幾何圖形變化-旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)

【解題類型及其思路】

1.變換中求角度注意平移性質(zhì)：平移前后圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等.

2.變換中求線段長(zhǎng)時(shí)把握折疊的性質(zhì)：折線是對(duì)稱軸、折線兩邊圖形全等、對(duì)

應(yīng)點(diǎn)連線垂直對(duì)稱軸、對(duì)應(yīng)邊平行或交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.

3.變換中求坐標(biāo)時(shí)注意旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角的大小不變，對(duì)應(yīng)線段的

夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

4.變換中求面積，注意前后圖形的變換性質(zhì)及其位置等情況。

本節(jié)包含四種題型分別是旋轉(zhuǎn)球角度、求坐標(biāo)、作圖、求長(zhǎng)度等。

類型一：旋轉(zhuǎn)求角度

【經(jīng)典例題1】如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a,得到AAOE,若點(diǎn)E恰

好在C3的延長(zhǎng)線上，則N3EO等于（）

a2

【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NBAO=a,ZABC=ZADE,

'：ZABC+NABE=180。，

，ZADE+NA3E=180。，

"/ZABE+NBED+ZADE+ZBAD=360°,ZBAD=a,

：.ZBED=lSQ0-a.

，本題選D

練習(xí)1-1如圖，在小鉆C中，NB4C=108。，將AABC繞點(diǎn)4按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

得到AAB'C.若點(diǎn)方恰好落在邊上，且A8'=CB',則NC'的度數(shù)為（）

B)

A.18°B.20°C.24°D.28°

【解析選】答案C

練習(xí)1-2有兩個(gè)直角三角形紙板，一個(gè)含45。角，另一個(gè)含30。角，如圖①所示

疊放，先將含30。角的紙板固定不動(dòng)，再將含45。角的紙板繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

使如圖②所示，則旋轉(zhuǎn)角NBA。的度數(shù)為（）

C.45°D.60°

【解析】如圖,設(shè)AO與BC交于點(diǎn)片

圖②

■:BC//DE,

，NCE4=NO=90°,

*.*ZCFA=ZB+ZBAD=60°+ZBAD,

.\ZBAD=3Q°

故選：B.

練習(xí)1-3如圖，在△ABC中，ZBAC=108°,將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

得到△ABC.若點(diǎn)方恰好落在8C邊上，且則NC的度數(shù)為C

A.18°B.20°C.24°D.28°

【解析】C

練習(xí)1-4在如圖所示的方格紙（1格長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度）中，△ABC的頂點(diǎn)都在格

點(diǎn)上，將AABC繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到使各頂點(diǎn)仍在格點(diǎn)上,

則其旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是—90。一.

【解析】90°

練習(xí)1-5如圖，△ABO繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)得到△C。。，如果A5=2,OA=4,OB=3,

NA=40。，有以下幾個(gè)說(shuō)法：

①點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)。；②0。=2；

③OC=4;@ZC=40°；

⑤旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)。；⑥旋轉(zhuǎn)角度為40。，

其中正確的說(shuō)法是.

0D

【解析】①③④⑤

練習(xí)1-6有兩個(gè)直角三角形紙板，一個(gè)含45。角，另一個(gè)含30。角，如圖①所示

疊放，先將含30。角的紙板固定不動(dòng)，再將含45。角的紙板繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

使如圖②所示，則旋轉(zhuǎn)角NBA。的度數(shù)為（）

圖①圖②

A.15°B.30°C.45°D.60°

【解析】如解圖，\'DE//BC,：.ZBFA=90°,VZB=60°,.\ZBAD=30°.

J!__]

二

答案選B

練習(xí)L7如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,NBAC=33。，把△ABC繞點(diǎn)A按

順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)/BAC的大小，得到△ABC,延長(zhǎng)BC交BC于點(diǎn)D,則/BDC

等于（）

A.1470B.1430

練習(xí)1-8如圖，在正方形網(wǎng)格中，格點(diǎn)△ABC繞某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a（0<a<180。）

得到格點(diǎn)△AICi,點(diǎn)A與點(diǎn)4,點(diǎn)B與點(diǎn)囪，點(diǎn)C與點(diǎn)Ci是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則

a=.

【解析】90°［解析.旋轉(zhuǎn)圖形的旋轉(zhuǎn)中心到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離相等，

二分別作線段CG的垂直平分線，兩直線相交于點(diǎn)。，則點(diǎn)。即為旋轉(zhuǎn)中

心，連接A。，AiD,

則a=ZADAi=9Q°.

類型二：旋轉(zhuǎn)求坐標(biāo)

【經(jīng)典例題2】（2020山東棗莊）（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一

象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，ZAO3=ZB=30。，。4=2.將A4O3繞點(diǎn)O逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)9的坐標(biāo)是（）

A.(-x/3,3)B.(-3,6)C.(-G,2+揚(yáng)D.(-1,2+揚(yáng)

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)夕作用”，y軸于

在四△KBH中，A8=2,=60°,

,AH=A?cos60°=l,877=A'3'sin60°=G,

:.OH=2+1=3,

:.B<-6,3),

故選：A.

練習(xí)2-1如圖，將△A5C先向上平移1個(gè)單位，再繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。,

得到AAB'。，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)是()

C.(3,-2)D.(-1,4)

【答案】D

練習(xí)2-2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P(2,3)繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得

到點(diǎn)P,則P的坐標(biāo)為()

A.(3,2)B.(3,-1)

C.(2,-3)D.(3,-2)

【解析】此題選D

練習(xí)2-3如圖，在AOAB中，頂點(diǎn)。(0,0),4(一3,4),8(3,4),將△OAB與

正方形ABCO組成的圖形繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)

束時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

【解析】此題選D

練習(xí)2-4如圖，直線y=5x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),把繞點(diǎn)

B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到△A\O\B,則點(diǎn)4的坐標(biāo)是(4,畢)_.

0

【解析】在尸|"x+4中，令x=0得，y=4,

令y=0,得0*x+4，解得》=咯，

乙D

(-4，0),B(0,4),

0

由旋轉(zhuǎn)可得△AOB名△40山，NAB4=90。，

O

/.ZABO=ZA\BOi,NBOi4=NAOB=90°,。4=。14=%OB=O\B=4,

b

...NOBOi=90°,

...Oi8〃x軸，

.,.點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為OB-OA的長(zhǎng)，即為4咯=稱

DD

橫坐標(biāo)為04=03=4,

故點(diǎn)Ai的坐標(biāo)是(4,孕)，

D

故答案為：(4,￥~).

b

練習(xí)2?5以原點(diǎn)為中心，把點(diǎn)M(3,4)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)N,則點(diǎn)N的

坐標(biāo)為(-%3)

故答案為：（-4,3）.

練習(xí)2-6如圖，RtAOCB的斜邊在y軸上，代，含30。角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,

直角頂點(diǎn)C在第二象限，將RtAOCB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。后得到△OC'B',

則B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)9的坐標(biāo)是（）

A.(A/3,-1)B.(l,-6)

C.(2,0)D.他,0)

【解析】如圖,在RsOCB中，:ZBOC=30°,

.?.8。=沙。=,*招=1,

VRtA0C3繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。后得到△0CB,

，。。在彳軸上，OC'=OC=y/3,B'C'=BC=l,NB'C'O=NBCO=90°,

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為（代，-1）.

故選A.

練習(xí)2-7在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,小)，以原點(diǎn)為中心，將點(diǎn)A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到點(diǎn)4,則點(diǎn)4的坐標(biāo)為()

A.(仍，1)B.(小，-1)C.(2,1)D.(0,2)

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE_Ly軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作ATJ_x軸于點(diǎn)F,

/.ZAEO=ZATO=90o.

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,?。?，.*.AE=1,OE=布,

，OA=2,ZAOE=30°,由旋轉(zhuǎn)可知NAOA，=30。，OAr=OA=2,AZAZOF

1

=90°-30°-30°=30°,.?.A'F=5OA'=1,OF=小，.'.A'（小，1）.

故選A.

練習(xí)2-8如圖，已知點(diǎn)A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),連接

AB,CD,將線段AB繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使其與線段。重合(點(diǎn)A與

點(diǎn)。重合，點(diǎn)8與點(diǎn)。重合)，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為(4,2).

【解析】平面直角坐標(biāo)系如圖所示，旋轉(zhuǎn)中心是尸點(diǎn)，P(4,2).

故答案為(4,2).

練習(xí)2-9如圖，將正方形網(wǎng)格放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中，每個(gè)小正方形的

邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為4(0,3),5(-1,1),C(3,1).△ABC

是△ABC關(guān)于無(wú)軸的對(duì)稱圖形，將△ABC繞點(diǎn)后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,1).

【解析】將△A8C繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。，如圖所示:

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2,1）,故答案為：（-2,1）.

類型三：旋轉(zhuǎn)作圖

【經(jīng)典例題3】如圖，在正方形網(wǎng)格中，AABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度

直尺完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

（1）在圖1中，作AABC關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱的ZVT廳C；

（2）在圖2中，作AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，頂點(diǎn)仍在格點(diǎn)上的

AA'B'C.

圖2

(1)A4'BC'即為所求.（2）A48'C'即為所求.

練習(xí)3」在8x5的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，四邊形。鉆。的頂點(diǎn)坐標(biāo)

分別為。(0,0),4(3,4),3(8,4),C(5,0),僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下

列步驟完成畫圖，并回答問(wèn)題:

(1)將線段CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出對(duì)應(yīng)線段C。；

(2)在線段A8上畫點(diǎn)E,使ZBCE=45°(保留畫圖過(guò)程的痕跡)；

(3)連接AC,畫點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫法.

【解析】(1)如圖示，線段8是將線段C8繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的;

(2)將線段。。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段QC,

將線段BC繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段BC',

則四邊形C'8C。是正方形，連接。C,DB,CC交AB于點(diǎn)E,

則E點(diǎn)為所求，

理由如下：；四邊形UBC。是正方形，

/.C'CADB,?C'CB45°,

則有NECB=45。，

，E點(diǎn)為所求；

(3)將線段AC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AG,

過(guò)E點(diǎn)作線段￡7/〃AG交A。于尸，交AC于O,

則尸為所求；

理由如下：?.?將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AG,

工？GAC90"

■:EH//AG,

TAO'F1AO,E90"，

?.?四邊形。鉆。的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為。(0,0),4(3,4),3(8,4),C(5,0),

...四邊形。RC是平行四邊形，

根據(jù)AC是平行四邊形Q4BC的對(duì)角線，

：.?FAO'1EAO'

：.VFAO,@JEAO'(ASA)

二FO,=EO,,

AC垂直平分EF

，F(xiàn)是點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn),

練習(xí)3-2如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面

直角坐標(biāo)系中，A4BC的三個(gè)頂點(diǎn)A(5,2)、8(5,5)、C(l,l)均在格點(diǎn)上.

(1)將A4BC向左平移5個(gè)單位得到△并寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)畫出△AB&繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的44名G,并寫出點(diǎn)人的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，求^ABG在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積(結(jié)果保留》).

【解析】(1)如圖所示，△4BG即為所求，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,2)；

(2)如圖所示，△A282G即為所求，點(diǎn)人2的坐標(biāo)為(-3,-3)；

(3)如圖，

??皿=3+42=4正

...△4田G在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積為:

練習(xí)3-3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(l,

1),5(4,1),C(3,3).

(1)WAABC向下平移5個(gè)單位后得到△請(qǐng)畫出△AiBiCi；

(2)將4ABC繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到△A282c2，請(qǐng)畫出△A282c2；

⑶判斷以O(shè),Ai,8為頂點(diǎn)的三角形的形狀.(無(wú)需說(shuō)明理由)

【解析】(1)如圖所示，4A山iG即為所求.

(2)如圖所示，△A2&C2即為所求.

(3)三角形。43的形狀為等腰直角三角形.

如圖，。5=。4="6+1=V17,A,B=V25+9=V34^所以082+。/叁=482.所

以4048為等腰直角三角形.

【經(jīng)典例題4］如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=遮,將△ABC繞點(diǎn)A

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。到△AM。的位置，連接C8,則UB=.

【解析】如圖，連接

?.?將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到△ABC,

：.AB=AB',NBAB'=60。,

...△AB夕是等邊三角形,

：.AB=BB：

fAB=BB',

在^ABC^A85c中，，AC=B'C',

JBC'=BC',

，△AB%AB'BQSSS）,

，ZABC=ZB'BC,

延長(zhǎng)BC交A8于D,則BD1AB'

?"J（物2+（物2=2,

:.BD=2吟=?CD=2=1,

：.BC'=BD-C'D=>/3-\.

故答案為舊-L

練習(xí)4-1如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AB=2.將△ABC繞直角

頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得^A'B'C,則點(diǎn)B轉(zhuǎn)過(guò)的路徑長(zhǎng)為.

【解析】在△ABC中，

VZACB=9Q°,ZABC=30°,

cosZABC=—=—,

AB2

:.BC=2迄=p,

2

?.?△ABC繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得△ABC,二N3C夕=60。,

...弧83’的長(zhǎng)="5色=蟲兀

1803

故答案為烏L

3

練習(xí)4-2（2020湖北孝感）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上，將^ADE繞點(diǎn)

A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到4ABF的位置，連接EF,過(guò)點(diǎn)A作EF的垂線，垂足為點(diǎn)H,

與BC交于點(diǎn)G.若BG=3,CG=2,則CE的長(zhǎng)為（）

9

15C4

一-

42

練習(xí)4-3如圖，將RtAABC的斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）得至UAE,

直角邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)夕（0°<夕<90°）得至UAF,連接EF,若AB=3,AC=2,

且a+#=NB,則￡F=.

練習(xí)4-4如圖，△ABC,△8DE都是等腰直角三角形，BA=BC,BD=BE,AC

=4,DE=2啦.將△BDE繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得^BD'E',當(dāng)點(diǎn)￡恰好落在線段

AO上時(shí)，CE'=

【解析】如圖,

VAABC,△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC,BD=BE,AC=4,DE=2

卷

.,.AB=BC=2隹BD=BE=2.

?.?將△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得^BDE,

/.D,B=BE,=BD=2,ND，BE，=90°,

ZD,BD=ZABE,,

.*.ZABD,=ZCBE,,

AABD^ACBEXSAS),

?*.ZD,=ZCE,B=45°.

過(guò)點(diǎn)B作BHLCE，于點(diǎn)H,

應(yīng)r

在RtABHE'中，BH=E'H=2BE'=也，

在RsBCH中，CH=^BC2-BH2=y[6,

:.CE=p+#.

故答案為明+冊(cè).

練習(xí)4-5如圖，在直角梯形ABC。中，AD//BC,ABLBC,AD=2,3C=3.將腰

CD以D為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至ED,連接AE,CE,則△AOE的面積是

()

A.lB.2C.3D.不能確定

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)E作EFLAD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作OG_L3C

于點(diǎn)G.易知四邊形ABGO是矩形.

E

A

BC

■:CD以D為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至ED,

：.ZEDF+ZCDF=9Q°,DE=CD.

又ZCDF+ZCDG=90°,ZCDG=NEDF.

ZCDG=乙EDF

在^DCG與^DE/中，乙CGD=乙EFD'=90°,

CD=DE?

：.△DCG絲ADEF(AAS).AEF=CG.

?:AD=BG=2,BC=3,

：.CG=BC-BG=3-2=\.：.EF=1.

MADE的面積是/￡＞名尸=42*1=1.

故選A.

練習(xí)4-6在RSABC中，ZC=90°,M為AB邊的中點(diǎn)，將RQA8C繞點(diǎn)M旋

轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合得到△OE4,AE交CB于點(diǎn)、N.若AB=2gAC=4,則

CN的長(zhǎng)為()

【解析】在RtAACB中，4?=2g,AC=4,

：.BC=6.

?.?M為AB邊的中點(diǎn)，則M亦為EO邊的中點(diǎn).

在RtADAE中，AM=MD=ME,：.NMAE=NMEA.

"：ZMEA=ZB,：.ZMAE=ZB,：.AN=BN.

設(shè)CN=x,則AN=BN=6-x,

在RSACN中，42+x2=(6-x)2,解得x=￡即CN的長(zhǎng)為李

故選D.

練習(xí)4-7如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形4BCO內(nèi)作NE4F=45。，AE交8C于點(diǎn)E,

AE交CO于點(diǎn)E連接取,將4ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG.^DF=3,

則BE的長(zhǎng)為.

【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△AO/^A4BG,從而AF=AG,ZDAF=ZBAG,

由正方形ABC。中，ZBAD=90°,ZEAF=45°,

得NZMF+NBAE=NBAG+NBAE=NE4G=45°,

所以NEAb-EAG,XAE=AE,

所以△EAFgZiEAG,所以EF=EG=BE+DF.設(shè)BE=x,貝U后/=尢+3,

在RSCEE中，由勾股定理得，C*CF=EF,

又CE=6-x,CE=6-3=3,所以(6-X)2+32=(X+3)2,

解得x=2,即BE的長(zhǎng)為2.

練習(xí)4-8如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)。是△ABC的中心，NFOG=120。.

繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)NFOG,分別交線段AB,BC于。,E兩點(diǎn)，連接。E給出下列四個(gè)

結(jié)論:①°。=°民②&ZEg③四邊形ODBE的面積始終等于竿;④ABOE周

長(zhǎng)的最小值為6.上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是)

A.1B.2D.4

【解析】如圖①，連接04,OB,0C.

A

/念C

①

因?yàn)辄c(diǎn)。是△ABC的中心，

所以408=NBOC=120。，0A=0B=0C.

所以N80C=NE0G=120°,ZABO=ZBCO=30°.

所以NBOO=NCOE.

所以△80。絲△C0E(ASA),

所以O(shè)O=OE,結(jié)論①正確.

通過(guò)畫圖確定結(jié)論②錯(cuò)誤，如當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，SAODE<SABDE.

因?yàn)椤鰾OD迫AC0E,所以&BOD=S&COE.

所以S四邊形ODBE=SABOC=|SAABC=^-,結(jié)論③正確.

因?yàn)椤鰾0DWAC0E,所以BO=C￡.所以BE+BD=BC=4.

因?yàn)镹bOG=120。，OD=OE,所以。石=百0。.

如圖②，當(dāng)OOLAB時(shí)，0。最小=BZ>tanNO8O=手，

所以DE最小=2.

所以周長(zhǎng)的最小值為6,結(jié)論④正確.故選C.

練習(xí)4-9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。是直線），=-%+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將。繞

P（l,0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)。。連接。0',則。。'的最小值為（）

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)。作軸于M,過(guò)點(diǎn)。作Q7V_Lx軸于N,設(shè)。(m,

-1m+2),則QM=-^m+2.

,/ZPMQ=ZPNQ'=ZQPQ'=90°,

：./QPM=/PQ'N,又PQ=PQ',

：3QMQ/\Q'PN.

：.PN=QM=-^m+2,Q'N=PM=m-l.

：

.ON=l+PN=3-2-m,

從而1-in).OQQ=)2+(l-m)2=|m2-5m+10=|(7??-2)24-5,

當(dāng)〃?=2時(shí)，有最小值為5,于是。。，的最小值為迷，故選B.

練習(xí)4-10如圖，將^ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到^A'B'C,其中點(diǎn)4與A是對(duì)

應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)夕與8是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)方落在邊AC上，連接48,若NACB=45。，AC

=3,BC=2,則48的長(zhǎng)為.

練習(xí)4-11如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABC。內(nèi)作NEAE=45o,AE交于點(diǎn)E,

AF交CD于點(diǎn)F,連接EF,將^ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG.若DF

=3,則BE的長(zhǎng)為2.

練習(xí)4-12如圖，正方形A3CO和RQAEF,AB=5,AE=AF=4,連接8F,DE.

若AAEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)最大時(shí)，S“ADE=6

練習(xí)4-13將^ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到^DEC,使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在

邊上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,連接BE,下列結(jié)論一定正確的是（）

\.AC=ADB.ABLEBC.BC=DED.NA=NEBC

【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC=C。,但NA不一定是60。,所以不能證明

所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

由于旋轉(zhuǎn)角度不確定，所以選項(xiàng)B不能確定；

因?yàn)椴淮_定A3和的數(shù)量關(guān)系，所以3c和OE的數(shù)量關(guān)系不能確

定；

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知NACO=NBCE,AC=DC,BC=EC,

所以2NA=180。-NACO,2Z￡BC=180°-ZBC￡,

從而可證選項(xiàng)D是正確的.

練習(xí)4-14如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作/防尸=45。,4后交8C于點(diǎn)E,

AF交CO于點(diǎn)尸，連接破,將4A。b繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△A8G.若。尸=3,

則BE的長(zhǎng)為.

【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△AOE絲△A3G,從而AF=AG,ZDAF=ZBAG,

由正方形ABC。中，ZBAD=90°,ZE4F=45°,

得至叱。AR+NBAE=/B4G+N84E=NE4G=45。，

從而NEAF=NEAG,XAE=AE,所以△EAFg△EAG,得至

設(shè)BE=x,則EF=x+3,在RtACEF中，

由勾股定理得CE+CF^E/,而CE=6-x,C尸=6-3=3,則(6-x)2+32=(x+3)2,

解得x=2,即BE的長(zhǎng)為2.

練習(xí)4-15如圖，在正方形ABC。中，AB=3,點(diǎn)M在CO邊上，且。M=l,4AEM

與^ADM關(guān)于AM所在的直線對(duì)稱，將^AOM繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得

到△A8F,連接EE求線段的長(zhǎng).

【解析】如圖，連接8M,

則由題意可得，△ADW絲△4￡：〃絲△ABR

：.ZBAF=ZEAM,BA=AE,AF=AM,

：./BAF+NBAE=/EAM+/BAE,即NE4F=NBAM,

則在△EAF和48AM中，

AE=AB

：Z.EAF='^BAM

AF=AMf

.,.△EAF絲△&4M(SAS),FE=BM.

又?：DM=1,在正方形ABC。中，ZC=90°,AS=3,

：.CM=3-l=2,CB=3,

，BM=y/BC2+CM2="+22=g,

：.FE=BM=y/13.

練習(xí)4-16如圖，在RMA3C中，NA4c=90。,AB=2.將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)至△AICi的位置，點(diǎn)Bi恰好落在邊BC的中點(diǎn)處，則CG的長(zhǎng)為

273—.

【解析】???在RQA8C中，N84C=90。，將該三角形繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)到△ABiCi的位置，點(diǎn)田恰好落在邊8C的中點(diǎn)處，

：.AB\=^BC,BB\=B\C,AB=AB\,

：.BB\=AB=AB\,.?.△ABBi是等邊三角形，

AZB/lBi=ZB=60o,...NC4G=60。，

?.?將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至△48G的位置，

：.CA=CiA,.?.△AGC是等邊三角形，.-.CCi=C4,

'：AB=2,：.CA=2^???CG=2?.

練習(xí)4-17如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=\cm,將RtAABC

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到RtZkAB'C,使點(diǎn)C落在AB邊上，連接88,則88的長(zhǎng)

度是（）

B'

A.\cmB.2cmC.y/^cmD.

【解析】?.?在RSABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=\cm,

：.AC=^AB,則AB=2AC=2cm.

又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AC'=AC=^AB,B'C'LAB,

.?㈤。是△AB方的中垂線,

：.AB'=BB'.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知B9=2c/n.

故選：B.

練習(xí)4-18如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,AB=2^,AD=2,

將^ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得，當(dāng)49恰好過(guò)點(diǎn)D時(shí)，AB'CD

為等腰三角形，若BB'=2,則()

A.VTTB.2GC.V13D.V14

【解析】過(guò)點(diǎn)D作DE1BC于點(diǎn)E.則BE=AD=2,DE=AB=2A/7,

設(shè)BC=/TC=x,CE=X-2.

???AUCD為等腰三角形，

/.B'C=BD=x,ZDB'C=90°

/.DC=V2x

在RTADCE中，由勾股定理得：DC2=DE2+CE2,

222

即：QS/T,X')=(2>/7)+(x—2),解得：％=4,x2—-8(舍

去)。

在RTAABC中，AC=^AB2+BC2=7(277)2+42=2而

由旋轉(zhuǎn)得：BC=5'C,AC=A'C,ZA'CA^ZB'CB

：.AA'C4s△夕CB

.AA'_BB'A4'_2

即:

"^C~~BC25/n-4

而?故選A.

練習(xí)4-19如圖，在四邊形ABC。中（AB>8）,ZABC=NBC￡>=90。，AB=3,

8C=G,把R/AA8C沿著AC翻折得至ijRt\AEC,若tanNAED=—,則線段DE

2

的長(zhǎng)度為（）

?

A.邁B也rV3

\_x.-------------

332。?亭

【解析】如圖

,ZB=90。，BCM,AB=3,

.ZR4C=30。，

?AC=26,

?ZDCB=90。,

.CD//AB,

.ZZ)C4=30°,延長(zhǎng)。。交AE于尸，

.AF=CF=2,則E/=l,ZEFD=60°,

過(guò)點(diǎn)。作。GLEE,設(shè)。G=QX,則GE=2X,ED=不x,

?.FG=\-2x,

?.在a△FGD中，&G=GD,即G(l—2x)=&,

解得：X=；，

.gs

??ED=-----.

3

故選B.

練習(xí)4-20如圖，將^ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到^DEC,使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。恰

好落在邊AB上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,連接BE,下列四個(gè)結(jié)論：①AC=AD；

?ABA.EB-,③BC=EC；④NA=NEBC.其中一定正確的是（）

A.①②B.②③C.③④D.②③④

【解析】?.?將AABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△OEC,，AC=CO,BC=CE,AB

=DE,①錯(cuò)誤，③正確；

180°-ZACD1800-ZBCE

；./ACD=NBCE,VZA=ZADC=2，ZEBC=2，

/.ZA=ZEBC,故④正確；

?/ZA+ZABC不一定等于90°,ZABC+ZCBE不一定等于90°,故②錯(cuò)誤.

故選C.

練習(xí)4-21如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形A8CO內(nèi)作/EAF=45o,AE交于點(diǎn)E,

AF交CD于點(diǎn)F,連接EF,將^ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG.若DF

=3,則3E的長(zhǎng)為

二kI

zn1.?

【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，△ABG^^AOF,

：.AG=AF,BG=DF=3,NGAB=NDAF.

,/ZE4F=45°,，ZGAE=ZGAB+ZBAE=ZBAE+ZDAF=45°,

：.ZGAE=ZFAE.

\'AE=AE,.*.△GAE四△FAE,：.GE=EF=BE+3.

在RQCEE中，CE2+CF2=EF2,

即(6-BE)2+(6—3)2=(BE+3)2,

解得BE=2.

練習(xí)4-22如圖，△ADE由4ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到，且點(diǎn)B的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)。恰好落在8C的延長(zhǎng)線上，AD,EC相交于點(diǎn)P.

(1)求/8?！辏旱亩葦?shù)；

(2)/是EC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且/COb=ND4C.

①判斷。尸和PF的數(shù)量關(guān)系，并證明；

EPPC

②求證：PF=CF-

【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，

AB=AD,ZBAD=90°,

ABC^/\ADE,

：.ZB=ZADB=45°,

：.ZADE=ZB^45°,

：.NBDE=ZADB+ZADE=9Q°；

(2)①解：DF=PF.

證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC=AE,ZG4E=90°,

ZACE=ZAEC=45°,

"：/CDF=ZCAD,ZACE=ZADB=45°,

ZADB+ZCDF=ZACE+ZCAD,即ZFDP=ZFPD,

：.DF=PF.

②證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)P作交。尸于點(diǎn)H,

EPDH

：.ZHPF=ZDEP,~PF=~HF-

'：/DPF=ZADE+NDEP=45。+NDEP,ZDPF=ZACE+NDAC=45°

+ZDAC,

：.ZDEP=ZDAC.

又,：/CDF=/DAC,

:.NDEP=NCDF,

:./HPF=NCDF.

又?：FD=FP,ZF=ZF,

：./\HPF^/\CDF,

：.HF=CF,

：.DH=PC.

EPDH

又,:祈=岳，

EPPC

^~PF=CF-

練習(xí)4-23如圖，AB_Ly軸，將△ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABQi的位置，使

立

點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Bi落在直線y=-3x上，再將△ABQI繞點(diǎn)B.逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到