高考數(shù)學(xué)理科二輪總復(fù)習(xí)練習(xí)專題六　立體幾何第1講

第1講平行與垂直1．(2015·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E.求證：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.證明(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，又D為AB1的中點(diǎn)，因此DE∥AC.又因?yàn)镈E?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因?yàn)槔庵鵄BC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因?yàn)锳C?平面ABC，所以AC⊥CC1.又因?yàn)锳C⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因?yàn)锽C1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因?yàn)锽C＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因?yàn)锳C，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因?yàn)锳B1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.2．(2016·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.證明(1)由題意知，DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，又由三棱柱的性質(zhì)可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D?平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D.又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D?平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.3．(2017·江蘇)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，AB⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF.∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.∵AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴AD⊥AC.自從江蘇實(shí)施新課標(biāo)以來，命題者堅(jiān)決執(zhí)行江蘇高考對(duì)立體幾何的考試說明要求，大幅度降低難度，命題的焦點(diǎn)是空間平行與垂直．試題總體在送分題的位置，但是對(duì)考生的規(guī)范答題要求比較高．熱點(diǎn)一空間平行與垂直的證明例1(2017·蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O，E是棱AB上一點(diǎn)，且OE∥平面BCC1B1.(1)求證：E是AB的中點(diǎn)；(2)若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC.證明(1)連結(jié)BC1，因?yàn)镺E∥平面BCC1B1，OE?平面ABC1，平面BCC1B1∩平面ABC1＝BC1，所以O(shè)E∥BC1.因?yàn)閭?cè)面AA1C1C是菱形，AC1∩A1C＝O，所以O(shè)是AC1的中點(diǎn)，所以eq\f(AE,EB)＝eq\f(AO,OC1)＝1，E是AB的中點(diǎn)．(2)因?yàn)閭?cè)面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，又AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C，A1B?平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，又因?yàn)锽C?平面A1BC，所以AC1⊥BC.思維升華空間平行與垂直的性質(zhì)是同學(xué)們運(yùn)用的薄弱點(diǎn)，要引起高度重視．本題第1問用到了線面平行的性質(zhì)，希望同學(xué)們好好體會(huì)．跟蹤演練1(2017·蘇北四市期末)如圖，在四棱錐E－ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，EA⊥EB，M，N分別是AE，CD的中點(diǎn)．求證：(1)MN∥平面EBC；(2)EA⊥平面EBC.證明(1)取BE的中點(diǎn)F，連結(jié)CF，MF，因?yàn)镸是AE的中點(diǎn)，所以MF綊eq\f(1,2)AB，又N是矩形ABCD邊CD的中點(diǎn)，所以NC綊eq\f(1,2)AB，所以MF綊NC，所以四邊形MNCF是平行四邊形，所以MN∥CF.又MN?平面EBC，CF?平面EBC，所以MN∥平面EBC.(2)在矩形ABCD中，BC⊥AB.又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面EAB.又EA?平面EAB，所以BC⊥EA.又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB，BC?平面EBC，所以EA⊥平面EBC.例2如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，∠BDC＝45°，點(diǎn)M在線段EC上．(1)若EM＝2CM，求證：AE∥平面BDM；(2)求證：平面BDM⊥平面ADEF.證明(1)如圖，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)MO.因?yàn)锳B∥CD，AB＝2CD，所以AO＝2CO.因?yàn)镋M＝2CM，所以AE∥MO.又因?yàn)锳E?平面BDM，MO?平面BDM，所以AE∥平面BDM.(2)設(shè)DC＝1，由題意知DC⊥BC，又∠BDC＝45°，所以BC＝1，BD＝eq\r(2).在梯形ABCD中，AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC＝45°，因?yàn)锳B＝2DC＝2，所以在△ABD中，由余弦定理知AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD)＝eq\r(2)，所以AD2＋BD2＝AB2，所以∠ADB＝90°，所以AD⊥BD.因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，BD⊥AD，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面ADEF，又因?yàn)锽D?平面BDM，所以平面BDM⊥平面ADEF.思維升華不論是規(guī)則的幾何體還是不規(guī)則的幾何體，證明空間平行和垂直的方法都是相通的，常用方法如下：(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換．(2)證明線線垂直常用的方法：①利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；②勾股定理；③線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l⊥α，a?α?l⊥a.跟蹤演練2(2017·江蘇海安中學(xué)質(zhì)檢)如圖，在六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B＝A1D，AB＝AD.求證：(1)AA1⊥BD；(2)BB1∥DD1.證明(1)取線段BD的中點(diǎn)M，連結(jié)AM，A1M，因?yàn)锳1D＝A1B，AD＝AB，所以BD⊥AM，BD⊥A1M.又AM∩A1M＝M，AM，A1M?平面A1AM，所以BD⊥平面A1AM.而AA1?平面A1AM，所以AA1⊥BD.(2)因?yàn)锳A1∥CC1，AA1?平面D1DCC1，CC1?平面D1DCC1，所以AA1∥平面D1DCC1.又AA1?平面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1.同理得AA1∥BB1，所以BB1∥DD1.熱點(diǎn)二線面關(guān)系的簡單運(yùn)用例3如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝eq\r(7)，PA＝eq\r(3)，∠ABC＝120°，G為線段PC上的點(diǎn)．(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若PC⊥平面BGD，求eq\f(PG,GC)的值．(1)證明由已知得△ABC是等腰三角形，且底角等于30°.由AB＝BC，AD＝CD，BD＝BD，得△ABD≌△CBD，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，且∠BAC＝30°，所以BD⊥AC.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA.又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.(2)解由已知得PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(3＋12)＝eq\r(15)，因?yàn)镻C⊥平面BGD，GD?平面BGD，所以PC⊥GD.在△PDC中，PD＝eq\r(3＋7)＝eq\r(10)，CD＝eq\r(7)，PC＝eq\r(15)，設(shè)PG＝x，則GC＝eq\r(15)－x，所以PD2－PG2＝CD2－GC2，即10－x2＝7－(eq\r(15)－x)2，所以PG＝x＝eq\f(3\r(15),5)，GC＝eq\f(2\r(15),5)，所以eq\f(PG,GC)＝eq\f(3,2).思維升華立體幾何中除了直接證明平行和垂直問題外，有時(shí)候還需要通過數(shù)量關(guān)系的計(jì)算達(dá)到解題目的．跟蹤演練3如圖，在四面體ABCD中，AD＝BD，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，AC上的點(diǎn)，點(diǎn)G為棱AD的中點(diǎn)，且平面EFG∥平面BCD.(1)求eq\f(EF,BC)的值；(2)求證：平面EFD⊥平面ABC.(1)解因?yàn)槠矫鍱FG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG＝EG，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，又G為AD的中點(diǎn)，所以E為AB的中點(diǎn)，同理可得，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，所以eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).(2)證明因?yàn)锳D＝BD，由(1)知，E為AB的中點(diǎn)，所以AB⊥DE，又∠ABC＝90°，即AB⊥BC，由(1)知，EF∥BC，所以AB⊥EF，又DE∩EF＝E，DE，EF?平面EFD，所以AB⊥平面EFD，又AB?平面ABC，所以平面EFD⊥平面ABC.1．(2017·江蘇鎮(zhèn)江一模)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝EC＝eq\f(1,2)AA1.(1)求證：AC1∥平面BDE；(2)求證：A1E⊥平面BDE.證明(1)連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OE.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABCD為長方形，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，AA1∥CC1且AA1＝CC1，由EC＝eq\f(1,2)AA1，則EC＝eq\f(1,2)CC1，即點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn)，于是在△CAC1中，AC1∥OE.又因?yàn)镺E?平面BDE，AC1?平面BDE.所以AC1∥平面BDE.(2)連結(jié)B1E.設(shè)AB＝a，則在△BB1E中，BE＝B1E＝eq\r(2)a，BB1＝2a，所以BE2＋B1E2＝BBeq\o\al(2,1)，所以B1E⊥BE.由ABCD－A1B1C1D1為長方體，易得A1B1⊥平面BB1C1C，BE?平面BB1C1C，所以A1B1⊥BE.因?yàn)锽1E∩A1B1＝B1，B1E?平面A1B1E，A1B1?平面A1B1E，則BE⊥平面A1B1E.又因?yàn)锳1E?平面A1B1E，所以A1E⊥BE.連結(jié)D1E，由上面方法同理可證A1E⊥DE.又因?yàn)锽E∩DE＝E，BE?平面BDE，DE?平面BDE，所以A1E⊥平面BDE.2．(2017·江蘇六校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為矩形，AB⊥BP，M為AC的中點(diǎn)，N為PD上一點(diǎn)．(1)若MN∥平面ABP，求證：N為PD的中點(diǎn)；(2)若平面ABP⊥平面APC，求證：PC⊥平面ABP.證明(1)連結(jié)BD，由四邊形ABCD為矩形，得M為AC和BD的中點(diǎn)，∵M(jìn)N∥平面ABP，MN?平面BPD，平面BPD∩平面ABP＝BP，∴MN∥BP.∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，∴N為PD的中點(diǎn)．(2)在△ABP中，過點(diǎn)B作BE⊥AP于E，∵平面ABP⊥平面APC，平面ABP∩平面APC＝AP，BE?平面ABP，BE⊥AP，∴BE⊥平面APC.又PC?平面APC，∴BE⊥PC.∵四邊形ABCD為矩形，∴AB⊥BC.又AB⊥BP，BC∩BP＝B，BC，BP?平面BPC，∴AB⊥平面BPC，∴AB⊥PC，又BE⊥PC，AB?平面ABP，BE?平面ABP，AB∩BE＝B，∴PC⊥平面ABP.A組專題通關(guān)1．設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，則“l(fā)⊥a，l⊥b”是“l(fā)⊥α”的________________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析若a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，l⊥a，l⊥b，a∥b，則l可以與平面α斜交，推不出l⊥α.若l⊥α，a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，則l⊥a，l⊥b.∴“l(fā)⊥a，l⊥b”是“l(fā)⊥α”的必要不充分條件．2．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，l⊥α，m?β.給出下列命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③m∥α?l⊥β；④l⊥β?m∥α.其中正確的命題是________.(填寫所有正確命題的序號(hào))答案①④解析①α∥β，l⊥α?l⊥β?l⊥m，命題正確；②α⊥β，l⊥α?l，m可平行，可相交，可異面，命題錯(cuò)誤；③m∥α，l⊥α?l⊥m?l與β可平行，l可在β內(nèi)，l可與β相交，命題錯(cuò)誤；④l⊥β，l⊥α?β∥α?m∥α，命題正確．3．(2017·江蘇昆山中學(xué)質(zhì)檢)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是________．①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥β；④AC⊥β.答案④解析如圖所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，只有④不一定成立．4．已知α，β，γ是三個(gè)不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命題，如果把α，β，γ中的任意兩個(gè)換成直線，另一個(gè)保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有______個(gè)．答案2解析若α，β?lián)Q為直線a，b，則命題化為“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，此命題為真命題；若α，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥β，且a⊥b?b⊥β”，此命題為假命題；若β，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥α，且b⊥α?a⊥b”，此命題為真命題．5．在三棱錐A－BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是銳角三角形，下列一定正確的是________．(填序號(hào))①平面ABD⊥平面ADC；②平面ABD⊥平面ABC；③平面ADC⊥平面BCD；④平面ABC⊥平面BCD.答案③解析由AD⊥BC，BD⊥AD?AD⊥平面BCD，又AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.6．設(shè)m，n是不同的直線，α，β，γ是不同的平面，有以下四個(gè)結(jié)論：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∥γ))?β∥γ；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,m∥α))?m⊥β；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m∥β))?α⊥β；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n?α))?m∥α.其中正確的結(jié)論是________．(填序號(hào))答案①③解析平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，①正確；如果兩個(gè)平面垂直，一條直線與一個(gè)平面平行，則這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系可以平行、相交，也可以在面內(nèi)，②不正確；如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直，③正確；如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面的位置關(guān)系是平行或在面內(nèi)，④不正確．7．(2017·江蘇揚(yáng)州期末)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PC和PD的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PAB；(2)若AP＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求證：AF⊥平面PCD.證明(1)因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PC和PD的中點(diǎn)，所以EF∥CD，又在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB，又AB?平面PAB，EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)在矩形ABCD中，AD⊥CD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又AF?平面PAD，所以CD⊥AF.因?yàn)镻A＝AD且F是PD的中點(diǎn)，所以AF⊥PD，因?yàn)镻D∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以AF⊥平面PCD.8．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點(diǎn)．(1)若PA＝PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；(2)點(diǎn)M在線段PC上，PM＝tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB.(1)證明連結(jié)BD.∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD為正三角形．∵Q為AD的中點(diǎn)，∴AD⊥BQ.∵PA＝PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴AD⊥PQ.又BQ∩PQ＝Q，∴AD⊥平面PQB，而AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD.(2)解當(dāng)t＝eq\f(1,3)時(shí)，PA∥平面MQB.證明如下：若PA∥平面MQB，連結(jié)AC交BQ于N，連結(jié)MN.由AQ∥BC可得，△ANQ∽△CNB，∴eq\f(AQ,BC)＝eq\f(AN,NC)＝eq\f(1,2).∵PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，∴PA∥MN，eq\f(PM,PC)＝eq\f(AN,AC)＝eq\f(1,3)，即PM＝eq\f(1,3)PC，∴t＝eq\f(1,3).B組能力提高9．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是________．(填序號(hào))①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱錐E－ABC的體積為定值；④直線B1E⊥直線BC1.答案①②③解析因AC⊥平面BDD1B1，故①正確；因B1D1∥平面ABCD，故②正確；記正方體的體積為V，則VE－ABC＝eq\f(1,6)V，為定值，故③正確；B1E與BC1不垂直，故④錯(cuò)誤．10.如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝eq\f(a,3)，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝______.答案eq\f(2\r(2),3)a解析∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴MN∥PQ.∵M(jìn)，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，AP＝eq\f(a,3)，∴CQ＝eq\f(a,3)，從而DP＝DQ＝eq\f(2a,3)，∴PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.11．α，β是兩個(gè)平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個(gè)條件，就能得出BD⊥EF，現(xiàn)有下列條件：①AC⊥β；②AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；③AC∥EF.其中能成為增加條件的序號(hào)是________．答案①②解析由題意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四點(diǎn)共面，①中，∵AC⊥β，EF?β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF?α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正確；②中，由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上可知EF⊥AC，由①可知②正確；③錯(cuò)誤，故填①②.12.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，點(diǎn)D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時(shí)，CF⊥平面B1DF.答案a或2a解析由題意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．令CF⊥DF，設(shè)AF＝x，則A1F＝3a－x.易知Rt△CAF∽R(shí)t△FA1D，得eq\f(AC,A1F)＝eq\f(AF,A1D)，即eq\f(2a,3a－x)＝eq\f(x,a)，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.13．在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，給出下面三個(gè)結(jié)論：①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC.其中不成立的結(jié)論是________．答案③解析如圖，由題知BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∵四面體P－ABC為正四面體，∴BC⊥PA，AE⊥BC，BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABC，∴①和②成立．設(shè)此正四面體的棱長為1，則PA＝1，AM＝eq\f(\r(3),4)，PM2＝PD2－DM2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(11,16)，∴PA2≠AM2＋PM2，故③不成立．14．如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥QD，則a的值等于________．答案2解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，∴QD⊥平面APQ，∴AQ⊥QD.即Q在以AD為直徑的圓上，當(dāng)半圓與BC相切時(shí)，點(diǎn)Q只有一個(gè)．故BC＝2AB＝2，即a＝2.15．(2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AC的中點(diǎn)，AC＝BC，∠ACD＝90°.(1)求證：AB⊥平面EDC；(2)若P為FG上的任一點(diǎn)，求證：EP∥平面BCD.證明(1)因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACD，∠ACD＝90°，即CD⊥AC，平面ABC∩平面ACD＝AC，CD?平面ACD，所以CD⊥平面ABC，又AB?平面ABC，所以CD⊥AB，因?yàn)锳C＝BC，E為AB的中點(diǎn)，所以CE⊥AB，又CE∩CD＝C，CD?平面EDC，CE?平面EDC，