《橢圓的標準方程》教學設計

《橢圓的標準方程》教學設計##一、學情分析高中學生已經(jīng)具備了一定的數(shù)學基礎(chǔ)，如函數(shù)、平面解析幾何等知識。他們的邏輯思維能力正在逐漸增強，但對于像橢圓這樣較為抽象的幾何圖形及其方程的理解可能會存在一些困難。部分學生可能在代數(shù)運算和幾何圖形的轉(zhuǎn)換方面還不夠熟練，需要在教學過程中給予更多的引導和練習。##二、教材分析本節(jié)課的內(nèi)容來自湘教版（2019）選擇性必修第二冊。橢圓是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，橢圓的標準方程是進一步研究橢圓性質(zhì)的基礎(chǔ)。教材從實際生活中的橢圓實例引入，通過建立平面直角坐標系，推導橢圓的標準方程，體現(xiàn)了數(shù)學知識來源于生活又應用于生活的理念，同時也滲透了坐標法這一重要的數(shù)學思想方法。##三、教學目標###（一）知識與技能目標1、學生能夠理解橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的推導過程。2、能根據(jù)橢圓的標準方程確定橢圓的焦點位置、長半軸、短半軸等基本信息。3、會運用橢圓的標準方程解決一些簡單的問題。###（二）過程與方法目標1、通過橢圓標準方程的推導過程，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和代數(shù)運算能力。2、經(jīng)歷從具體實例中抽象出橢圓概念的過程，提高學生的數(shù)學抽象思維能力。###（三）情感態(tài)度與價值觀目標1、感受橢圓在生活中的廣泛應用，體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。2、在橢圓標準方程的推導過程中，培養(yǎng)學生勇于探索、不怕困難的精神。##四、教學重難點###（一）教學重點1、橢圓的定義及橢圓標準方程的推導。2、橢圓標準方程的形式及相關(guān)參數(shù)的確定。###（二）教學難點1、橢圓標準方程的推導過程中，關(guān)于等式的化簡和變形。2、如何根據(jù)橢圓的標準方程確定橢圓的相關(guān)性質(zhì)。##五、教學方法1、講授法：講解橢圓的定義、標準方程等基礎(chǔ)知識。2、探究法：引導學生探究橢圓標準方程的推導過程。3、討論法：組織學生討論橢圓標準方程中的參數(shù)意義及其應用。##六、教學過程###（一）導入（5分鐘）1、給學生展示一些生活中的橢圓實例，比如橄欖球的橫截面、某些天體的運行軌道（可以是簡單的示意圖）等，問學生這些圖形有什么特點呢？看起來像是被壓扁了的圓。那這種圖形在數(shù)學里叫什么呢？今天咱們就來學習橢圓。###（二）新授（25分鐘）####1、橢圓的定義（5分鐘）（1）在黑板上畫一個橢圓的直觀圖（可以用繩子固定兩點，然后用鉛筆拉緊繩子畫出來），然后引導學生觀察橢圓的形成過程。（2）講解橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距?？梢宰寣W生自己在本子上根據(jù)定義畫一個橢圓，感受一下。####2、橢圓標準方程的推導（15分鐘）（1）建立平面直角坐標系：以橢圓的中心為原點，兩焦點所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系。設橢圓的焦距為2c（c>0），橢圓上任意一點P（x，y），兩焦點坐標分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），設|PF1|+|PF2|=2a（a>c>0）。（2）根據(jù)兩點間距離公式，寫出|PF1|和|PF2|的表達式：-|PF1|=sqrt((x+c)^2+y^2)-|PF2|=sqrt((x-c)^2+y^2)（3）因為|PF1|+|PF2|=2a，所以有：-sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a（4）對這個等式進行化簡（這是個難點，要慢慢引導學生）：-先將一個根式移到等式右邊：-sqrt((x+c)^2+y^2)=2a-sqrt((x-c)^2+y^2)-兩邊平方：-(x+c)^2+y^2=4a^2-4a*sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2-展開并化簡：-x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2-4a*sqrt((x-c)^2+y^2)+x^2-2cx+c^2+y^2-4cx-4a^2=-4a*sqrt((x-c)^2+y^2)-cx-a^2=-a*sqrt((x-c)^2+y^2)-再兩邊平方：-(cx-a^2)^2=a^2*((x-c)^2+y^2)-c^2x^2-2a^2cx+a^4=a^2*(x^2-2cx+c^2+y^2)-c^2x^2-2a^2cx+a^4=a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2-(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)（5）令b^2=a^2-c^2（b>0），則得到橢圓的標準方程：-當焦點在x軸上時：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)（6）然后引導學生思考如果焦點在y軸上時橢圓的標準方程會是什么樣呢？讓學生小組討論一下，然后得出結(jié)論：-當焦點在y軸上時：y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)####3、橢圓標準方程的參數(shù)意義（5分鐘）（1）以焦點在x軸上的橢圓標準方程為例，講解a、b、c的意義。-a表示橢圓長半軸的長，b表示橢圓短半軸的長，c表示半焦距。-并且滿足a^2=b^2+c^2。（2）讓學生觀察橢圓的標準方程，思考如何根據(jù)方程判斷焦點在x軸還是y軸上?？梢酝ㄟ^觀察x^2和y^2下面的分母大小來判斷，分母大的對應的就是長半軸的平方。###（三）鞏固（15分鐘）1、給出一些橢圓方程，讓學生判斷焦點在哪個軸上，例如：-（1）x^2/9+y^2/4=1-（2）y^2/16+x^2/9=1-（3）x^2/25+y^2/16=12、已知橢圓的焦點在x軸上，焦距為4，長半軸長為5，求橢圓的標準方程。-解：因為焦距2c=4，所以c=2，又因為a=5，根據(jù)b^2=a^2-c^2，可得b^2=25-4=21，所以橢圓的標準方程為x^2/25+y^2/21=13、設橢圓的方程為x^2/16+y^2/9=1，求橢圓的長半軸長、短半軸長和焦距。-解：因為方程為x^2/16+y^2/9=1，所以a^2=16，b^2=9，那么a=4，b=3，又因為c^2=a^2-b^2=16-9=7，所以c=sqrt(7)，長半軸長為4，短半軸長為3，焦距為2sqrt(7)。###（四）總結(jié)（5分鐘）1、讓學生回顧橢圓的定義，強調(diào)要注意定義中的條件（平面內(nèi)、與兩個定點距離之和為常數(shù)、常數(shù)大于兩定點間距離）。2、回顧橢圓標準方程的推導過程，重點回顧化簡過程中的關(guān)鍵步驟和用到的數(shù)學思想方法（如坐標法、等式的變形等）。3、總結(jié)橢圓標準方程中a、b、c的意義以及如何根據(jù)方程判斷焦點位置。###（五）作業(yè)布置（5分鐘）1、書面作業(yè)-課本上的相關(guān)習題，比如求一些給定條件下橢圓的標準方程，判斷橢圓方程焦點位置等題目。-已知橢圓的兩個焦點坐標分別為（-3，0），（3，0），且橢圓經(jīng)過點（4，0），求橢圓的標準方程。-解：因為橢圓的焦點在x軸上，且c=3，又橢圓經(jīng)過點（4，0），所以a=4，根據(jù)b^2=a^2-c^2，可得b^2=16-9=7，所以橢圓的標準方程為x^2/16+y^2/7=12、拓展作業(yè)-讓學生自己尋找生活中的橢圓實例，然后測量相關(guān)數(shù)據(jù)，嘗試建立橢圓的標準方程（這個作業(yè)可以讓學生分組完成，下節(jié)課可以讓小組代表來展示成果）。##七、教學評價###（一）形成性評價1、在課堂上，觀察學生的表現(xiàn)，包括是否積極參與橢圓定義的探究、橢圓標準方程推導過程中的思考和回答問題情況等。對于積極參與的學生給予表揚，對于存在疑惑的學生及時給予指導。2、在鞏固練習環(huán)節(jié)，查看學生對知識的掌握程度，根據(jù)學生的解題情況進行個別輔導，了解學生在哪些知識點上還存在問題，比