2024-2025學(xué)年陜西省西安交大附中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年陜西省西安交大附中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線l：xcos30°?ysin30°+1=0的傾斜角為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°2.曲線x225+y29A.長軸長相等 B.短軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等3.平面內(nèi)，“動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為正常數(shù)”是“動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.若直線的截距式方程xa+yb=1化為斜截式方程為y=?2x+b，化為一般式方程為bx+ay?8=0(a>0)A.?2 B.2 C.6 D.85.圓C1：(x?2)2+(y?4)A.2條 B.1條 C.3條 D.4條6.已知直線y=kx+1(k∈R)與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x24+y2bA.(1,2) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[1,2)7.已知F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A.(33,53] 8.已知雙曲線C：x2a?y212=1(a>0)，過右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=16A.(916,64) B.(94,64)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知雙曲線C：x2?y2A.實(shí)軸長為2

B.離心率為2

C.兩漸近線夾角的正切值不存在

D.直線y=kx+1與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則10.已知直線l的方程3x+4y?2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R)，則(

)A.恒過定點(diǎn)(?2,2)

B.存在實(shí)數(shù)λ使直線l在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)

C.直線l的斜率一定存在

D.點(diǎn)A(1,1)到直線l的距離最大值為11.已知橢圓E：x24+y23=1A.與E有相同離心率的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程一定是x24+y23=λ(λ>0)

B.過F2的直線與橢圓交于兩點(diǎn)A，B，則1|AF2|+1|BF2|三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知方程x2k?4+y213.設(shè)集合A={(x,y)|y?5x?2=1}，B={(x,y)|ax?y+2=0}，若A∩B=?，則實(shí)數(shù)a=14.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知定點(diǎn)A(?1,2)，B(3,2)，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A，B距離之比為2．

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；

(2)過點(diǎn)O作E的切線，切點(diǎn)為P、Q，求PQ所在直線方程．16.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，P是橢圓上任意一點(diǎn)，|PF|的最大值為3，最小值為1．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知M(17.(本小題12分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線右支(且不在坐標(biāo)軸上)，

(1)若雙曲線C與橢圓x24+y18.(本小題12分)

設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(3,0)的距離與它到定直線l：x=43的距離之比為32．

(1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

(2)過F的直線與曲線E交右支于P、Q兩點(diǎn)(P在x軸上方)，曲線E與x軸左、右交點(diǎn)分別為A、B，設(shè)直線AP的斜率為k1，直線BQ的斜率為k19.(本小題12分)

已知橢圓E：x24+y23=1，左焦點(diǎn)F(?1,0)．

(1)設(shè)直線l：y=kx與橢圓E交于M、N，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，證明：kPM?kPN=?34；

(2)過F做兩條互相垂直的直線l1、l2，l1交橢圓于A、C，l2交橢圓于B、D，

(ⅰ)記四邊形ABCD面積為S，求S的取值范圍；

(ⅱ)設(shè)參考答案1.B

2.D

3.B

4.C

5.A

6.D

7.B

8.B

9.ABC

10.ABD

11.ABD

12.(4,1313.1或3214.a

15.解：(1)設(shè)M(x,y)，定點(diǎn)A(?1,2)，B(3,2)，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A，B距離之比為2．

可得|MA|=2|MB|，即(x+1)2+(y?2)2=2?(x?3)2+(y?2)2，

化簡可得x2+y2?14x?4y+21=0，即(x?7)2+(y?2)2=32．

動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程(x?7)2+(y?2)2=32．

(2)(x?7)2+(y?2)16.解：(1)因?yàn)閨PF|的最大值為3，最小值為1，

所以a+c=3，a?c=1，則a=2，c=1，所以b2=a2?c2=3，

所以橢圓方程為x24+y23=1．

(2)根據(jù)題意得中點(diǎn)弦的斜率存在，且M在橢圓內(nèi)，設(shè)B(x1,y1)，C(x2,y2)，

所以x124+y1217.解：(1)雙曲線C與橢圓x24+y2=1有共同的焦點(diǎn)，可得c=3，雙曲線C過點(diǎn)Q(2,1)，

可得4a2?1b2=1，a2+b2=3，解得a=2，b=1，

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x22?y2=1．18.解：(1)設(shè)M(x,y)，由題意可得|MF|d=32(d為M到定直線l的距離)，

即有(x?3)2+y2=32|x?43|，

兩邊平方，化簡可得x24?y25=1，

即點(diǎn)M的軌跡E的方程為x24?y25=1；

(2)由雙曲線的方程可得A(?2,0)，B(2,0)，又F(3,0)，

設(shè)直線PQ的方程為x=my+3，

與雙曲線的方程519.解：(1)證明：由題M，N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)M(x0,y0)，N(?x0,?y0)，P(x,y)，

則x24+y23=1，x04+y023=1，

所以kpM?kPN=y?y0x?x0?y?(?y0)x?(?x0)=y?y0x?x0?y+y0x+x0=y2?y02x2?x02

=3(1?x24)?3(1?x024)x2?x02=?34(x2?x0