2025屆山東省淄博一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆山東省淄博一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次變低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增的等差數(shù)列，這5個(gè)人各出多少錢？”在這個(gè)問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.16C.18 D.202．等差數(shù)列中，已知，，則的前項(xiàng)和的最小值為（）A. B.C. D.3．已知四棱錐，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)P的軌跡是（）A.橢圓 B.橢圓的一部分C.圓 D.不完整的圓4．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺5．對于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題中的真命題是（）A.若，則 B.，則C.若，，則， D.若，則6．某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的值是（）A. B.C. D.7．已知圓C過點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.8．在平面上有一系列點(diǎn)，對每個(gè)正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，以點(diǎn)為圓心的與軸都相切，且與彼此外切．若，且,,的前項(xiàng)之和為，則（）A. B.C. D.9．“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件10．已知拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點(diǎn)，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值為（）A. B.C. D.11．三棱柱中，，，，若，則（）A. B.C. D.12．已知向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)x的值為（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)在拋物線上，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為______14．已知圓，則圓心坐標(biāo)為______.15．已知命題p：若，則，那么命題p的否命題為______16．已知p：“”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知斜率為的直線與橢圓：交于，兩點(diǎn)（1）若線段的中點(diǎn)為，求的值；（2）若，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值18．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是軸上一定點(diǎn)，過的直線交與兩點(diǎn).（1）若過的直線交拋物線于，證明縱坐標(biāo)之積為定值；（2）若直線分別交拋物線于另一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn).證明：成等比數(shù)列.20．（12分）已知直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓C上，且滿足（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．證明：總存在一個(gè)確定的圓與直線l相切，并求該圓的方程22．（10分）已知直線l過定點(diǎn)（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題可知這是一個(gè)等差數(shù)列，前項(xiàng)和，，列式求基本量即可.【詳解】設(shè)每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：B2、B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，而，可知數(shù)列是遞增數(shù)，從而可求得結(jié)果【詳解】∵等差數(shù)列中，，∴，即．又，∴的前項(xiàng)和的最小值為故選：B3、D【解析】根據(jù)題意，分析得動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，結(jié)合圓以及橢圓的方程，以及點(diǎn)的限制條件，即可判斷軌跡.【詳解】因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，則//，又面面，故可得；因?yàn)椋士傻?，則，綜上所述：動(dòng)點(diǎn)在垂直的平面中，且滿足；為方便研究，不妨建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行說明，在平面中，因?yàn)椋灾悬c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，過且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下所示：因?yàn)椋士傻?，整理得：，故?dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；又當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，幾何體不是空間幾何體，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)不完整的圓.故選：.【點(diǎn)睛】本題考察立體幾何中動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，處理的關(guān)鍵是利用立體幾何知識(shí)，找到動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，進(jìn)而求解軌跡.4、A【解析】由題意可知，十二個(gè)節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出，即可求出，從而得到答案【詳解】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A5、C【解析】對于選項(xiàng)A，可以舉反例判斷；對于選項(xiàng)BCD可以利用作差法判斷得解.【詳解】解：A.若，則不一定成立.如：.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，所以該選項(xiàng)正確；D.，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C6、B【解析】模擬程序運(yùn)行后,可得到輸出結(jié)果,利用裂項(xiàng)相消法即可求出答案.【詳解】模擬程序運(yùn)行過程如下:0),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),1),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),2),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),3),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),……9),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),10),判斷為是,故輸出,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖,考查裂項(xiàng)相消法,難度不大.一般遇見程序框圖求輸出結(jié)果時(shí),常模擬程序運(yùn)行以得到結(jié)論.7、C【解析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組即可.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將坐標(biāo)代入得:,解得，故圓的方程為，故選：C.8、C【解析】根據(jù)兩圓的幾何關(guān)系及其圓心在函數(shù)的圖象上，即可得到遞推關(guān)系式，通過構(gòu)造等差數(shù)列求得的通項(xiàng)公式，得出，最后利用裂項(xiàng)相消，求出數(shù)列前項(xiàng)和，即可求出.詳解】由與彼此外切，則，，，又∵，∴，故為等差數(shù)列且，，則，，則，即，故答案選：.9、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：由，得，反之不成立，如，，滿足，但是不滿足，故“”是“”的充分不必要條件故選：B10、B【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可求得拋物線的方程，求出的坐標(biāo)，分析可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，利用圓的幾何性質(zhì)可求得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值.【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，可得，故拋物線的方程為，易知點(diǎn)，由中垂線的性質(zhì)可得，則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，故點(diǎn)的軌跡方程為，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)，取最小值，且.故選：B.11、A【解析】利用空間向量線性運(yùn)算及基本定理結(jié)合圖形即可得出答案.【詳解】解：由，，，若，得.故選：A.12、B【解析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式代入可得的值【詳解】解：向量，與向量垂直，則，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得：，解得，故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及數(shù)量積的坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由拋物線定義可得，由此可知當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題意得：拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為作，垂直于準(zhǔn)線，如下圖所示：由拋物線定義知：（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）即的最小值為，此時(shí)為與拋物線的交點(diǎn)故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到定點(diǎn)距離之和最小的相關(guān)問題的求解，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用拋物線定義確定最值取得的位置.14、【解析】將圓的一般方程配方程標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】圓，即，它的圓心坐標(biāo)是.故答案為：.15、若，則【解析】直接利用否命題的定義，對原命題的條件與結(jié)論都否定即可得結(jié)果【詳解】因?yàn)槊}：若，則，所以否定條件與結(jié)論后，可得命題的否命題為若，則，故答案為若，則，【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否命題，意在考查對基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化不等式在上有解，則，由此求解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)椤啊睘檎婷}，所以不等式在上有解，所以，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法即可求出的值；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫韋達(dá)；根據(jù)，求出，從而可證明原點(diǎn)到直線的距離為定值【小問1詳解】設(shè)，則，，兩式相減，得，即，所以，即，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，即；【小問2詳解】設(shè)斜率為的直線為，，由，得，所以，，因?yàn)椋?，即，所以，所以，即，所以，原點(diǎn)到直線的距離為.所以原點(diǎn)到直線的距離為定值.18、（1）；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，利用基本量代換列方程組求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的首項(xiàng)和公比，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法直接求和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由已知得：，即，又，解得或（舍去），所以.，又，，，；【小問2詳解】，.19、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程用韋達(dá)定理可得；（2）借助（1）中結(jié)論可得各點(diǎn)縱坐標(biāo)之積，進(jìn)而得到F、T、Q三點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系，然后可證.【小問1詳解】顯然過T的直線斜率不為0，設(shè)方程為，聯(lián)立，消元得到，.【小問2詳解】由（1）設(shè)，因?yàn)锳P與BQ均過T(t,0)點(diǎn)，可知，又AB過F點(diǎn)，所以，如圖：，,設(shè)M(n，0）,由（1）類比可得.，且，成等比數(shù)列.20、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可求得；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)、，將直線與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理可得出，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)、，聯(lián)立得，由題意可得，解得且，由韋達(dá)定理可知，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，所以，，整理可得，該方程無實(shí)解，故不存在.21、（1）；（2）理由見解析，圓的方程為.【解析】(1)根據(jù)給定條件可得，結(jié)合勾股定理、橢圓定義求出a，b得解.(2)聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，利用給定條件求出k，m的關(guān)系，再求出原點(diǎn)O到直線l的距離即可推理作答.【小問1詳解】因，則，點(diǎn)在橢圓C上，則橢圓C的半焦距,，，因此，，解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.【小問2詳解】由消去y并整理得：，依題意，，設(shè)，，因，則，于是得，此時(shí)，，則原點(diǎn)O到直線l的距離，所以，存在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓與直線l相切，此圓的方程為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)