《3.3.2 簡單的線性規(guī)劃問題》講義

《3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題》講義一、知識(shí)簡介1、二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域?qū)τ诙淮尾坏仁?Ax＋By+C>0$（或$＜0$），在平面直角坐標(biāo)系中，它表示直線$Ax＋By＋C＝0$某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域。我們可以通過取特殊點(diǎn)（一般取原點(diǎn)$（0,0)＄，當(dāng)$C\neq0$時(shí)）來判斷區(qū)域。如果特殊點(diǎn)滿足不等式，那么這個(gè)點(diǎn)所在的一側(cè)就是不等式表示的區(qū)域；如果不滿足，那么另一側(cè)就是。例如，對于不等式$x＋y1>0$，把原點(diǎn)$（0,0)＄代入，得到$0＋0-1=－1<0$，所以原點(diǎn)不在$x＋y1>0$表示的區(qū)域內(nèi)，那么$x＋y1>0$表示的區(qū)域就是直線$x＋y1＝0$不含原點(diǎn)的那一側(cè)。2、線性規(guī)劃的有關(guān)概念目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量$x$，＄y$的解析式，例如$z＝2x＋y$。線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量$x$，＄y$的一次解析式，就像上面的$z＝2x＋y$就是線性目標(biāo)函數(shù)。約束條件：由變量$x$，＄y$的不等式（組）組成的不等式組，例如$＼begin{cases}x＋y\leqslant3\＼x\geqslant0\＼y\geqslant0\end{cases}＄。線性約束條件：約束條件中的不等式都是關(guān)于變量$x$，＄y$的一次不等式。可行解：滿足線性約束條件的解$（x,y)＄。可行域：由所有可行解組成的集合，也就是線性約束條件表示的平面區(qū)域。最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解。二、精講精練（一）求線性目標(biāo)函數(shù)的最值1、例1設(shè)$z＝2x＋y$，式中變量$x$，＄y$滿足約束條件$＼begin{cases}x＋y\geqslant1\＼xy\leqslant1\＼y\leqslant3\end{cases}＄，求$z$的最大值和最小值。首先，我們要畫出可行域。對于$x＋y\geqslant1$，直線$x＋y＝1$，取點(diǎn)$（0,0)＄代入不等式，＄0+0＝0<1$，所以$x＋y\geqslant1$表示直線$x＋y＝1$含點(diǎn)$（1,0)＄和$（0,1)＄那一側(cè)。對于$xy\leqslant1$，直線$xy＝1$，取點(diǎn)$（0,0)＄代入，＄00=0\leqslant1$，所以$xy\leqslant1$表示直線$xy＝1$含原點(diǎn)那一側(cè)。對于$y\leqslant3$，就是直線$y＝3$及其下方的區(qū)域。那么可行域就是這幾個(gè)區(qū)域的公共部分。然后，我們把目標(biāo)函數(shù)$z＝2x＋y$變形為$y=－2x＋z$，＄z$的幾何意義就是直線$y=－2x＋z$在$y$軸上的截距。當(dāng)直線$y=－2x＋z$經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，截距$z$就會(huì)發(fā)生變化。我們通過平移直線$y=－2x$來找到截距的最值。經(jīng)過計(jì)算，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)$（1,2)＄時(shí)，＄z$取得最小值，＄z_{min}＝2\times(－1)＋2＝0$；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)$（2,3)＄時(shí)，＄z$取得最大值，＄z_{max}＝2\times2+3＝7$。（二）互動(dòng)環(huán)節(jié)1、同學(xué)們，現(xiàn)在大家自己試著改變一下這個(gè)目標(biāo)函數(shù)，比如設(shè)$z＝3x2y$，約束條件不變，來求一下$z$的最大值和最小值。（給同學(xué)們一些時(shí)間去計(jì)算，然后讓同學(xué)分享自己的思路和答案）（三）實(shí)際應(yīng)用中的線性規(guī)劃問題1、例2某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1t需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t。每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤是1000元。工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗A種礦石不超過300t、B種礦石不超過200t、煤不超過360t。甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少（精確到0.1t），能使利潤總額達(dá)到最大？設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品$x$噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品$y$噸。利潤$z＝600x+1000y$。約束條件為：＄＼begin{cases}10x＋4y\leqslant300\＼5x+4y\leqslant200\＼4x＋9y\leqslant360\＼x\geqslant0,y\geqslant0\end{cases}＄。同樣，先畫出可行域。對于$10x＋4y\leqslant300$，直線$10x＋4y＝300$，取點(diǎn)$（0,0)＄代入，＄0+0＝0\leqslant300$，表示直線含原點(diǎn)那一側(cè)。對于$5x+4y\leqslant200$，直線$5x＋4y＝200$，取點(diǎn)$（0,0)＄代入滿足不等式，表示含原點(diǎn)那一側(cè)。對于$4x＋9y\leqslant360$，直線$4x＋9y＝360$，取點(diǎn)$（0,0)＄代入滿足不等式，表示含原點(diǎn)那一側(cè)。然后把目標(biāo)函數(shù)$z＝600x＋1000y$變形為$y=＼frac{3}｛5}x+＼frac{z}｛1000}＄。通過平移直線找到最優(yōu)解。經(jīng)過計(jì)算（這里計(jì)算過程同學(xué)們要仔細(xì)哦），當(dāng)$x＝12.4$，＄y＝34.4$時(shí)，＄z$取得最大值。三、仿真練習(xí)1、設(shè)$z＝x＋3y$，變量$x$，＄y$滿足約束條件$＼begin{cases}xy\geqslant1\＼x＋y\leqslant4\＼y\geqslant1\end{cases}＄，求$z$的最大值和最小值。2、某公司有60萬元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對項(xiàng)目甲的投資不小于對項(xiàng)目乙投資的$＼frac{2}｛3}＄倍，且對每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬元。對項(xiàng)目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項(xiàng)目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤。該公司如何分配資金才能使獲得的利潤最大？設(shè)投資甲項(xiàng)目$x$萬元，投資乙項(xiàng)目$y$萬元。四、課后作業(yè)1、設(shè)$z＝4x2y$，變量$x$，＄y$滿足約束條件$＼begin{cases}x＋y3\geqslant0\＼x2y\geqslant0\＼y\leqslant3\end{cases}＄，求$z$的最大值和最小值。2、一家化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t?，F(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。若生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為10000元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為5000元。問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤？五、參考答案1、仿真練習(xí)對于第一題：畫出可行域后，把目標(biāo)函數(shù)$z＝x＋3y$變形為$y＝＼frac{1}｛3}x+＼frac{z}｛3}＄。當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)$（1,1)＄時(shí)，＄z$取得最小值，＄z_{min}＝1＋3\times1＝4$；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)$（3,1)＄時(shí)，＄z$取得最大值，＄z_{max}＝3+3\times1＝6$。對于第二題：利潤$z＝0.4x＋0.6y$，約束條件為$＼begin{cases}x＋y\leqslant60\＼x\geqslant\frac{2}｛3}y\＼x\geqslant5,y\geqslant5\end{cases}＄。畫出可行域，把目標(biāo)函數(shù)變形為$y＝＼frac{2}｛3}x+＼frac{5}｛3}z$。通過計(jì)算（這里大家要認(rèn)真算哦），當(dāng)$x＝24$，＄y＝36$時(shí)，＄z$取得最大值。2、課后作業(yè)對于第一題：畫出可行域，把目標(biāo)函數(shù)$z＝4x2y$變形為$y＝2x\frac{z}｛2}＄。當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)$（6,3)＄時(shí)，＄z$取得最大值，＄z_{max}＝4\times62\times3＝18$；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)$（2,1)＄時(shí)，＄z$取得最小值，＄z_{min}＝4\times2-2\times1＝6$。對于第二題：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料$x$車皮，生產(chǎn)乙種肥料$y$車皮，利潤$z＝10000x+500