2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章概率3.3.1幾何概型3.3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修3

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(十九)幾何概型勻稱隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生(建議用時(shí)：60分鐘)一、選擇題1.如圖是一個(gè)中心對(duì)稱的幾何圖形，已知大圓半徑為2，以半徑為直徑畫出兩個(gè)半圓，在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為()A.eq\f(π,8) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)D[由題意知，大圓的面積為S＝π·22＝4π；陰影部分的面積為S′＝eq\f(1,2)π·22－π·12＝π，則所求的概率為P＝eq\f(S′,S)＝eq\f(π,4π)＝eq\f(1,4).故選D.]2．在400毫升自來水中有一個(gè)大腸桿菌，今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下視察，則發(fā)覺大腸桿菌的概率為()A．0.008 B．0.004C．0.002 D．0.005D[該問題可轉(zhuǎn)化為與體積有關(guān)的幾何概型求解，概率為eq\f(2,400)＝0.005.]3．在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,4)A[記M＝“射線OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如圖所示，作射線OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.當(dāng)OC在∠DOE內(nèi)時(shí)，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此時(shí)的測(cè)度為度數(shù)30，全部基本領(lǐng)件的測(cè)度為直角的度數(shù)90.所以P(M)＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).]4．將[0,1]內(nèi)的勻稱隨機(jī)數(shù)a1轉(zhuǎn)化為[－2,6]內(nèi)的勻稱隨機(jī)數(shù)a，需實(shí)施的變換為()C[因?yàn)殡S機(jī)數(shù)a1∈[0,1]，而基本領(lǐng)件都在[－2,6]上，其區(qū)間長(zhǎng)度為8，所以首先把a(bǔ)1變?yōu)?a1，又因區(qū)間左端值為－2，所以8a1再變?yōu)?a1－2，故變換公式為a＝5．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(2,3)C[如圖所示，在邊AB上任取一點(diǎn)P，因?yàn)椤鰽BC與△PBC是等高的，所以事務(wù)“△PBC的面積大于eq\f(S,4)”等價(jià)于事務(wù)“eq\f(|BP|,|AB|)＞eq\f(1,4)”．即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(△PBC的面積大于\f(S,4)))＝eq\f(|PA|,|BA|)＝eq\f(3,4).]二、填空題6．在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.3[由|x|≤m，得－m≤x≤m，當(dāng)m≤2時(shí)，由題意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，沖突，舍去．當(dāng)2<m<4時(shí)，由題意得eq\f(m－－2,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.]7．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的勻稱隨機(jī)數(shù)a，則使關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋a＝0無實(shí)根的概率為________．eq\f(3,4)[因?yàn)榉匠虩o實(shí)根，故Δ＝1－4a<0，所以a>eq\f(1,4)，即所求概率為eq\f(3,4).]8．小波通過做嬉戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于eq\f(1,2)，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于eq\f(1,4)，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________．eq\f(13,16)[記事務(wù)A＝“打籃球”，則P(A)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2),π×12)＝eq\f(1,16)，記事務(wù)B＝“在家看書”，則P(B)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2),π×12)－P(A)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,16)＝eq\f(3,16).故P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(13,16).]三、解答題9．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M(1)求點(diǎn)M落在三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率P1(2)求點(diǎn)M落在三棱錐B-A1B1C1內(nèi)的概率P2(3)求點(diǎn)M到面ABCD的距離大于eq\f(a,3)的概率P3；(4)求點(diǎn)M到面ABCD及面A1B1C1D1的距離都大于eq\f(a,3)的概率P4.[解]V正方體＝a3.(1)∵V三棱柱ABC-A1B1C1＝eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,2)a3，∴所求概率P1＝eq\f(\f(1,2)a3,a3)＝eq\f(1,2).(2)∵V三棱錐B-A1B1C1＝eq\f(1,3)·S△A1B1C1·BB1＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,6)a3，∴所求概率P2＝eq\f(1,6).(3)所求概率P3＝eq\f(a－\f(a,3),a)＝eq\f(2,3).(4)所求概率P4＝eq\f(a－\f(a,3)－\f(a,3),a)＝eq\f(1,3).10．兩對(duì)講機(jī)持有者張三、李四在某貨運(yùn)公司工作，他們的對(duì)講機(jī)的接收范圍是25km，下午3：00張三在基地正東30km處向基地行駛，李四在基地正北40km處也向基地行駛，試求下午3：00后他們可以交談的概率．[解]記事務(wù)A＝{下午3：00后張三、李四可以交談}．設(shè)x，y分別表示張三、李四與基地的距離，則x∈[0,30]，y∈[0,40]，則他們的全部距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，則全部這樣的有序?qū)崝?shù)對(duì)構(gòu)成的集合為試驗(yàn)的全部結(jié)果．以基地為原點(diǎn)，正東、正北方向分別為x軸、y軸正方向建立坐標(biāo)系(圖略)，則長(zhǎng)和寬分別為40km和30km的矩形區(qū)域表示該試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，它的總面積為1200km2，可以交談的區(qū)域?yàn)閤2＋y2≤252的圓及其內(nèi)部滿意x≥0，y≥0的部分，由幾何概型的概率計(jì)算公式得P(A)＝eq\f(\f(1,4)×π×252,1200)＝eq\f(25π,192)≈0.41.1．已知一只螞蟻在邊長(zhǎng)分別為5,12,13的三角形的邊上隨機(jī)爬行，則其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于1的地方的概率為()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(π,60)D.eq\f(π,3)A[由題意可知，三角形的三條邊長(zhǎng)的和為5＋12＋13＝30，而螞蟻要在離三個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于1的地方爬行，則它爬行的區(qū)域長(zhǎng)度為3＋10＋11＝24，依據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求概率為eq\f(24,30)＝eq\f(4,5).]2．節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮．那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(7,8)C[設(shè)第一串彩燈亮的時(shí)刻為x，其次串彩燈亮的時(shí)刻為y，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4.))要使兩串彩燈亮的時(shí)刻相差不超過2秒，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,－2≤x－y≤2.))如圖，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4))所表示的圖形面積為16，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,－2≤x－y≤2))所表示的六邊形OABCDE的面積為16－4＝12，由幾何概型的公式可得P＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).]3．在[－1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事務(wù)“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________．eq\f(3,4)[圓(x－5)2＋y2＝9的圓心為C(5,0)，半徑r＝3，故由直線與圓相交可得eq\f(|5k－0|,\r(k2＋1))<r，即eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，整理得k2<eq\f(9,16)，得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4).故所求事務(wù)的概率P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－－1)＝eq\f(3,4).]4.如圖，邊長(zhǎng)為2eq\r(3)的正三角形ABC內(nèi)接于圓O，點(diǎn)P為弧AC上隨意一點(diǎn)，則△PBC的面積大于eq\r(3)的概率為________．eq\f(3,4)[因?yàn)椤鰽BC的邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，所以△ABC的高為3，設(shè)外接圓O的半徑為r，則2r＝eq\f(2\r(3),sin\f(π,3))＝4，所以r＝2，所以O(shè)點(diǎn)到BC的距離為1，過點(diǎn)O作直線與BC平行交弧AC于點(diǎn)D(圖略)，△DBC的面積恰好為eq\r(3)，所以點(diǎn)P由D點(diǎn)向A點(diǎn)移動(dòng)的過程中，△PBC的面積越來越大；點(diǎn)P由D點(diǎn)向C點(diǎn)移動(dòng)的過程中，△PBC的面積越來越小，因此，為使△PBC的面積大于eq\r(3)，只需點(diǎn)P由D點(diǎn)向A點(diǎn)移動(dòng)，所以由幾何概型可知，△PBC的面積大于eq\r(3)的概率等于∠AOD與∠AOC大小之比．因?yàn)椤螦OD＝eq\f(π,2)，∠AOC＝eq\f(2π,3)，所以△PBC的面積大于eq\r(3)的概率為P＝eq\f(\f(π,2),\f(2π,3))＝eq\f(3,4).]5．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0,3]上任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．[解]設(shè)事務(wù)A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b.(1)基本領(lǐng)件共有12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(