《空間中的角》同步學(xué)案

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《空間中的角》同步學(xué)案問(wèn)題情境導(dǎo)入同學(xué)們可能經(jīng)常談?wù)?*同學(xué)是天蝎座的,同學(xué)是巨蟹座的.可是你知道十二星座的由來(lái)嗎？我們知道,地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”.黃道面與地球赤道面交角(二面角的平面角)為23°26',它與天球相交的大圓稱為“黃道”.黃道南北兩邊各9°寬的環(huán)形區(qū)域稱為黃道帶,黃道帶中有十二個(gè)星座,稱為“黃道十二宮”,從春分(節(jié)氣)點(diǎn)起,每30°便是一宮,并冠以星座名,如白羊座、金牛座、雙子座等等,這便是星座的由來(lái).今天我們研究的問(wèn)題之一就是二面角的相關(guān)問(wèn)題.新課自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引1.若向量a,b分別為直線a,b的方向向量,則直線a與b所成的角,且與兩個(gè)方向向量所成的角〈a,b〉______或______.也就是說(shuō):當(dāng)0≤〈a,b〉≤時(shí),=______;當(dāng)時(shí),=______故______.2.設(shè)向量l為直線l的一個(gè)方向向量,n是平面的一個(gè)法向量,則直線l與平面所成的角且=______或=______.故sin=______.3.一般地,已知分別為平面,的法向量,則二面角的平面角與兩法向量所成角〈〉______.答案1.相等互補(bǔ)〈a,b〉π-〈a,b〉|cos〈a,b〉|2.3.相等或互補(bǔ)預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)1.若直線的方向向量與的方向向量的夾角為150°,則與這兩條異面直線所成的角等于()A.30°B.150°C.30°或150°D.以上均錯(cuò)2.已知直線l的一個(gè)方向向量與平面的法向量的夾角為135°,則直線l與平面的夾角為()A.135°B.45°C.75°D.以上均錯(cuò)3.如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面,則這兩個(gè)二面角的平面角關(guān)系是()A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.不能確定4.已知兩平面的一個(gè)法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則這兩平面所成的二面角的平面角為______.5.在正三棱柱中,各棱長(zhǎng)都相等,E為的中點(diǎn),則平面AEC與平面ABC的夾角為______.答案1.答案:A解析:異面直線所成的角與其方向向量的夾角相等或互補(bǔ),但注意異面直線的夾角范圍是[0°,90°].2.答案:B解析:因?yàn)橹本€與平面的夾角的范圍是[0°,90°],所以直線l與平面的夾角為135°-90°=45°.3.答案:C解析:二面角的兩個(gè)半平面對(duì)應(yīng)平行,當(dāng)方向相同時(shí),兩個(gè)二面角的平面角相等,當(dāng)方向不同時(shí),兩個(gè)二面角的平面角互補(bǔ).4.答案:45°或135°解析:先求出兩法向量夾角的余弦值,再根據(jù)二面角的平面角的取值范圍,分類討論即可.5.答案:解析:不妨設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2,以AC中點(diǎn)O為空間坐標(biāo)系原點(diǎn),以O(shè)A,OB所在直線及AC在平面內(nèi)過(guò)O點(diǎn)的垂線分別為x軸、y軸、z軸建系,則平面ABC的一個(gè)法向量=(0,0,1).由=(1,0,0),=(-1,,1),則平面AEC的一個(gè)法向量=(0,-1,),所以=由圖可知,兩平面的夾角為銳角,故其夾角為.新知合作探究探究點(diǎn)1兩條直線所成的角知識(shí)詳解若向量a,b分別為直線a,b的方向向量,則直線a與b所成的角,且與兩個(gè)方向向量所成的角相等或互補(bǔ).也就是說(shuō):當(dāng)0≤≤時(shí),當(dāng)時(shí)..故注意:分別在已知的兩條直線上(或同方向上)取兩條直線的方向向量a,b,則=.但要注意.兩直線的夾角與并不完全相同,當(dāng)為鈍角或平角時(shí),應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩直線的夾角.特別提示兩異面直線所成角的求法:(1)平移法:即通過(guò)平移其中一條(也可兩條同時(shí)平移),使它們轉(zhuǎn)化為兩條相交直線,然后通過(guò)解三角形獲解.(2)向量法:設(shè)直線的方向向量分別為a,b,a與b的夾角為,則與所成角滿足典例探究例1已知平行六面體的所有棱長(zhǎng)都是1,且,E,F分別為與的中點(diǎn),求異面直線BE與CF所成角的余弦值.解析把,分別用已知向量表示出來(lái),再用向量的夾角公式求,進(jìn)而得解.答案如圖所示,設(shè)=a,=b,=c.則|a|=|b|=|c|=1,===60°,所以ab=bc=ac=.而,所以所以,所以所以異面直線BE與CF所成角的余弦值為.變式訓(xùn)練1已知兩條異面直線的方向向量分別為和,若cos=,則與所成角的余弦值為______.答案解析因?yàn)楫惷嬷本€與所成角的范圍是,且cos=,所以與所成角的余弦值為.探究點(diǎn)2直線與平面所成的角知識(shí)詳解1.設(shè)向量l為直線l的一個(gè)方向向量,n是平面的一個(gè)法向量,則直線l與平面所成的角∈[0,],且=-(如圖(1))或=-(如圖(2)),故sin=|cos|.2.利用法向量求直線與平面所成角的基本步驟:(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)求直線的一個(gè)方向向量;(3)求平面的一個(gè)法向量n;(4)計(jì)算:設(shè)線面角為,則sin=.特別提示1.直線與平面所成的角,應(yīng)分三種情況:(1)直線與平面斜交時(shí),直線和平面所成的角是指這條直線和它在平面上的投影所成的銳角;(2)直線和平面垂直時(shí),直線和平面所成的角大小為;(3)直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí),直線和平面所成的角大小為0.顯然,直線和平面所成的角的范圍為[0,].2.要注意區(qū)分下列角的范圍:(1)斜線和平面所成角的范圍是(0,);(2)直線和平面所成角的范圍是[0,];(3)兩條異面直線所成角的范圍是;(4)兩個(gè)向量夾角的范圍是[0,].典型探究例2在正方體中,直線B,與平面BD所成的角的正弦值是()A.B.C.D.解析以D為原點(diǎn),DA,DC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則D(0,0,0),(1,0,1),B(1,1,0),(0,1,1).所以=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1).設(shè)n=(x,y,z)是平面BD的一個(gè)法向量,則即所以x=-y=-z.令x=1,得n=(1,-1,-1).設(shè)直線與平面所成的角為,則答案C變式訓(xùn)練2如圖所示,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,E為的中點(diǎn),則直線與平面BDE所成的角為()A.B.C.D.答案B解析以D為原點(diǎn),,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則D(0,0,0),,B(1,1,0),E(0,1,),所以易得平面BDE的一個(gè)法向量n=(1,-1,2),而=(0,-1,1),所以cos=.所以所以直線B與平面BDE所成角為.探究點(diǎn)3兩個(gè)平面所成的角知識(shí)詳解1.如圖所示,分別在二面角的面,內(nèi),作向量,則向量的夾角〈〉等于該二面角的平面角.2.一般地,已知?jiǎng)e是平面,的一個(gè)法向量,則二面角的平面角與兩法向量所成的角〈〉相等(如圖(1))或互補(bǔ)(如圖(2)).典型探究例3設(shè)a=(0,1,1),b=(1,0,1)分別是平面,的一個(gè)法向量,則銳二面角的平面角為()A.45°B.90°C.60°D.120°解析設(shè)銳二面角的平面角為,則cos=,故=60°.答案C變式訓(xùn)練3在如圖所示的正方體中,E,F分別是和的中點(diǎn),則平面ECF與平面ABCD的夾角的余弦值為()A.B.C.D.答案:B解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,0),E(1,0,2)F(0,1,),=(1,0,0),=(0,1,0),,設(shè)平面ECF和平面ABCD的一個(gè)法向量分別為,易得=(1,1,2),=(0,0,1),由圖可知平面ECF與平面ABCD的夾角為銳角,則cos=易錯(cuò)易混解讀例1在長(zhǎng)方體中,AB=a,BC=b,,求異面直線和所成角的余弦值.錯(cuò)解以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(b,a,0),(0,0,c),(b,a,c),C(0,a,0),則=(-b,-a,c),=(-b,0,-c).從而所以異面直線和所成角的余弦值為=.錯(cuò)因分析錯(cuò)解中出錯(cuò)原因有兩個(gè):(1)忽略異面直線所成角的范圍是,其余弦值應(yīng)為非負(fù)數(shù);(2)誤把兩向量和的夾角看作異面直線和所成的角.正解以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(b,a,0),(0,0,c),(b,a,c),C(0,a,0),則=(-b,-a,c),=(-b,0,-c).從而有=對(duì)上式進(jìn)行如下討論:(1)當(dāng)c<b時(shí),cos>0,這時(shí)是銳角,則即為異面直線和所成的角;(2)當(dāng)c>b時(shí),cos＞0,這時(shí)是鈍角,則的補(bǔ)角π-即為異面直線和所成的角;(3)當(dāng)c=b時(shí),cos=0,這時(shí)=90°,則即為異面直線和所成的角.綜上,異面直線和所成角的余弦值為糾錯(cuò)心得異面直線所成角的范圍是,余弦值為非負(fù)數(shù),而向量夾角的范圍是[0,π],所以若求出的向量夾角為銳角(或余弦值為正),則向量夾角就是異面直線所成的角;若求出的向量夾角為直角(或余弦值為零),則異面直線所成的角為;若求出的向量夾角為鈍角(或余弦值為負(fù)),則其補(bǔ)角即異面直線所成的角,余弦值取絕對(duì)值即可.例2如圖所示,正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為.求與側(cè)面所成的角.錯(cuò)解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)題意得:A(0,0,0),B(a,0,0),(0,0,),,則.因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為n=(0,1,0),且所以=120°.所以與側(cè)面所成的角為60°或120°.錯(cuò)因分析直線與平面所成的角∈[0°,90°],錯(cuò)解中用向量法求出線面角的三角函數(shù)值后沒(méi)有考慮該范圍對(duì)取值進(jìn)行取舍,得出兩個(gè)值,造成了多解.同時(shí),錯(cuò)中求出的是平面法向量與直線方向向量所成的角,而不是直線與平面所成的角.正解如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.依題意,得A(0,0,0),B(a,0,0),(0,0,),.則=.因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為n=(0,1,0),且所以°.從而與側(cè)面所成的角為90°-60°=30°.糾錯(cuò)心得準(zhǔn)確理解直線與平面所成的角日與直線的方向向量和平面的法向量的夾角間的區(qū)別和聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.同時(shí)應(yīng)注意夾角的范圍,才能減少解題過(guò)程中的失誤,從而保證解題的正確性.例3如圖所示,在正方體中,求二面角的平面角.錯(cuò)解連接DA1,DC1,以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則=(1,0,1)是平面的一個(gè)法向量,是平面的一個(gè)法向量.所以,所以=60°,所以二面角的平面角為60°.錯(cuò)因分析混淆了兩平面法向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系.在求出=60°后,忽視了對(duì)所給圖形的觀察及對(duì)二面角的平面角的判斷,從而使所求二面角的平面角的錯(cuò)誤.正解連接,以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則=(1,0,1)是平面的一個(gè)法向量,是平面的一個(gè)法向量.所以,所以=60°.又由上圖可知二面角的平面角為鈍角,所以二面角的平面角為120°.糾錯(cuò)心得用向量法求二面角的平面角時(shí),要注意與二面角的平面角的關(guān)系.在求出后,一定要觀察分析圖形,看所求二面角的平面角是與相等的,還是互補(bǔ)的.如本例中所求二面角的平面角為鈍角,而向量法所求得的夾角為銳角,故結(jié)論應(yīng)為120°.課堂快速檢測(cè)1.若異面直線的一個(gè)方向向量分別是a=(0,-2,1),b=(2,0,4),則異面直線與的夾角的余弦值等于()A.B.C.D.2.已知m,n分別是直線l和平面的一個(gè)方向向量、法向量,若cos=,則直線l與平面所成的角為()A.30°B.60°C.120°D.150°3.正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都是1,則側(cè)棱與底面所成角為______.4.設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為m=(1,1,0),平面ABD的一個(gè)法向量為n=(1,0,-1),則二面角C-AB-D的平面角為______.5.在正方體,中,E為的中點(diǎn),則平面與平面ABCD所成的銳二面角的平面角的余弦值為______.答案1.答案:B解析:a·b=-4,|a|=,|b|=,cos=|cos2.答案:A解析:由cos=,得=120°,所以直線l與平面所成的角為|90°-120°|=30°.3.答案:45°解析:如圖,在正四棱錐P-ABCD中,點(diǎn)P在平面ABCD的投影為正方形ABCD的中心O.方法一:在中,,所以,所以側(cè)棱與底面所成的角為45°.方法二:如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,,則,n=(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量.設(shè)側(cè)棱與底