2023-2024學年河南省洛陽市偃師實驗中學九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷

九年級數(shù)學試卷一．選擇題（每題3分共30分）1．二次根式中，字母a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＞12．下列各式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．3．一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．無實數(shù)解4．若關于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠05．如果，那么x的取值范圍是（）A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥36．若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個實數(shù)根，則α2+3α+β的值為（）A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．40107．下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝ D．AB2＝AD?AC（7題）8．已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則該等腰三角形的周長為（）A．9 B．12 C．2或5 D．9或129．已知線段m、n、p、q的長度滿足等式mn＝pq，將它改寫成比例式的形式，錯誤的是（）A． B． C． D．10．如圖，銳角△ABC的邊AB、AC上的高線BD、CE交于點O，連接ED，則圖中相似的三角形有（）A．5對 B．6對 C．7對 D．8對二．填空題（每題分共15分）11．規(guī)定用符號[m]表示一個實數(shù)m的整數(shù)部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此規(guī)定[7﹣]的值為．12．若兩個最簡二次根式和是同類二次根式，則n＝．13．已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，則2a+b的值為．14．已知，點P、Q是線段AB的兩個黃金分割點，若AB＝8，則PQ的長是．15．在解一元二次方程x2+px+q＝0時，小紅看錯了常數(shù)項q，得到方程的兩個根是﹣3，1，小明看錯了一次項系數(shù)p，得到方程的兩個根是5，﹣4，則原來的方程是．三．解答題（共8小題75分）16．計算下列各式：（每題4分共8分）（1）；（2）．17．解方程：（每題4分共16分）（1）x2+8x﹣9＝0（用配方法）；（2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0．（3）x2﹣2x﹣99＝0；（4）2x2+2x﹣1＝0．18．定義：若兩個二次根式a，b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關于c的因子二次根式．（6分）（1）若a與是關于4的因子二次根式，則a＝；（2分）（2）若﹣1與m﹣是關于﹣2的因子二次根式，求m的值．（6分）19．已知a＝2+，b＝2﹣．（8分）（1）填空：a+b＝，ab＝；（4分）（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．（8分）20．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么何時△QBP與△ABC相似？（8分）21．已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．（9分）（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．22．某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價每千克50元．（10分）（1）連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，但商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應漲價多少元？23．已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的點，DE與CF交于點G．特例解析：（10分）（1）如圖1，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：；類比探究：（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，且∠B+∠EGC＝180°，求證：．參考答案與試題解析一．選擇題（共30分）1．二次根式中，字母a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＞1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)1﹣a≥0，解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意，得1﹣a≥0，解得a≤1．故選：B．【點評】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．2．下列各式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】利用最簡二次根式定義判斷即可．【解答】解：A.，不是最簡二次根式；B.，是最簡二次根式；C.，不是最簡二次根式；D.，不是最簡二次根式．故選：B．【點評】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式定義是解本題的關鍵．3．一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．無實數(shù)解【分析】方程移項后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：x（x+1）﹣3（x+1）＝0，分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，可得x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3．故選：C．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．4．若關于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可判斷．【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有實數(shù)根，∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0，解得k≤1且k≠0，故選：D．【點評】此題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，熟練掌握一元二次方程的定義及根的判別式是解題的關鍵．5．如果，那么x的取值范圍是（）A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3【分析】根據(jù)二次根式的性質，可得答案．【解答】解：∵，∴3﹣x≥0，解得x≤3，故選：B．【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡，熟知二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵．6．若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個實數(shù)根，則α2+3α+β的值為（）A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010【分析】由根與系數(shù)的關系，得到α+β＝﹣2，α?β＝﹣2024，由方程的根可得α2+2α＝2024，然后代入變形后的式子求值，即可得到答案．【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個實數(shù)根，∴α+β＝﹣2，α2+2α＝2024，∴原式＝α2+2α+α+β＝2024+（﹣2）＝2022．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的解及根與系數(shù)的關系，代數(shù)式變形求值，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系．7．下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝ D．AB2＝AD?AC【分析】根據(jù)有兩個角對應相等的三角形相似，以及根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，分別判斷得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此選項不合題意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此選項不合題意；C、不能判定△ADB∽△ABC，故此選項符合題意；D、∵AB2＝AD?AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此選項不合題意．故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的判定，利用了有兩個角對應相等的三角形相似，兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．8．已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則該等腰三角形的周長為（）A．9 B．12 C．2或5 D．9或12【分析】用因式分解法求出方程的兩個根分別是2和5，有三角形的三邊關系，2為底，5為腰，可以求出三角形的周長．【解答】解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0∴x1＝2，x2＝5．∵三角形是等腰三角形，必須滿足三角形三邊的關系，∴腰長是5，底邊是2，周長為：5+5+2＝12．故選：B．【點評】本題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的兩個根，然后根據(jù)三角形三邊的關系，確定三角形的周長．9．已知線段m、n、p、q的長度滿足等式mn＝pq，將它改寫成比例式的形式，錯誤的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)比例的基本性質：兩外項之積等于兩內項之積．對選項一一分析，選出正確答案．【解答】解：A、兩邊同時乘以最簡公分母pn得mn＝pq，與原式相等，正確，不符合題意；B、兩邊同時乘以最簡公分母mq得mn＝pq，與原式相等，正確，不符合題意；C、兩邊同時乘以最簡公分母qm得pq＝mn，與原式相等，正確，不符合題意；D、兩邊同時乘以最簡公分母qn得mq＝pn，與原式不相等，錯誤，符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查了比例線段等知識點，解答此題應把每一個選項乘以最簡公分母后與原式相比較看是否相同．10．如圖，銳角△ABC的邊AB、AC上的高線BD、CE交于點O，連接ED，則圖中相似的三角形有（）A．5對 B．6對 C．7對 D．8對【分析】由∠BEC＝∠AEC＝∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABD＝∠ACE，可證△ABD∽△ACE∽△BOE∽△COD，即有6對相似三角形，由相似三角形的判定方法可證△ADE∽△ABC，△BOC∽△EOD，可得結論．【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠AEC＝∠BDC＝∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝∠A+∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE∽△BOE∽△COD，即有6對相似三角形，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∵，∠DOE＝∠BOC，∴△BOC∽△EOD，故選：D．【點評】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．二．填空題（共15分）11．規(guī)定用符號[m]表示一個實數(shù)m的整數(shù)部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此規(guī)定[7﹣]的值為4．【分析】直接估算的取值范圍，進而結合符號[m]表示一個實數(shù)m的整數(shù)部分，進而得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴[7﹣]＝4．故答案為：4．【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確估算無理數(shù)的大小是解題關鍵．12．若兩個最簡二次根式和是同類二次根式，則n＝﹣1．【分析】根據(jù)同類二次根式的概念列出方程，解方程求出n，根據(jù)最簡二次根式的概念判斷，得到答案．【解答】解：∵最簡二次根式和是同類二次根式，∴n2﹣2n＝n+4，解得，n1＝﹣1，n2＝4，當n＝4時，＝，不是最簡二次根式，∴n＝﹣1，故答案為：﹣1．【點評】本題考查的是同類二次根式的概念、最簡二次根式的概念，掌握把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式是解題的關鍵．13．已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，則2a+b的值為6+．【分析】先利用直接開平方法解方程得到a＝2+，b＝2﹣，然后把它們代入2a+b中計算即可．【解答】解：（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±，解得x1＝2+．x2＝2﹣，∵方程（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，∴a＝2+，b＝2﹣，∴2a+b＝2（2+）+2﹣＝6+．故答案為：6+．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程．14．已知，點P、Q是線段AB的兩個黃金分割點，若AB＝8，則PQ的長是．【分析】先由黃金分割的比值求出，再由PQ＝AQ+BP﹣AB進行計算即可．【解答】解：如圖，∵點P、Q是線段AB的黃金分割點，AB＝8，∴，∴，故答案為：．【點評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，熟記黃金比是解題的關鍵．15．在解一元二次方程x2+px+q＝0時，小紅看錯了常數(shù)項q，得到方程的兩個根是﹣3，1，小明看錯了一次項系數(shù)p，得到方程的兩個根是5，﹣4，則原來的方程是x2+2x﹣20＝0．【分析】先設這個方程的兩根是α、β，根據(jù)兩個根是﹣3，1和兩個根是5，﹣4，得出α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，從而得出符合題意的方程．【解答】解：設此方程的兩個根是α、β，根據(jù)題意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，則以α、β為根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．故答案為：x2+2x﹣20＝0．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．三．解答題（共75分）16．計算下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）先利用二次根式的性質計算，然后化簡各二次根式后合并即可；（2）先根據(jù)完全平方公式計算，然后把各二次根式化簡后合并即可．【解答】解：（1）原式＝3++3﹣＝3+；（2）原式＝3﹣4+4+2﹣+＝7﹣2﹣+．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則是解決問題的關鍵．17．解方程：（1）x2+8x﹣9＝0（用配方法）；（2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0．（3）x2﹣2x﹣99＝0；（4）2x2+2x﹣1＝0．【解答】解：（1）x2+8x﹣9＝0，x2+8x＝9，x2+8x+16＝9+16，即（x+4）2＝25，∴x+4＝±5，∴x1＝﹣9，x2＝1；（2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，∴x+3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣3，x2＝1．（3）∵x2﹣2x﹣99＝0，∴（x﹣11）（x+9）＝0，則x﹣11＝0或x+9＝0，解得x1＝11，x2＝﹣9；（4）∵a＝2，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝22﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，則x＝＝，∴，．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．18．定義：若兩個二次根式a，b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關于c的因子二次根式．（1）若a與是關于4的因子二次根式，則a＝2；（2）若﹣1與m﹣是關于﹣2的因子二次根式，求m的值．【分析】（1）根據(jù)新定義得到a×＝4，然后解方程即可；（2）根據(jù)新定義得到（﹣1）×（m﹣）＝﹣2，然后解方程即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得a×＝4，解得a＝2，故答案為：2；（2）根據(jù)題意得（﹣1）×（m﹣）＝﹣2，所以m﹣＝﹣＝﹣（+1），解得m＝﹣1，即m的值為﹣1．【點評】本題考查了二次根式的定義：正確理解新定義是解決問題的關鍵．19．已知a＝2+，b＝2﹣．（1）填空：a+b＝4，ab＝﹣2；（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．【分析】（1）根據(jù)二次根式的加法法則、乘法法則計算即可；（2）根據(jù)完全平方公式、多項式乘多項式的運算法則把原式變形，代入計算，得到答案．【解答】解：（1）∵a＝2+，b＝2﹣，∴a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣6＝﹣2，故答案為：4；﹣2；（2）a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）＝a2﹣3ab+b2+ab+a+b+1＝a2+2ab+b2﹣4ab+a+b+1＝（a+b）2﹣4ab+a+b+1＝42﹣4×（﹣2）+4+1＝16+8+4+1＝29．20．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么何時△QBP與△ABC相似？【分析】設經(jīng)過t秒時，以△QBP與△ABC相似，則AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，利用兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似進行分類討論：＝時，△BPQ∽△BAC，即＝；當＝時，△BPQ∽△BCA，即＝，然后方程解方程即可．【解答】解：設經(jīng)過t秒時，以△QBP與△ABC相似，則AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，∵∠PBQ＝∠ABC，∴當＝時，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）；當＝時，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）；即經(jīng)過2秒或0.8秒時，△QBP與△ABC相似．21．已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，從而可判斷三角形的形狀；（2）根據(jù)判別式的意義得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根據(jù)勾股定理可判斷三角形的形狀；（3）利用等邊三角形的性質得a＝b＝c，方程化為x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，則a＝b，所以△ABC為等腰三角形；（2）△ABC為直角三角形；理由：根據(jù)題意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC為直角三角形；（3）∵△ABC為等邊三角形，∴a＝b＝c，∴方程化為x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．22．某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價每千克50元．（1）連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，但商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應漲價多少元？【分析】（1）設每次下降的百分率