué)報(bào),2004(04):256-259.李玉山.一類二次型條件最值問題的兩種解法[J].電子測試,2016(12):44+34.潘偉云.探討正定二次型的應(yīng)用[J].呂梁學(xué)院學(xué)報(bào),2014,4(02):16-17.LeeH.Dicker,MuratA.Erdogdu.Flexibleresultsforquadraticformswithapplicationstovariancecomponentsestimation[J].TheAnnalsofStatistics,2017,45(1).P.Yaskov.Varianceinequalitiesforquadraticformswithapplications[J].MathematicalMethodsofStatistics,2015,24(4).北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].第三版.北京:高等教育出版社,2003.張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)[M].第三版.北京:高等教育出版社,2007.6.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].第六版.北京:高等教育出版社,2014.6.蔣艷,李玻.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及其在幾何中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2017(21):11+13.王琳.用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方