河南省平頂山市葉縣高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

2024~2025學(xué)年上學(xué)期高二年級(jí)10月月考數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊(cè)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知圓的一般方程為，其圓心坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．已知直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．1 C． D．3．在正方體中，，則（）A． B． C． D．4．已知曲線的方程為，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．或55．橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線都經(jīng)過(guò)橢圓的另一焦點(diǎn)．電影放映機(jī)聚光奵泡的反射鏡軸截面是橢圓的一部分，如圖所示，燈絲（看成一個(gè)點(diǎn)）在橢圓的右焦點(diǎn)處，奵絲與反射鏡的頂點(diǎn)的距離，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的弦，在軸上移動(dòng)電影機(jī)片門(mén)，將其放在光線最強(qiáng)處，則片門(mén)應(yīng)離燈絲（）A．10cm B．8cm C．13cm D．6cm6．如圖，直三棱柱底面是直角三角形，且分別為的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分、在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知橢圓，則（）A．的焦點(diǎn)都在軸上 B．的焦距不相等C．有公共點(diǎn) D．橢圓比橢圓扁平10．已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，且，若的面積為，則下列結(jié)論正確的有（）A．雙曲線的離心率為 B．雙曲線的離心率為C．雙曲線的漸近線方程為 D．11．如圖，已知正方體中，分別是，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A．四點(diǎn)共面B．與所成角的大小為C．在線段上存在點(diǎn)，使平面D．在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積不變?nèi)⑻羁疹}：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．過(guò)點(diǎn)且在軸、軸上截距相等的直線方程為_(kāi)_____．13．已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為_(kāi)_____．14．已知雙曲線，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的焦距為半徑的圓交軸于兩點(diǎn)，是圓與雙曲線在軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)．且兩點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知圓的方程為．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若圓與直線交于兩點(diǎn)，且，求的值．16．（本小題滿分15分）已知雙曲線，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，求雙曲線的漸近線方程；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率．17．（本小題滿分15分）如圖，在三棱錐中，底面分別是上的三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．18．（本小題滿分17分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，橢圓短軸的端點(diǎn)是，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)．試問(wèn)軸上是否存在定點(diǎn)，使平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（本小題滿分17分）如圖，已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)為（異于點(diǎn)，），且直線交線段于點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）證明：為定值．2024~2025學(xué)年上學(xué)期高二年級(jí)10月月考·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．C已知圓的圓心為，則圓的圓心坐標(biāo)是，故選C．2．B由．故選B．3．A因?yàn)?，又，所以．故選A．4．C若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則解得．故選C．5．D由題設(shè)知解得所以片門(mén)放在光線最強(qiáng)處，片門(mén)應(yīng)離燈絲為．故選D．6．A設(shè)，則，分別以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，則取，則，故為平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，則與平面所成角的正弦值為．故選A．7．C依題意作圖．拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由條件得，設(shè)，則，，由于點(diǎn)在拋物線上，，解得或（不符合題意，舍），．故選C．8．B如圖，設(shè)與圓的切點(diǎn)分別為，則有，所以．根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即，又，所以，所以方程為．故選B．9．BCD因?yàn)榇謭A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以粗圓的焦點(diǎn)在軸上，所以A不正確；因?yàn)榇謭A的焦距為，橢圓的焦距為，所以B正確；易發(fā)現(xiàn)橢圓都過(guò)，所以C正確；因?yàn)闄E圓的離心率為的離心率為，所以，所以D正確．故選BCD．10．BCD，，是直角三角形，又，不防設(shè)，，，故B正確；漸近線斜率，故C正確；，由對(duì)稱性可知斜率小于0時(shí)，，故D正確．故選BCD．11．ABD以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，設(shè)，則，所以解得故，即四點(diǎn)共面，選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以，所以與所成角的大小為，選項(xiàng)B正確；假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，符合題意．設(shè)，則，若平面，則．因?yàn)?，所以此方程組無(wú)解，所以在線段上不存在點(diǎn)，使平面，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，又平面平面，所以平面，故上的所有點(diǎn)到平面的距離均相等，即在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積不變，選項(xiàng)D正確．故選ABD．12．或設(shè)在軸、軸上的截距均為，若，即直線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線為，代入（3，1），可得，所以直線方程為，即；若，則直線方程為，代入，則，解得4，所以此時(shí)直線方程為；綜上所述：所求直線方程為或．13．6不妨設(shè)點(diǎn)為，則，則．設(shè)圓的圓心為，則坐標(biāo)為，則的最大值即為的最大值與圓的半徑1之和．又，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為5，則的最大值為．14．不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．如圖，是的三等分點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，可得垂足為雙曲線的右焦點(diǎn)．在中，，則在中，．根據(jù)雙曲線的定義可知，即，則離心率．15．解：（1）方程可化為，此方程表示圓，，即；（2）由（1）可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，由于，則有，，解得．16．解：（1）點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，，又且，解得雙曲線的方程為，雙曲線的漸近線方程為；（2）設(shè)直線的方程為，且，聯(lián)立可得，則，即，，解得，即由可得，故雙曲線的離心率．17．（1）證明：，根據(jù)余弦定理得，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又平面；（2）解：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，則，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由令，得，可得，．18．解：（1）由橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)得，以為直徑的圓過(guò)可得半徑為，所以橢圓的方程是；（2）設(shè)，直線的方程為．將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得，所以．若平分，則直線的傾斜角互補(bǔ)，所以．設(shè)，則有．將代入上式，整理得，所