2025屆太原市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2025屆太原市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓與圓，則圓M與圓N的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交C.外切 D.外離2．如圖所示，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C.若，且，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.3．若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．甲、乙兩名同學(xué)同時從教室出發(fā)去體育館打球（路程相等），甲一半時間步行，一半時間跑步；乙一半路程步行，一半路程跑步.如果兩人步行速度、跑步速度均相等，則（）A.甲先到體育館 B.乙先到體育館C.兩人同時到體育館 D.不確定誰先到體育館5．已知點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡為（）A橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.圓6．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則其前項(xiàng)和取得最大值時，的值為（）A.12 B.13C.12或13 D.13或147．已知，是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.19．已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.10．函數(shù)在處的切線方程為()A. B.C. D.11．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A. B.C. D.12．（2017新課標(biāo)全國Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)解析式，則使得成立的的取值范圍是___________.14．雙曲線離心率__________.15．已知等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比q為正整數(shù)，若，，且是正整數(shù)，則______16．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是拋物線上的兩點(diǎn)，且滿足，則______；若OM垂直AB于點(diǎn)M，且為定值，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校高二年級全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測試，學(xué)校利用簡單隨機(jī)抽樣的方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.18．（12分）茶樹根據(jù)其茶葉產(chǎn)量可分為優(yōu)質(zhì)茶樹和非優(yōu)質(zhì)茶樹，某茶葉種植研究小組選取了甲，乙兩塊試驗(yàn)田來檢驗(yàn)?zāi)撤N茶樹在不同的環(huán)境條件下的生長情況．研究人員將100株該種茶樹幼苗在甲，乙兩塊試驗(yàn)田中進(jìn)行種植，成熟后統(tǒng)計(jì)每株茶樹的茶葉產(chǎn)量，將所得數(shù)據(jù)整理如下表所示：優(yōu)質(zhì)茶樹非優(yōu)質(zhì)茶樹甲試驗(yàn)田a25乙試驗(yàn)田10b已知甲試驗(yàn)田優(yōu)質(zhì)茶樹的比例為50%（1）求表中a，b的值；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，是否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩塊試驗(yàn)田的環(huán)境差異對茶樹的生長有影響？附：，其中．0.100.050.01k2.7063.8416.63519．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求拋物線的方程；(2)求的面積.20．（12分）為了解某校今年高一年級女生的身體素質(zhì)狀況，從該校高一年級女生中抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行“擲鉛球”的項(xiàng)目測試，成績低于5米為不合格，成績在5至7米（含5米不含7米）的為及格，成績在7米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學(xué)生的成績在9米到11米之間(1)求實(shí)數(shù)的值及參加“擲鉛球”項(xiàng)目測試的人數(shù)；(2)若從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生再進(jìn)行其它項(xiàng)目的測試，求所抽取的2名學(xué)生自不同組的概率21．（12分）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求.22．（10分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，計(jì)算圓心距，和兩圓半徑的和差比較，可得答案,【詳解】圓,即，圓心，圓，即，圓心，則故有，所以兩圓是相交的關(guān)系，故選：B2、A【解析】分別過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，,設(shè)，推出；根據(jù)，進(jìn)而推導(dǎo)出，結(jié)合拋物線定義求出；最后由相似比推導(dǎo)出，即可求出拋物線的方程.【詳解】如圖分別過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，,設(shè)與交于點(diǎn).設(shè)，,，由拋物線定義得：，故在直角三角形中，，，，，，，∥，，，即，，所以拋物線的方程為.故選：A3、A【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上大于等于0恒成立，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題意得：在區(qū)間上恒成立，而，所以.故選：A4、A【解析】設(shè)出總路程與步行速度、跑步速度，表示出兩人所花時間后比較不等式大小【詳解】設(shè)總路程為，步行速度，跑步速度對于甲：，得對于乙：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而，故，乙花時間多，甲先到體育館故選：A5、A【解析】根據(jù)橢圓的定義即可求解.【詳解】解：，故，又，根據(jù)橢圓的定義可知：P的軌跡為橢圓.故選：A.6、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，根據(jù)，，成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)求得公差，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，因?yàn)?，且，，成等比?shù)列，所以，解得，所以，所以當(dāng)12或13時，取得最大值，故選：C7、C【解析】當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，根據(jù)棱長與球半徑關(guān)系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當(dāng)平面時，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問題，本題的關(guān)鍵是判斷當(dāng)平面時，三棱錐體積最大.8、B【解析】計(jì)算后，根據(jù)判斷框直接判斷即可得解.【詳解】輸入，計(jì)算，判斷為否，計(jì)算，輸出.故選：B.9、B【解析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線漸近線斜率為±可求a，b關(guān)系，再結(jié)合a，b，c關(guān)系即可求解﹒【詳解】∵雙曲線1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0平行，∴，∴b＝2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，∴雙曲線的方程為故選：B10、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程﹒【詳解】，，，，在處的切線為：，即﹒故選：C﹒11、A【解析】兩直線垂直，斜率之積為，曲線與直線相切，聯(lián)立方程令.【詳解】法一：直線，所以，所以切線的，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程，所以，令，解得，所以切線方程為.法二：直線，所以，所以切線的，，所以令，所以，帶入曲線方程得切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為，化簡得.故選：A.12、B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再利用的導(dǎo)函數(shù)判斷在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性得上單調(diào)遞減.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【詳解】，，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減.要使成立，即.故答案為：.14、【解析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.【詳解】由已知，可得，所以，所以.故答案為：15、【解析】由已知等差、等比數(shù)列以及，，是正整數(shù)，可得，結(jié)合q為正整數(shù)，進(jìn)而求.【詳解】由，，令，其中m為正整數(shù)，有，又為正整數(shù)，所以當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得不是正整數(shù)，故答案為：16、①.-24②.【解析】由拋物線的方程及數(shù)量積的運(yùn)算可求出，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可求出，由圓的定義求出圓心即可.【詳解】由，即解得或（舍去）.設(shè)直線AB的方程為.由，消去x并整理得,.又，，直線AB恒過定點(diǎn)N(6,0),OM垂直AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M在以O(shè)N為直徑圓上.|MQ|為定值，點(diǎn)Q為該圓的圓心，又即Q(3,0).故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學(xué)共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的計(jì)算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為18、（1）；（2）有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩塊試驗(yàn)田的環(huán)境差異對茶樹的生長有影響【解析】（1）根據(jù)即可求出，從而可得到；（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想求出的觀測值，與6.635比較，即可判斷【小問1詳解】甲試驗(yàn)田優(yōu)質(zhì)茶樹比例為50%，即，解得【小問2詳解】，因?yàn)?，故?9%的把握認(rèn)為甲、乙兩塊試驗(yàn)田的環(huán)境差異對茶樹的生長有影響19、（1）；（2）【解析】（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），運(yùn)用拋物線的定義，可得23，解得p＝2，進(jìn)而得到拋物線的方程；（2）由題意，直線AB方程為y＝x﹣1，與y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，算出|AB|；利用點(diǎn)到直線的距離公式算出點(diǎn)O到直線AB的距離，即可求出△AOB的面積【詳解】（1）拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過一點(diǎn)P（2，m），可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），P（2，m）到焦點(diǎn)的距離為3，即有P到準(zhǔn)線的距離為6，即23，解得p＝2，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x；（2）聯(lián)立方程化簡，得x2﹣6x+1＝0設(shè)交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2＝6，x1x2＝1可得|AB||x1﹣x2|＝8點(diǎn)O到直線l的距離d，所以△AOB的面積為S|AB|?d82【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程的求法及拋物線定義的應(yīng)用，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，考查求焦點(diǎn)弦AB與原點(diǎn)構(gòu)成的△AOB面積，屬于中檔題20、（1）0.05，40；（2）【解析】（1）因?yàn)橛深l率分布直方圖可得共五組的頻率和為1所以可得一個關(guān)于的等式，即可求出的值.再根據(jù)已知有4名學(xué)生的成績在9米到11米之間，可以求出本次參加“擲鉛球”項(xiàng)目測試的人數(shù).本小題要根據(jù)所給的圖表及直方圖作答，頻率的計(jì)算易漏乘以組距.（2）因?yàn)槿舸舜螠y試成績最好的共有4名同學(xué).成績最差的共有2名同學(xué).所以從6名同學(xué)中抽取2名同學(xué)共有15中情況，其中兩人在同組情況由8中.所以可以計(jì)算出所求的概率.試題解析：（Ⅰ）由題意可知解得所以此次測試總?cè)藬?shù)為答：此次參加“擲鉛球”的項(xiàng)目測試的人數(shù)為40人(Ⅱ)設(shè)從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生自不同組的事件為A：由已知，測試成績在有2人，記為；在有4人，記為.從這6人中隨機(jī)抽取2人有，共15種情況事件A包括共8種情況.所以答：隨機(jī)抽取的2名學(xué)生自不同組的概率為考點(diǎn)：1.頻率分布直方圖.2.概率問題.3.列舉分類的思想.21、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，結(jié)合“裂項(xiàng)法”即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，若成等比?shù)列，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)于數(shù)列的裂項(xiàng)法求和的基本策略：1、基本步驟：裂