串講03 第3章 不等式（考點(diǎn)串講）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（蘇教版2019必修第一冊）

蘇教版(2019)必修第一冊

數(shù)學(xué)

期中考點(diǎn)大串講串講

03第3章不等式考場練兵典例剖析010203目

錄考點(diǎn)透視01考點(diǎn)透視考點(diǎn)1.不等關(guān)系與不等式知識(shí)點(diǎn)用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子叫做不等式．[點(diǎn)撥]

不等式中文字語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于或等于，至少，不少于，不低于小于或等于，至多，不多于，不超過符號(hào)語言><≥≤考點(diǎn)2.實(shí)數(shù)大小比較的基本事實(shí),重要不等式知識(shí)點(diǎn)(1)a>b?___________．(2)a＝b?a－b_______0.(3)_______?a－b<0.知識(shí)點(diǎn)一般地，?a，b∈R，有a2＋b2_____2ab，當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)，等號(hào)成立．a(chǎn)－b>0＝a<b[點(diǎn)撥]

要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大?。輆＝b考點(diǎn)3.等式與不等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)a＝b?___________a>b?___________a＝b，b＝c?___________a>b，b>c?___________a＝b?a±c＝b±ca>b?___________________a＝b?ac＝bca>b，c>0?___________；a>b，c<0?___________a＝b，c≠0?______________a>b，c>d?__________________—a>b>0，c>d>0?___________—a>b>0?_____________________________b＝ab<aa＝c知識(shí)點(diǎn)a>ca＋c>b＋cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bdan>bn(n∈N，n≥2)考點(diǎn)4.基本不等式知識(shí)點(diǎn)一如果a>0，b>0，則_____________，當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，等號(hào)成立．通常稱這個(gè)不等式為基本不等式．其中，_________叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，________叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)________它們的幾何平均數(shù)．a(chǎn)＝b不小于考點(diǎn)5.基本不等式與最大(小)值知識(shí)點(diǎn)

當(dāng)x，y均為正數(shù)時(shí)，下面的命題均成立：(1)若x＋y＝S(S為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)，xy取得最_____值_________.(簡記：和定積有最大值)(2)若xy＝P(P為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)，x＋y取得最______值______.(簡記：積定和有最小值)x＝y(tǒng)大x＝y(tǒng)小考點(diǎn)6.利用基本不等式證明不等式,利用基本不等式解決實(shí)際問題的一般步驟知識(shí)點(diǎn)利用基本不等式證明不等式時(shí)，要先觀察題中要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，若不能直接使用基本不等式證明，則考慮對代數(shù)式進(jìn)行拆、并、配等變形，使之達(dá)到能使用基本不等式的形式．知識(shí)點(diǎn)(1)讀懂題意，設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系式；(2)把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在題目要求的范圍內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案．考點(diǎn)7.一元二次不等式的概念,二次函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一般地，我們把只含有________未知數(shù)，并且未知數(shù)的_____________的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.知識(shí)點(diǎn)一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的_______．[提醒]

零點(diǎn)不是點(diǎn)，是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．一個(gè)最高次數(shù)是2零點(diǎn)考點(diǎn)8.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系考點(diǎn)8.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系{x|x<x1，或x>x2}R{x|x1<x<x2}??考點(diǎn)9.簡單的分式不等式的解法（ax+b)(cx+d)>0(<0)(ax+b)(cx+d)≥0(≤0)考點(diǎn)10.一元二次不等式恒成立問題知識(shí)點(diǎn)(1)在R上的恒成立問題ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?___________________；

ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立?___________________；

ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立?___________________；考點(diǎn)10.一元二次不等式恒成立問題

ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立?____________．(2)在給定范圍內(nèi)的恒成立問題①當(dāng)a>0時(shí)，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時(shí)的函數(shù)值同時(shí)小于0.②當(dāng)a<0時(shí)，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時(shí)的函數(shù)值同時(shí)大于0.02典例透析考點(diǎn)1.用不等式(組)表示不等關(guān)系解析【例題1】某汽車公司因發(fā)展需要，需購進(jìn)一批汽車，計(jì)劃使用不超過1000萬元的資金購買單價(jià)分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車，根據(jù)需要，A型汽車至少買5輛，B型汽車至少買6輛，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式(組)．考點(diǎn)2.作差法比較大小解：∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∴當(dāng)a＝b時(shí)，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；當(dāng)a≠b時(shí)，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.解【例題2】已知a>0，b>0，試?yán)米鞑罘ū容^a3＋b3與a2b＋ab2的大?。键c(diǎn)3.比較大小在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例題3】甲、乙兩家飯館的老板一同去超市購買兩次大米，這兩次大米的價(jià)格不同，兩家飯館老板購買的方式也不同，其中甲飯館的老板每次購進(jìn)100千克大米，而乙飯館的老板每次用去100元錢．問：誰的購買方式更合算？解考點(diǎn)4.利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假解考點(diǎn)4.利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假解考點(diǎn)5.利用不等式的性質(zhì)證明不等式證明考點(diǎn)6.利用不等式的性質(zhì)求取值范圍解【例題6】已知－1<a＋b<5，－4<a－b<2，求2a－4b的取值范圍．考點(diǎn)7.對基本不等式的理解答案解析解析：③中當(dāng)x，y異號(hào)時(shí)，不成立．①②考點(diǎn)8.利用基本不等式比較大小答案解析a＋b考點(diǎn)9.配湊法求最值答案解析1考點(diǎn)10.常數(shù)代換法求最值解考點(diǎn)11.利用基本不等式證明不等式

證明考點(diǎn)12.基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用考點(diǎn)12.基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用解考點(diǎn)13.基本不等式的綜合問題答案解析2考點(diǎn)14.一元二次不等式的解法【例題14】求下列一元二次不等式的解集：(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.解考點(diǎn)14.一元二次不等式的解法解考點(diǎn)15.含參數(shù)的一元二次不等式的解法解：原不等式可化為(x－a)(x－a2)>0.方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的兩根為x1＝a，x2＝a2.由a2－a＝a(a－1)可知，①當(dāng)a<0或a>1時(shí)，a2>a，解原不等式得x>a2或x<a；解【例題15】解關(guān)于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.考點(diǎn)15.含參數(shù)的一元二次不等式的解法解②當(dāng)0<a<1時(shí)，a2<a，解原不等式得x>a或x<a2；③當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式為x2>0，∴x≠0；④當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式為(x－1)2>0，∴x≠1.綜上可知，當(dāng)a<0或a>1時(shí)，原不等式的解集為{x|x<a，或x>a2}；當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集為{x|x<a2，或x>a}；當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x|x≠0}；當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為{x|x≠1}．考點(diǎn)16.三個(gè)“二次”之間的關(guān)系解考點(diǎn)16.三個(gè)“二次”之間的關(guān)系解考點(diǎn)17.簡單分式不等式的解法解考點(diǎn)17.簡單分式不等式的解法解考點(diǎn)18.不等式恒成立問題解【例題18】已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若對任意的實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求m的取值范圍．考點(diǎn)18.不等式恒成立問題解(2)若不等式x2＋mx>4x＋m－3對滿足1≤m≤4的所有數(shù)m恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．考點(diǎn)18.不等式恒成立問題解考點(diǎn)19.一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用解【例題19】國家原計(jì)劃以2400元/噸的價(jià)格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m噸．按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個(gè)百分點(diǎn)，即8%)．為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，制定積極的收購政策，根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低x個(gè)百分點(diǎn)，收購量能增加2x個(gè)百分點(diǎn)．試確定x的取值范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%.考點(diǎn)19.一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用解03考場練兵答案解析解析：當(dāng)導(dǎo)火索的長度為x厘米時(shí)，燃燒的時(shí)間為2x秒，人跑開的距離為4×2x米，為了保證安全，有4×2x>100.答案解析3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，則下列不等式恒成立的是(

)A．a(chǎn)b>bc B．a(chǎn)c>bcC．a(chǎn)b>ac D．a(chǎn)|b|>|b|c解析：因?yàn)閍>b>c，且a＋b＋c＝0，所以3a>a＋b＋c＝0，3c<a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.答案解析4．(2024·山西臨汾同盛實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考)若a，b∈R，則“a<b”是“a3－a2b<0”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)a<b時(shí)，取a＝0，則a3－a2b＝0，即充分性不成立；當(dāng)a3－a2b<0時(shí)