備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學壓軸題訓練專題02集合與其他知識交匯的新定義解答題(新定義高觀點壓軸題)(學生版+解析)

專題02集合與其他知識交匯的新定義解答題（新定義，高觀點，壓軸題）1．（2024·重慶·模擬預測）在二維空間即平面上點的坐標可用兩個有序數(shù)組表示，在三維空間中點的坐標可用三個有序數(shù)組表示，一般地在維空間中點A的坐標可用n個有序數(shù)組表示，并定義n維空間中兩點，間的“距離”．(1)若，，求；(2)設集合．元素個數(shù)為2的集合M為的子集，且滿足對于任意，都存在唯一的使得，則稱M為“的優(yōu)集”．證明：“的優(yōu)集”M存在，且M中兩不同點的“距離”是7．2．（2024·北京·模擬預測）對給定的正整數(shù)，令，對任意的，，定義與的距離．設是的含有至少兩個元素的子集，集合中的最小值稱為的特征，記作．(1)當時，直接寫出下述集合的特征：；(2)當時，設且，求中元素個數(shù)的最大值；(3)當時，設且，求證：中的元素個數(shù)小于．5．（2024·北京石景山·一模）已知集合，對于，，定義與之間的距離為．(1)已知，寫出所有的，使得；(2)已知，若，并且，求的最大值；(3)設集合，中有個元素，若中任意兩個元素間的距離的最小值為，求證：．6．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習）設集合、為正整數(shù)集的兩個子集，、至少各有兩個元素.對于給定的集合，若存在滿足如下條件的集合：①對于任意，若，都有；②對于任意，若，則.則稱集合為集合的“集”.(1)若集合，求的“集”；(2)若三元集存在“集”，且中恰含有4個元素，求證：；(3)若存在“集”，且，求的最大值.7．（2024·湖南邵陽·二模）給定整數(shù)，由元實數(shù)集合定義其隨影數(shù)集.若，則稱集合為一個元理想數(shù)集，并定義的理數(shù)為其中所有元素的絕對值之和.(1)分別判斷集合是不是理想數(shù)集；（結論不要求說明理由）(2)任取一個5元理想數(shù)集，求證：；(3)當取遍所有2024元理想數(shù)集時，求理數(shù)的最小值.注：由個實數(shù)組成的集合叫做元實數(shù)集合，分別表示數(shù)集中的最大數(shù)與最小數(shù).8．（2024·廣東·模擬預測）設X，Y為任意集合，映射．定義：對任意，若，則，此時的為單射．(1)試在上給出一個非單射的映射；(2)證明：是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合與映射，若對任意，有，則；(3)證明：是單射的充分必要條件是：存在映射，使對任意，有．9．（2024·廣東江門·一模）將2024表示成5個正整數(shù)，，，，之和，得到方程①，稱五元有序數(shù)組為方程①的解，對于上述的五元有序數(shù)組，當時，若，則稱是密集的一組解.(1)方程①是否存在一組解，使得等于同一常數(shù)?若存在，請求出該常數(shù)；若不存在，請說明理由；(2)方程①的解中共有多少組是密集的?(3)記，問是否存在最小值?若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.10．（2024·全國·模擬預測）拓撲學是一個研究圖形（或集合）整體結構和性質(zhì)的一門幾何學，以抽象而嚴謹?shù)恼Z言將幾何與集合聯(lián)系起來，富有直觀和邏輯．已知平面，定義對，，其度量（距離）并稱為一度量平面．設，，稱平面區(qū)域為以為心，為半徑的球形鄰域．(1)試用集合語言描述兩個球形鄰域的交集；(2)證明：中的任意兩個球形鄰域的交集是若干個球形鄰域的并集；(3)一個集合稱作“開集”當且僅當其是一個無邊界的點集．證明：的一個子集是開集當且僅當其可被表示為若干個球形鄰域的并集．專題02集合與其他知識交匯的新定義解答題（新定義，高觀點，壓軸題）1．（2024·重慶·模擬預測）在二維空間即平面上點的坐標可用兩個有序數(shù)組表示，在三維空間中點的坐標可用三個有序數(shù)組表示，一般地在維空間中點A的坐標可用n個有序數(shù)組表示，并定義n維空間中兩點，間的“距離”．(1)若，，求；(2)設集合．元素個數(shù)為2的集合M為的子集，且滿足對于任意，都存在唯一的使得，則稱M為“的優(yōu)集”．證明：“的優(yōu)集”M存在，且M中兩不同點的“距離”是7．【答案】(1)；(2)證明見解析.【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)題，得到，結合裂項法求和，即可求解；（2）根據(jù)新定義得到，，構造有2個元素，由為整數(shù)，得到存在為“的優(yōu)集”，設，，推得，，顯然矛盾，即可得證.【詳解】（1）解：因為，，，則，所以.（2）證明：定義：對任意，規(guī)定，對任意，，由于，，，容易得，所以，得結論：，，構造有2個元素，由為整數(shù)，當時，則滿足M為“的優(yōu)集”的定義，當時，則，滿足M為“的優(yōu)集”的定義，所以存在為“的優(yōu)集”，若M中的兩個點，有一個位置相同，不妨設為第一個位置，則設，，則取，則有，，顯然矛盾，所以M中的兩個點每一個位置均不同，即，顯然，即“的優(yōu)集”M存在，且M中兩不同點的“距離”是.【點睛】方法點睛：對于以集合為背景的新定義問題的求解策略：1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點，把心定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應用到具體的解題過程中；2、用好集合的性質(zhì)，解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.3、涉及有交叉集合的元素個數(shù)問題往往可采用維恩圖法，基于課標要求的，對于集合問題，要熟練基本的概念，數(shù)學閱讀技能、推理能力，以及數(shù)學抽象和邏輯推理能力.2．（2024·北京·模擬預測）對給定的正整數(shù)，令，對任意的，，定義與的距離．設是的含有至少兩個元素的子集，集合中的最小值稱為的特征，記作．(1)當時，直接寫出下述集合的特征：；(2)當時，設且，求中元素個數(shù)的最大值；(3)當時，設且，求證：中的元素個數(shù)小于．【答案】(1)，，(2)(3)證明詳見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)與的距離的定義，直接求出的最小值即可；（2）一方面先證明A中元素個數(shù)至多有個元素，另一方面證明存在集合中元素個數(shù)為個滿足題意，進而得出A中元素個數(shù)的最大值；（3）設，定義的鄰域，先證明對任意的，中恰有2021個元素，再利用反證法證明，于是得到中共有個元素，但中共有個元素，所以，進而證明結論．【詳解】（1）依題意可得，，．（2）（a）一方面：對任意的，令，則，故，令集合，則，則且和的元素個數(shù)相同，但中共有個元素，其中至多一半屬于，故中至多有個元素．(b)另一方面：設是偶數(shù)，則對任意的，，，都有中的元素個數(shù)為，易得與奇偶性相同，故為偶數(shù)，又，則，所以，注意到，且它們的距離為2，故此時滿足題意，綜上，中元素個數(shù)的最大值為．（3）當時，設且，設，則對任意的，定義的鄰域，（a）一方面：對任意的，中恰有2021個元素，事實上，①若，則，恰有一種可能；，②若，則與，恰有一個分量不同，共2020種可能；綜上，中恰有2021個元素，（b）對任意的，，事實上，若，不妨設，，則，這與矛盾，由（a）和（b）可得中共有個元素，但中共有個元素，所以，即，注意到是正整數(shù)，但不是正整數(shù)，上述等號無法取到，所以，集合中的元素個數(shù)小于．【點睛】關鍵點睛：本題考查集合的新定義，集合的含義與表示、集合的運算以及集合之間的關系，反證法的應用，考查學生分析、解決問題的能力，正確理解新定義是關鍵，綜合性較強，屬于難題．3．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A與B，存在對應關系f，使A中的每一個元素a，B中總有唯一的元素b與它對應，則稱這種對應為從A到B的映射，記作f：A→B．設集合，（，），且．設有序四元數(shù)集合且，．對于給定的集合B，定義映射f：P→Q，記為，按映射f，若（），則；若（），則．記．(1)若，，寫出Y，并求；(2)若，，求所有的總和；(3)對于給定的，記，求所有的總和（用含m的式子表示）．【答案】(1)，(2)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)題意中的新定義，直接計算即可求解；（2）對1，，5是否屬于B進行分類討論，求出對應所有Y中的總個數(shù)，進而求解；（3）由題意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.【詳解】（1）由題意知，，所以．（2）對1，，5是否屬于B進行討論：①含1的B的個數(shù)為，此時在映射f下，；不含1的B的個數(shù)為，此時在映射f下，；所以所有Y中2的總個數(shù)和1的總個數(shù)均為10；②含5的B的個數(shù)為，此時在映射f下，；不含5的B的個數(shù)為，此時在映射f下，；所以所有Y中6的總個數(shù)和5的總個數(shù)均為10；②含的B的個數(shù)為，此時在映射f下，，；不含的B的個數(shù)為，此時在映射f下，，；所以所有y中的總個數(shù)和的總個數(shù)均為20．綜上，所有的總和為．（3）對于給定的，考慮在映射f下的變化．由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共個，所以在映射f下變?yōu)椋徊缓淖蛹疊共個，在映射f下變?yōu)?；所以在映射f下得到的所有的和為．同理，在映射f下得到的所有（）的和．所以所有的總和為．【點睛】方法點睛：學生在理解相關新概念、新法則(公式)之后，運用學過的知識，結合已掌握的技能，通過推理、運算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點仍然是集合的有關知識點.4．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習）對于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P．(1)設，請寫出向量集Y并判斷X是否具有性質(zhì)P（不需要證明）．(2)若，且集合具有性質(zhì)P，求x的值；(3)若X具有性質(zhì)P，且，q為常數(shù)且，求證：．【答案】(1)，具有性質(zhì)；(2)；(3)證明見解析.【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)向量集Y的定義，結合的元素，直接寫出，再判斷是否滿足性質(zhì)即可；（2）根據(jù)性質(zhì)的定義，任取，，討論的取值，結合的范圍，即可求得的取值；（3）根據(jù)性質(zhì)的定義推出為定值，結合，即可推證.【詳解】（1）根據(jù)向量集的定義可得：，若，則存在，使得，同理亦可證明對任意，也滿足性質(zhì)，故具有性質(zhì)P．（2）對任意a，，都存在c，，使得，即對于，都存在，使得，其中a，b，c，，因為集合具有性質(zhì)P，選取，，則有，假設，則有，解得，這與矛盾，假設，則有，解得，這與矛盾，假設，則有，解得，這與矛盾，假設，則有，解得，滿足，故；經(jīng)檢驗，集合具有性質(zhì)P．（3）證明：取，設且滿足，由得，從而s，t異號，∵－1是x中唯一的負數(shù)，∴s，t中一個為－1，另一個為1，故．因為，所以，X具有性質(zhì)P，取，，設，因為，且c，d中的正數(shù)大于等于1，所以只能，所以，．又X中只有個大于1的正數(shù)，即，且，這個大于1的正整數(shù)都屬于集合X，所以只能，，…，即，即．【點睛】關鍵點點睛：處理本題第三問的關鍵是能夠根據(jù)性質(zhì)的定義，推出，以及為定值，進而根據(jù)X中只有個大于1的正數(shù)解決問題.5．（2024·北京石景山·一模）已知集合，對于，，定義與之間的距離為．(1)已知，寫出所有的，使得；(2)已知，若，并且，求的最大值；(3)設集合，中有個元素，若中任意兩個元素間的距離的最小值為，求證：．【答案】(1)、、、；(2)；(3)見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)題中定義可得的所有情形；（2）分、兩種情況，利用絕對值三角不等式可求得的最大值；（3）表示出，結合定義，可得，即中任意兩元素不相等，可得中至多有個元素，即可得證．【詳解】（1）已知，，且，所以，的所有情形有：、、、；（2）設，，因為，則，同理可得，當時，；當時，.當，時，上式等號成立.綜上所述，；（3）記，我們證明．一方面顯然有．另一方面，且，假設他們滿足．則由定義有，與中不同元素間距離至少為相矛盾．從而．這表明中任意兩元素不相等．從而．又中元素有個分量，至多有個元素．從而．【點睛】方法點睛：解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：（1）緊扣新定義，首先分析新定義的特點，把定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程之中，這是新定義型集合問題難點的關鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì)，解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關鍵之外用好集合的運算與性質(zhì).6．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習）設集合、為正整數(shù)集的兩個子集，、至少各有兩個元素.對于給定的集合，若存在滿足如下條件的集合：①對于任意，若，都有；②對于任意，若，則.則稱集合為集合的“集”.(1)若集合，求的“集”；(2)若三元集存在“集”，且中恰含有4個元素，求證：；(3)若存在“集”，且，求的最大值.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)4.【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)定義直接求解；（2）利用反證法推矛盾即可證明；（3）設，結合（2）的結論推出不成立，結合定義和得即可求解.【詳解】（1）若，由題意可得，，，，即，此時，滿足題意，假設集合中還有第四個元素為，則由題意可知：若，即，則，∴不成立；若，則，∴或9或27，矛盾.故集合中無四個元素，所以集合.（2）設集合，不妨設，假設，即，則且，由②知，注意到，故有，即，所以，故，即，因為集合中有4個元素，故設，由②可得：若，則，∴，矛盾；若，，則或或，所以或或，與集合元素的互異性矛盾，假設錯誤，故.（3），，不妨設，所以，，又，故，同理可得，若，與（2）類似得，從而必有，對任意的，有，即，所以，即.若，即，，故，，，，所以，即，從而必有，對任意的，必有，即，所以，即.綜上，得，又時，有，符合題意，所以的最大值為4【點睛】關鍵點點睛：本題考查集合新定義，關鍵是充分利用定義并分類討論和求解第三問,并充分利用反證法推理.7．（2024·湖南邵陽·二模）給定整數(shù)，由元實數(shù)集合定義其隨影數(shù)集.若，則稱集合為一個元理想數(shù)集，并定義的理數(shù)為其中所有元素的絕對值之和.(1)分別判斷集合是不是理想數(shù)集；（結論不要求說明理由）(2)任取一個5元理想數(shù)集，求證：；(3)當取遍所有2024元理想數(shù)集時，求理數(shù)的最小值.注：由個實數(shù)組成的集合叫做元實數(shù)集合，分別表示數(shù)集中的最大數(shù)與最小數(shù).【答案】(1)集合是理想數(shù)集，集合不是理想數(shù)集(2)證明見解析(3)1024144【優(yōu)尖升-分析】（1）由理想數(shù)集的定義即可判斷；（2）為了方便說明，假定元素間一個有序關系為，從而分三種情況，，，討論即可得證；（3）首先通過分類討論證明，對元理想數(shù)集，有.從而有，即，通過放縮與等差數(shù)列求和即可得解.【詳解】（1）設的隨影數(shù)集分別為，則，所以集合是理想數(shù)集，集合不是理想數(shù)集.（2）不妨設集合且，即.為理想數(shù)集，，則，且，使得.當時，.當且僅當且時，等號成立；當時，.當且僅當且時，等號成立；當時，.當且僅當時，等號成立.綜上所述：.（3）設.為理想數(shù)集.，且，使得.對于，同樣有.下先證對元理想數(shù)集，有.不妨設集合中的元素滿足.即.為理想數(shù)集，，且，使得.當時，，當且僅當且時，等號成立；當時，，當且僅當且時，等號成立；當時，.當且僅當時，等號成立...當且僅當時，等號成立..理數(shù).當且僅當或時，等號成立.理數(shù)的最小值為.【點睛】關鍵點點睛：關鍵是通過分類討論證明，對元理想數(shù)集，有，由此即可順利得解.8．（2024·廣東·模擬預測）設X，Y為任意集合，映射．定義：對任意，若，則，此時的為單射．(1)試在上給出一個非單射的映射；(2)證明：是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合與映射，若對任意，有，則；(3)證明：是單射的充分必要條件是：存在映射，使對任意，有．【答案】(1)（答案不唯一）(2)證明過程見解析(3)證明過程見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）結合單射的定義舉出符合條件的例子即可；（2）結合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可；（3）結合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可.【詳解】（1）由題意不妨設，當（非0）互為相反數(shù)時，滿足題意；（2）一方面若是單射，且，則，即（否則若，有，矛盾），另一方面，若對任意，由可以得到，我們用反證法證明是單射，【優(yōu)尖升-分析】（1）若等于同一常數(shù)，則構成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列下標和性質(zhì)得到，推出矛盾即可得解；（2）依題意時，即當時，，則，，即可求出，，，，中有個，個，從而得解；（3）由方差公式得到（為方差），從而得到當方差取最小值時取最小值，從而推出是密集，即可求出的最小值.【詳解】（1）若等于同一常數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得構成等差數(shù)列，所以，解得，與矛盾，所以不存在一組解，使得等于同一常數(shù)；（2）因為，依題意時，即當時，，所以，，設有個，則有個，由，解得，所以，，，，中有個，個，所以方程①的解共有組.（3）因為平均數(shù)，又方差，即，所以，因為為常數(shù)，所以當方差取最小值時取最小值，又當時，即，方程無正整數(shù)解，故舍去；當時，即是密集時，取得最小值，且.【點睛】關