江西省吉安市2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學

吉安市高一下學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題（測試時間：120分鐘卷面總分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知平面向量，，滿足，則（）A2 B.4 C.17 D.342.已知，則的虛部為（）A. B. C.1 D.3.在中，，，則（）A. B.C. D.4.已知某種零食的塑料外殼形似圓臺狀，經(jīng)測量該圓臺的上、下底面圓半徑分別為2cm和4cm，母線長為6cm，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.5.如圖，由斜二測畫法得到，若，，則原平面圖形的面積為（）A B. C. D.6.已知，且，則（）A. B. C. D.7.已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個月其性能指數(shù)都要損失10%，且一般認為當該種類型的電池的性能指數(shù)降低到原來的以下時就需要更換其中的硫酸來達到持久續(xù)航，則最多使用（）個月就需要更換純硫酸（參考數(shù)據(jù)，）A.11 B.12 C.13 D.148.設(shè)Q是線段的中點，P是直線外一點．A，B為線段上的兩點，且，，．則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，，那么的終邊可能位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知三條不同直線和兩個不同的平面，，則下列命題為真命題的有（）A.若，，則與相交B.若，，，．則C.若，，則m，n平行或相交或異面D.若，，則11.設(shè)，函數(shù)，，則（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)為偶函數(shù)C.時，在區(qū)間上無對稱軸D.時，在區(qū)間上單調(diào)遞減三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的最小正周期為______．13.已知，，．則______．14.在正六棱錐中，底面中心為，，．若平行于底面的平面與正六棱錐的交點分別為，，，，，，構(gòu)造一個上底面為正六邊形，下底面在平面里的正六棱柱，則該正六棱柱的外接球體積的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)，．（1）若，求的值；（2）z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點能否位于直線上，若能，求此時的值；若不能，請說明理由．16.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為，，，證明：.17.在平行四邊形中，，，和交于點P．（1）若，求x的值；（2）求的值．18.如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，，點D在上，，平面．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．19.已知函數(shù)的一個對稱中心為．函數(shù)．（1）當時，求的值域；（2）若，使恒成立，求實數(shù)a取值范圍．吉安市高一下學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題（測試時間：120分鐘卷面總分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知平面向量，，滿足，則（）A.2 B.4 C.17 D.34【答案】D【解析】【分析】利用平面向量垂直的坐標表示即可求解.【詳解】由題意，因為，所以，可得，解得．故選：D.2.已知，則虛部為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)，再求其共軛復(fù)數(shù)即得.【詳解】由，∴,即的虛部為．故選：D3.在中，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量線性運算的運算法則求解即可.【詳解】由題意知，，所以.故選：B.4.已知某種零食的塑料外殼形似圓臺狀，經(jīng)測量該圓臺的上、下底面圓半徑分別為2cm和4cm，母線長為6cm，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理求出圓臺的高，再利用圓臺的體積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓臺的高為h，因此圓臺的高，∴圓臺的體積．故選：A.5.如圖，由斜二測畫法得到，若，，則原平面圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點作軸，交軸于點，利用正弦定理求出，即可求出平面圖形的高，再由余弦定理求出，即可得解.【詳解】如圖，過點作軸，交軸于點，在中，，，，由正弦定理得，解得，由斜二測畫法規(guī)則可知原平面圖形的高為，∵，，則，∴，故原平面圖形的面積為．故選：C6.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先應(yīng)用二倍角正弦和余弦化簡求值，再結(jié)合正切二倍角公式計算即可.【詳解】由題意可得，故，即，又，故（負值舍去）．故選：D.7.已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個月其性能指數(shù)都要損失10%，且一般認為當該種類型的電池的性能指數(shù)降低到原來的以下時就需要更換其中的硫酸來達到持久續(xù)航，則最多使用（）個月就需要更換純硫酸（參考數(shù)據(jù)，）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】【分析】依題意建立通過月后性能指數(shù)y與之間的函數(shù)關(guān)系式，得到不等式，通過兩邊取對數(shù)，整理化簡即得.【詳解】設(shè)最初該種電池的性能指數(shù)為k，通過月后性能指數(shù)變?yōu)?，則．由題意得，即，兩邊取常用對數(shù)，可得．∵，∴．又，故最多使用13個月就需要更換純硫酸．故選：C.8.設(shè)Q是線段的中點，P是直線外一點．A，B為線段上的兩點，且，，．則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的分解化簡數(shù)量積等式，聯(lián)立后求得，，設(shè)出，由化簡得到關(guān)于的方程，求解即得.【詳解】如圖，因Q是線段的中點，則則，①同理可得，②聯(lián)立①②得，．設(shè)，易得，（依題應(yīng)舍去）．故得．故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于結(jié)合圖形將題設(shè)中的向量進行分解，通過聯(lián)立向量方程，求出相關(guān)量，再運用相關(guān)量求出參數(shù)即得.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，，那么的終邊可能位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】ABC【解析】【分析】利用給定條件解出的范圍，再分類討論求解即可.【詳解】由題意可得，，則，，當時，此時的終邊落在第一象限，故A正確；當時，此時的終邊落在第二象限，故B正確；當時，此時的終邊落在第三象限，故C正確．故選：ABC10.已知三條不同的直線和兩個不同的平面，，則下列命題為真命題的有（）A.若，，則與相交B.若，，，．則C.若，，則m，n平行或相交或異面D.若，，則【答案】CD【解析】【分析】由平行傳遞性判斷A，舉反例判斷B，分類討論情況判斷C，利用面面垂直判定定理判斷D即可.【詳解】對于A，根據(jù)平行傳遞性可知，若，，則，故A錯誤；對于B，若，，，，則或，相交，故B錯誤；對于C，若，，則可能出現(xiàn)，或，或相交但不垂直，或異面但不垂直，故C正確；對于D，根據(jù)面面垂直判定定理可知，若，，則，故D正確．故選：CD11.設(shè)，函數(shù)，，則（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)為偶函數(shù)C.時，在區(qū)間上無對稱軸D.時，在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】【分析】對于A,B兩項，先寫出相應(yīng)的函數(shù)式，再利用函數(shù)的奇偶性判斷即得；對于C，由推理得到，再根據(jù)正弦函數(shù)在上的對稱軸情況判斷即得；對于D，由推理得到，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即得.【詳解】對于A，，則，故函數(shù)為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，，則，故函數(shù)為偶函數(shù)，故B正確；對于C，當，時，，∴，，∴，∵在區(qū)間上無對稱軸，故在區(qū)間上無對稱軸，故C正確；對于D，若，當時，．∴，∴．∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知時，單調(diào)遞增，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確．故選：BCD.【點睛】方法點睛:本題主要考查正弦型函數(shù)和余弦型函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于難題.求解此類題的一般方法是將內(nèi)部函數(shù)看成整體角，先求出其范圍，再利用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的圖象進行觀察、分析判斷.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的最小正周期為______．【答案】4【解析】【分析】由正切函數(shù)最小正周期的求法直接求解即可.【詳解】設(shè)的最小正周期為，而.故答案為：413.已知，，．則______．【答案】4【解析】【分析】利用給定條件結(jié)合向量數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】由題意知，，∴，即，由，解得．故答案為：414.在正六棱錐中，底面中心為，，．若平行于底面的平面與正六棱錐的交點分別為，，，，，，構(gòu)造一個上底面為正六邊形，下底面在平面里的正六棱柱，則該正六棱柱的外接球體積的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，然后利用正六棱柱的特征和題目所給條件求出的值，設(shè)為，即為六棱柱外接球的半徑，在中，根據(jù)勾股定理即可得半徑關(guān)于的函數(shù)，再根據(jù)一元二次函數(shù)的最值即可求出半徑的最小值，最后利用球的體積公式即可求解.【詳解】如圖，依題意畫出示意圖，設(shè)正六棱柱為，其中上底面的中心為，球心為，下底面的中心為．因為，，所以在中，，所以，設(shè)，，因為，所以，所以，設(shè)正六棱柱的外接球半徑為，在中，，所以，當且僅當時取得最小值為，此時球O的半徑，所以球O體積.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了棱柱的外接球，解題的關(guān)鍵是，設(shè)，通過勾股定理得外接球半徑關(guān)于的函數(shù)，再根據(jù)一元二次函數(shù)求最值.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)，．（1）若，求的值；（2）z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點能否位于直線上，若能，求此時的值；若不能，請說明理由．【答案】（1）3（2）能，【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)是實數(shù)得到方程求解參數(shù)再計算模即可；（2）化簡求出復(fù)數(shù)對應(yīng)點再根據(jù)點在線上計算即可【小問1詳解】∵，∴，且，解得（舍去）或，此時，故．【小問2詳解】z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，若該點位于直線上，則，解得，故能在直線上，此時．16.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為，，，證明：.【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)余弦定理代入等式左邊，化簡得，再用正弦定理邊化角得，然后將分子的根據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和與差的正弦公式變形化簡可得等式右邊.【詳解】因為.所以.【點睛】本題考查了余弦定理、正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦公式，屬于中檔題.17.在平行四邊形中，，，和交于點P．（1）若，求x的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）以為基底表示出，再利用求解即可；（2）由（1）得出和，再利用三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】依題意可得，又，，所以，解得．【小問2詳解】由（1）可得，則，即．因為，即，所以，即，所以，所以．18.如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，，點D在上，，平面．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點E，連接，，由已知可得，，則平面，則，又平面，可得，則得平面；（2）設(shè)，取中點M和中點N，連接，由已知可得為二面角的平面角，又得，得，同理可得，則，由平面，得，得，則，，得，，，則，故，在中，利用余弦定理即可求得.【小問1詳解】∵平面，又平面，∴，取的中點E，連接，，因為是等邊三角形，所以，又，故，，又，平面，∴平面，又平面，∴，又，、平面，∴平面．【小問2詳解】設(shè)，取中點M和中點N，連接，則，,∵平面，∴，即，故為二面角的平面角，∵平面，平面，∴，又，，所以，，∴，∴，同理可得，∴，∵平面，又平面，∴，∴，則，，故，，，則，