蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專題11解題技巧專題：勾股定理與面積問(wèn)題、方程思想壓軸題七種模型全攻略(原卷版+解析)

專題11解題技巧專題：勾股定理與面積問(wèn)題、方程思想壓軸題七種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】 1【考點(diǎn)二結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】 8【考點(diǎn)三巧妙割補(bǔ)求面積】 10【考點(diǎn)四“勾股樹(shù)”及其拓展類型求面積】 14【考點(diǎn)五幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】 20【考點(diǎn)六幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】 25【考點(diǎn)七實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】 28【典型例題】【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】例題：（2023春·新疆阿克蘇·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是和，則斜邊上的高為多少（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在的方格中，小正方形的邊長(zhǎng)是，點(diǎn)、、都在格點(diǎn)上，則邊上的高為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·遼寧朝陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤绻粋€(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為13，底邊長(zhǎng)為24，那么它底邊上的高為（

）A．12 B．24 C．6 D．53．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_________．4．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，在邊長(zhǎng)為單位的網(wǎng)格中，是格點(diǎn)圖形，求中邊上的高．

5．如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求斜邊邊上的高．6．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，，是斜邊上高．(1)求的面積；(2)求斜邊；(3)求高．【類型二結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】例題：已知在中，所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．在中，AD是BC邊上的高，，則的面積為（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或303．直角三邊長(zhǎng)分別是x，和5，則的面積為_(kāi)_________．【類型三巧妙割補(bǔ)求面積】例題：（2023春·河南許昌·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，已知，，，，．

(1)求證：是直角三角形；(2)求四邊形的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)校考期中）如圖所示，是一塊地的平面圖，其中米，米，米，米，，求這塊地的面積.

2．（2023春·安徽馬鞍山·八年級(jí)校考期末）已知，，是的三邊，且，，．(1)試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求的面積．3．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）四邊形草地中，已知，，，，且為直角．

(1)求這個(gè)四邊形草地的面積；(2)如果清理草地雜草，每平方米需要人工費(fèi)20元，清理完這塊草地雜草需要多少錢(qián)？4．（2022春·重慶綦江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．

(1)求線段與的長(zhǎng)；(2)求四邊形的面積；(3)求證：．【類型四“勾股樹(shù)”及其拓展類型求面積】例題：（2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是6、10、4、6，則最大正方形E的面積是（

）A．20 B．26 C．30 D．52【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣西柳州·校考一模）如圖，，正方形和正方形的面積分別是289和225，則以為直徑的半圓的面積是（）A． B． C． D．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關(guān)系為_(kāi)__________．3．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：在中，，、、所對(duì)的邊分別記作a、b、c．如圖1，分別以的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作、、，則有，(1)如圖2，分別以的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分、、，請(qǐng)問(wèn)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2Sa，根據(jù)（2）中的探索，直接回答與有怎樣的數(shù)量關(guān)系；(3)若中，，，求出圖4中陰影部分的面積．4．（2023春·江西南昌·八年級(jí)南昌市第三中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為，，，利用勾股定理，判斷這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有________個(gè)．②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，也滿足嗎？若滿足，請(qǐng)證明；若不滿足，請(qǐng)求出，，的數(shù)量關(guān)系．(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到如圖6所示的“勾股樹(shù)”．在如圖7所示的“勾股樹(shù)”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，則__________．【類型五幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】例題：（2023春·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8，現(xiàn)將按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．32．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，將折疊，使點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，折痕交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．

3．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線把翻折到的位置，交于點(diǎn)．若為直角三角形，則的長(zhǎng)為．

4．（2022秋·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，點(diǎn)分別在邊上（不與端點(diǎn)重合）．將沿折疊，點(diǎn)A落在的位置．

(1)如圖①，當(dāng)與點(diǎn)重合且．①直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；②求的面積．(2)當(dāng)．①與點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)．如圖②，直接寫(xiě)出的大??；②與點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，且的一邊與平行，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【類型六幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】例題：如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_(kāi)______．【變式訓(xùn)練】1．已知：如圖，在中，是的角平分線，，則____．

2．如圖，在和中，，，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

(1)求證：點(diǎn)A在的平分線上；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【類型七實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫(xiě)了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千繩索OA懸掛于O點(diǎn)，靜止時(shí)豎直下垂，A點(diǎn)為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC＝1尺）．將它往前推進(jìn)兩步（EB⊥OC于點(diǎn)E，且EB＝10尺），踏板升高到點(diǎn)B位置，此時(shí)踏板離地五尺（BD＝CE＝5尺），則秋千繩索（OA或OB）長(zhǎng)______尺．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開(kāi)雙門(mén)，雙門(mén)間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門(mén)檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長(zhǎng)是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸2．（2022·河南·金明中小學(xué)八年級(jí)期中）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，有題譯文如下：今有門(mén)，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短．橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門(mén)高短2尺；斜放，門(mén)對(duì)角線長(zhǎng)恰好是竿長(zhǎng)的倍．問(wèn)門(mén)高、門(mén)寬各為多少？3．（2022·重慶市求精中學(xué)校八年級(jí)期中）在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得千米，千米，千米．(1)問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．(2)求原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)．4．（2022·浙江·浦江縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）圖1是一張可以折疊的小床展開(kāi)后支撐起來(lái)放在地面的示意圖，此時(shí)點(diǎn)A、B、C在同一直線上，且∠ACD＝90°，圖2是小床支撐腳CD折疊的示意圖，在折疊過(guò)程中，△ACD變形為四邊形ABC'D'，最后折疊形成一條線段．某家裝廠設(shè)計(jì)的折疊床是AB＝4cm，BC＝8cm，（1）此時(shí)CD為_(kāi)________cm；（2）折疊時(shí)，當(dāng)AB⊥BC′時(shí)，四邊形ABC′D′的面積為_(kāi)______cm2．

專題11解題技巧專題：勾股定理與面積問(wèn)題、方程思想壓軸題七種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】 1【考點(diǎn)二結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】 8【考點(diǎn)三巧妙割補(bǔ)求面積】 10【考點(diǎn)四“勾股樹(shù)”及其拓展類型求面積】 14【考點(diǎn)五幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】 20【考點(diǎn)六幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】 25【考點(diǎn)七實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】 28【典型例題】【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】例題：（2023春·新疆阿克蘇·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是和，則斜邊上的高為多少（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)斜邊上的高為，利用勾股定理可求出斜邊的長(zhǎng)，利用面積法即可求出的值，可得答案．【詳解】∵直角三角形的兩條直角邊分別為，，斜邊長(zhǎng)為，直角三角形的面積為，解得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，直角三角形兩直角邊邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊邊長(zhǎng)的平方；靈活運(yùn)用三角形的面積的兩種不同的表示方法得到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在的方格中，小正方形的邊長(zhǎng)是，點(diǎn)、、都在格點(diǎn)上，則邊上的高為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形，可以求出的面積，然后即可求出邊上的高．【詳解】解：的面積：，，設(shè)邊上的高為，由題意得：，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形面積、三角形面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合思想解答．2．（2023春·遼寧朝陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤绻粋€(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為13，底邊長(zhǎng)為24，那么它底邊上的高為（

）A．12 B．24 C．6 D．5【答案】D【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示

根據(jù)題意得，．∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，即：底邊上的高為5，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出圖形、熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】】解：由勾股定理得：AC=，∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，∴AC?BD=4，∴×2BD=4，∴BD=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，在邊長(zhǎng)為單位的網(wǎng)格中，是格點(diǎn)圖形，求中邊上的高．

【答案】中邊上的高為【分析】如圖所述，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得的長(zhǎng)，在中，可求出的長(zhǎng)，根據(jù)，即三角形的等面積法即可求解．【詳解】解：如圖所述，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵是格點(diǎn)圖形，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為單位，∴，，，∴在中，，∵，∴，∴中邊上的高為．【點(diǎn)睛】本題主要考查格點(diǎn)三角形，勾股定理，等面積法求高等知識(shí)的綜合，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求斜邊邊上的高．【答案】(1)(2)斜邊AB邊上的高是4.8【分析】（1）根據(jù)在中，是邊上的高，，，可以計(jì)算出的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可得到的長(zhǎng)；（2）根據(jù)等面積法，可以求得斜邊邊上的高．【詳解】（1）解：（1）∵在中，是邊上的高，，，∴，即，解得，∵在中，，，∴；（2）解：作于點(diǎn)F，∵，，∴，解得，即斜邊AB邊上的高是4.8．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，，是斜邊上高．(1)求的面積；(2)求斜邊；(3)求高．【答案】(1)的面積為6(2)斜邊為5(3)高的長(zhǎng)為【分析】（1）根據(jù)三角面積公式底乘高除以2求出即可．（2）根據(jù)勾股定理求出．（3）根據(jù)等面積法求出高．【詳解】（1）的面積．故的面積是6；（2）在中，，，，∴；（3）∵，∴，解得．故高的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】此題考查了求三角形面積、勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉三角形面積公式、勾股定理．【類型二結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】例題：已知在中，所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可知，的面積為，結(jié)合已知條件，根據(jù)完全平方公式變形求值即可【詳解】解：中，所對(duì)的邊分別為a，b，c，∵∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是完全平方公式的變形．【變式訓(xùn)練】1．在中，AD是BC邊上的高，，則的面積為（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或30【答案】D【解析】【分析】由勾股定理分別求出BD和CD，分AD在三角形的內(nèi)部和AD在三角形的外部?jī)煞N情況，由三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD==12，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD==，分兩種情況：①如圖1，當(dāng)AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，BC=12+3=15，則△ABC的面積=BC×AD=×15×4=30；②如圖2，當(dāng)AD在△ABC的外部時(shí)，BC=12-3=9，則△ABC的面積=BC×AD=×9×4=18；綜上所述，△ABC的面積為30或18，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、三角形面積以及分類討論等知識(shí)，熟練掌握勾股定理，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．3．直角三邊長(zhǎng)分別是x，和5，則的面積為_(kāi)_________．【答案】6或30【解析】【分析】根據(jù)是直角三角形，則在中分類討論，運(yùn)用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：是直角三角形，則在中即可運(yùn)用勾股定理，不確定與哪一個(gè)大，所以討論：（1）若，則存在，解得，；（2）若，則，解得．的面積為6或30．故答案為：6或30．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形中勾股定理的應(yīng)用，本題中討論與的大小是解題的關(guān)鍵．【類型三巧妙割補(bǔ)求面積】例題：（2023春·河南許昌·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，已知，，，，．

(1)求證：是直角三角形；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)角的直角三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)跟勾股定理的逆定理即可得證；（2）根據(jù)勾股定理得到，再利用三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，在中，，，，∵，即，∴是直角三角形；（2）解：∵在中，，，，∴，∴，又∵，∴．∴四邊形為．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理，角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積．熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)校考期中）如圖所示，是一塊地的平面圖，其中米，米，米，米，，求這塊地的面積.

【答案】24平方米【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出米，根據(jù)，，根據(jù)直角三角形的面積公式求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，連接，如圖所示：

，米，米，米，米，米，，，這塊地的面積為：（平方米）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．如果一個(gè)三角形的三條邊a、b、c滿足，那么這個(gè)三角形為直角三角形．2．（2023春·安徽馬鞍山·八年級(jí)校考期末）已知，，是的三邊，且，，．(1)試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求的面積．【答案】(1)是直角三角形，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：是直角三角形．理由：∵，，，∴，∴是直角三角形，且是直角；（2）解：的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）四邊形草地中，已知，，，，且為直角．

(1)求這個(gè)四邊形草地的面積；(2)如果清理草地雜草，每平方米需要人工費(fèi)20元，清理完這塊草地雜草需要多少錢(qián)？【答案】(1)(2)清理完這塊草地雜草需要720元錢(qián)【分析】（1）連接，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理逆定理得出，最后根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)每平方米需要人工費(fèi)20元，即可解答．【詳解】（1）解：連接，∵，，為直角，∴，∵，，∴，∴，∴．

（2）解：（元），答：清理完這塊草地雜草需要720元錢(qián)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方，兩邊平方和等于第三邊平方的三角形是直角三角形．4．（2022春·重慶綦江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．

(1)求線段與的長(zhǎng)；(2)求四邊形的面積；(3)求證：．【答案】(1)，(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理解答即可；（2）運(yùn)用分割法解答即可；（3）連接，根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可．【詳解】（1）∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，∴，（2）（3）連接，

∴，∵，，∴，∴是直角三角形，且為斜邊，∴．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出各邊的長(zhǎng)解答．【類型四“勾股樹(shù)”及其拓展類型求面積】例題：（2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期末）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是6、10、4、6，則最大正方形E的面積是（

）A．20 B．26 C．30 D．52【答案】B【分析】根據(jù)正方形的面積公式并結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積即可．【詳解】解：如圖：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得：===26故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，熟悉勾股定理的幾何意義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣西柳州·?？家荒＃┤鐖D，，正方形和正方形的面積分別是289和225，則以為直徑的半圓的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出，再求半圓的面積即可．【詳解】解：∵正方形和正方形的面積分別是289和225，∴，∵，∴，∴以為直徑的半圓的面積為：；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理．熟練掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關(guān)系為_(kāi)__________．【答案】12；s1+s2=s3【分析】首先根據(jù)正方形面積公式得到三個(gè)正方形的面積與Rt△ABC的三邊關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理找到Rt△ABC的三邊之間的關(guān)系，并由此得到三個(gè)正方形的面積關(guān)系，最后算出S3的值；第二空同理根據(jù)正三角形面積公式與勾股定理，得到S1，S2，S3三者之間的關(guān)系，完成解答．【詳解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的邊長(zhǎng)，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，又∵Rt△ABC三邊向外作等邊三角形，其面積為S1，S2，S3，∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和正方形、正三角形的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用勾股定理．3．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：在中，，、、所對(duì)的邊分別記作a、b、c．如圖1，分別以的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作、、，則有，(1)如圖2，分別以的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分、、，請(qǐng)問(wèn)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2Sa，根據(jù)（2）中的探索，直接回答與有怎樣的數(shù)量關(guān)系；(3)若中，，，求出圖4中陰影部分的面積．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)(3)24【分析】（1）由扇形的面積公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根據(jù)（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的結(jié)論進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：①，根據(jù)勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根據(jù)根據(jù)勾股定理：，從而可得；（3）解：由（2）知．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是對(duì)勾股定理的熟練掌握及靈活運(yùn)用．4．（2023春·江西南昌·八年級(jí)南昌市第三中學(xué)校考期中）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為，，，利用勾股定理，判斷這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有________個(gè)．②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，也滿足嗎？若滿足，請(qǐng)證明；若不滿足，請(qǐng)求出，，的數(shù)量關(guān)系．(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到如圖6所示的“勾股樹(shù)”．在如圖7所示的“勾股樹(shù)”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，則__________．【答案】(1)①3；②滿足，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）設(shè)兩直角邊分別為，，斜邊為，用，，分別表示正方形、圓、等邊三角形的面積，根據(jù)，求解之間的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)果；②根據(jù)，，，可得；（2）由題意知，，，，，，代入求解即可．【詳解】（1）①解：設(shè)兩直角邊分別為，，斜邊為，則圖2中，，∵，∴，故圖2符合題意；圖3中，，，，∵，∴，故圖3符合題意；圖4中，，，，∵，∴，故圖4符合題意；∴這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)，故答案為：3；②解：滿足，證明如下：由題意知，，，∴；（2）解：由題意知，，，，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股樹(shù)．解題的關(guān)鍵在于正確的表示各部分的面積．【類型五幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】例題：（2023春·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8，現(xiàn)將按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可知，，設(shè)，則，，再中利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵△ADE翻折后與完全重合，∴，設(shè)，則，，∵在中，，即，解得，，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的翻折變換，解題中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】利用勾股定理求得，由折疊的性質(zhì)可得，，求得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)得，，，∴，設(shè)，則，在中，，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，將折疊，使點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，折痕交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．

【答案】/【分析】由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可求的長(zhǎng)，即可求的長(zhǎng)．【詳解】解：是中點(diǎn)，，，將折疊，使點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，，，在中，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)的定義以及方程思想，綜合性較強(qiáng)．3．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線把翻折到的位置，交于點(diǎn)．若為直角三角形，則的長(zhǎng)為．

【答案】1或【分析】分和兩種情形分類討論，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，算出根據(jù)以及翻折性質(zhì)得出即可解答；當(dāng)時(shí)，作交的延長(zhǎng)線于，設(shè)，在和中用勾股定理即可解答．【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，

在中，如圖，當(dāng)時(shí)，作交的延長(zhǎng)線于，設(shè)，

在中，在中，解得，綜上所述，滿足條件的的值為1或，故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、勾股定理、特殊直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．4．（2022秋·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，點(diǎn)分別在邊上（不與端點(diǎn)重合）．將沿折疊，點(diǎn)A落在的位置．

(1)如圖①，當(dāng)與點(diǎn)重合且．①直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；②求的面積．(2)當(dāng)．①與點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)．如圖②，直接寫(xiě)出的大?。虎谂c點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，且的一邊與平行，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)①4；②(2)①；②的度數(shù)分別為，【分析】（1）①直接根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)；②設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出x的值，再根據(jù)三角形面積公式即可求解；（2）①根據(jù)三角形的外角定理可得，，即可求解；②根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：①在中，由勾股定理得，，②設(shè)，則，∵將沿折疊，點(diǎn)A落在的位置，∴，在中，由勾股定理得，，解得：∴．（2）解：①∵將沿折疊，點(diǎn)A落在的位置，，∴，∴，∵，∴，∴；

②當(dāng)時(shí)，如圖：∵，，∴，∵由折疊所得，∴；

當(dāng)時(shí)，如圖：∵，，∴，∵由折疊所得，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．

綜上：的度數(shù)分別為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，三角形那個(gè)的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理內(nèi)容，根據(jù)勾股定理建立方程求邊的長(zhǎng)度；掌握三角形是內(nèi)角和為，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，平行線的性質(zhì)．【類型六幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】例題：如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_(kāi)______．【答案】8【解析】【分析】作交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，在中，，在中,，根據(jù)列出方程即可求解．【詳解】如圖，作交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，則即為BC邊上的高，在中，，在中,，，AB＝10，BC＝9，AC＝17，，解得，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．已知：如圖，在中，是的角平分線，，則____．

【答案】6【分析】作，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，勾股定理求出，證明，推出，設(shè)，根據(jù)勾股定理列出方程即可求出．【詳解】解：作于點(diǎn)E，如圖，∵在中，是的角平分線，，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，即；故答案為：6．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，屬于常見(jiàn)題型，熟練掌握上述知識(shí)，利用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在和中，，，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

(1)求證：點(diǎn)A在的平分線上；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）連接，證明，可得，根據(jù)角平分線的判定即可解決問(wèn)題；（2）證明，設(shè)，所以，根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

在和中，∵，，，，，，，平分，點(diǎn)在的平分線上；（2）解：，，，，設(shè)，，在中，，，．．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到．【類型七實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫(xiě)了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千繩索OA懸掛于O點(diǎn)，靜止時(shí)豎直下垂，A點(diǎn)為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC＝1尺）．將它往前推進(jìn)兩步（EB⊥OC于點(diǎn)E，且EB＝10尺），踏板升高到點(diǎn)B位置，此時(shí)踏板離地五尺（BD＝CE＝5尺），則秋千繩索（OA或OB）長(zhǎng)______尺．【答案】【解析】【分析】設(shè)OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【詳解】解：設(shè)OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，∴x2=102+（x-4）2，∴x=，∴OA或OB的長(zhǎng)度為（尺）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開(kāi)雙門(mén)，雙門(mén)間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門(mén)檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長(zhǎng)是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸【答案】C【解析】【分析】取AB的中點(diǎn)O，過(guò)D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．【詳解】解：取AB的中點(diǎn)O，過(guò)D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河南·金明中小學(xué)八年級(jí)期中）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，有題譯文如下：今有門(mén)，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短．橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門(mén)高短2尺；斜放，門(mén)對(duì)