2025屆陜西省重點(diǎn)初中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆陜西省重點(diǎn)初中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),,則()A. B.C. D.2.設(shè),其中a,b是實(shí)數(shù),則()A.1 B.2 C. D.3.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.4.已知F是雙曲線(k為常數(shù))的一個焦點(diǎn),則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為()A.2k B.4k C.4 D.25.我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”(注:如果一個大于的整數(shù)除了和自身外無其他正因數(shù),則稱這個整數(shù)為素數(shù)),在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù)、,則的概率是()A. B. C. D.6.已知實(shí)數(shù),則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.7.設(shè),,則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,是的共軛復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)()A. B. C.4 D.59.已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)為C的焦點(diǎn),若|FA|=2|FB|,則|FA|=()A.1 B.2 C.3 D.410.已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn),則函數(shù)圖象以點(diǎn)為對稱中心的充要條件是()A. B.C. D.11.已知函數(shù)(),若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn),則的值為()A.1 B.或0 C.1或0 D.2或012.在正方體中,E是棱的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn),且與平面的垂線垂直,如圖所示,下列說法不正確的是()A.點(diǎn)F的軌跡是一條線段 B.與BE是異面直線C.與不可能平行 D.三棱錐的體積為定值二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足:點(diǎn)在直線上,若使、、構(gòu)成等比數(shù)列,則______14.六位同學(xué)坐在一排,現(xiàn)讓六位同學(xué)重新坐,恰有兩位同學(xué)坐自己原來的位置,則不同的坐法有________種(用數(shù)字回答).15.已知拋物線的焦點(diǎn)為,其準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn),過的直線與拋物線交于兩點(diǎn),若,則直線的斜率________.16.某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生.若從中隨機(jī)選出名同學(xué)代表該小組參加知識競賽,則選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓,過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且與軸相交于點(diǎn).(1)若,求直線的方程;(2)設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,證明:直線過軸上的定點(diǎn).18.(12分)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別是,,離心率為,左、右頂點(diǎn)分別為,.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、(不與點(diǎn)、重合),直線與直線相交于點(diǎn),求證:、、三點(diǎn)共線.19.(12分)已知動圓經(jīng)過點(diǎn),且動圓被軸截得的弦長為,記圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,,為圓與曲線的公共點(diǎn),若直線的斜率,且,求的值.20.(12分)已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,求證:函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn).21.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).(Ⅰ)棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面?若存在,寫出的長并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.(Ⅱ)求二面角的余弦值.22.(10分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長的最小值;(2)設(shè)為的中點(diǎn),且,的平分線交于點(diǎn),求線段的長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解:因?yàn)?,,則,且,所以,,又,即,則,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式,屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算,考驗(yàn)計算,屬基礎(chǔ)題.3、D【解析】

運(yùn)用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當(dāng)時,的最小值,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.4、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式,進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時,等式不是雙曲線的方程;當(dāng)時,,可化為,可得虛半軸長,所以點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

先列舉出不超過的素數(shù),并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù)、,滿足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過的素數(shù)有:、、、、、,在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù),所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、,共種情況,其中,事件“在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù)、,且”包含的基本事件有:、、、,共種情況,因此,所求事件的概率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計算,一般利用列舉法列舉出基本事件,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù),利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【詳解】解:∵,∴,,.∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若,,則,可得;若,可得,無法得到,所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的定義,判斷充要條件的方法是:①若為真命題且為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若為假命題且為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若為真命題且為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若為假命題且為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.8、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則先求出復(fù)數(shù)z,再計算它的模長.【詳解】解:復(fù)數(shù)z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計算問題,要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)長度的計算公式,是基礎(chǔ)題.9、C【解析】

方法一:設(shè),利用拋物線的定義判斷出是的中點(diǎn),結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)的橫坐標(biāo),根據(jù)拋物線的定義求得,進(jìn)而求得.方法二:設(shè)出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),由拋物線的定義,結(jié)合求得的關(guān)系式,聯(lián)立直線的方程和拋物線方程,寫出韋達(dá)定理,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】方法一:由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為,直線恒過定點(diǎn),過分別作于,于,連接,由,則,所以點(diǎn)為的中點(diǎn),又點(diǎn)是的中點(diǎn),則,所以,又所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,所以.方法二:拋物線的準(zhǔn)線方程為,直線由題意設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為,則由拋物線定義得又①②由①②得.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.10、A【解析】

由題可得出的坐標(biāo)為,再利用點(diǎn)對稱的性質(zhì),即可求出和.【詳解】根據(jù)題意,,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,又,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題和函數(shù)對稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時,只需,即,令,利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,即可求出參數(shù)的值,當(dāng)時,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可判斷;【詳解】解:∵(),∴,∴當(dāng)時,由得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以是極小值,∴只需,即.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵,∴;當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,∵,,函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn),∴的值是1或0.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題,零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于中檔題.12、C【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義,體積公式分別進(jìn)行判斷.【詳解】對于,設(shè)平面與直線交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面內(nèi)的相交直線平面平面,由此結(jié)合平面,可得直線平面,即點(diǎn)是線段上上的動點(diǎn).正確.對于,平面平面,和平面相交,與是異面直線,正確.對于,由知,平面平面,與不可能平行,錯誤.對于,因?yàn)?,則到平面的距離是定值,三棱錐的體積為定值,所以正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、13【解析】

根據(jù)點(diǎn)在直線上可求得,由等比中項(xiàng)的定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】在上,,成等比數(shù)列,,即,解得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三項(xiàng)成等比數(shù)列求解參數(shù)值的問題,涉及到等比中項(xiàng)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、135【解析】

根據(jù)題意先確定2個人位置不變,共有種選擇,再確定4個人坐4個位置,但是不能坐原來的位置,計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意先確定2個人位置不變,共有種選擇.再確定4個人坐4個位置,但是不能坐原來的位置,共有種選擇,故不同的坐法有.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法原理,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.15、【解析】

求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo),由,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算得,直線方程為,代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得,,從而可求得,得斜率.【詳解】由得,即聯(lián)立得解得或,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交,考查向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元,應(yīng)用韋達(dá)定理是解決直線與拋物線相交問題的常用方法.16、【解析】

從7人中選出2人則總數(shù)有,符合條件數(shù)有,后者除以前者即得結(jié)果【詳解】從7人中隨機(jī)選出2人的總數(shù)有,則記選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為事件,∴故答案為:【點(diǎn)睛】組合數(shù)與概率的基本運(yùn)用,熟悉組合數(shù)公式三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)或;(2)見解析【解析】

(1)由已知條件利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程,則可表示出點(diǎn)的坐標(biāo),再由的關(guān)系表示出點(diǎn)的坐標(biāo),而點(diǎn)在橢圓上,將其坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出直線的斜率;(2)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),則點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示出,然后直線的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程,消元后得到關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系,再結(jié)合直線的方程,化簡可得結(jié)果.【詳解】(1)由條件可知直線的斜率存在,則可設(shè)直線的方程為,則,由,有,所以,由在橢圓上,則,解得,此時在橢圓內(nèi)部,所以滿足直線與橢圓相交,故所求直線方程為或.(也可聯(lián)立直線與橢圓方程,由驗(yàn)證)(2)設(shè),則,直線的方程為.由得,由,解得,,當(dāng)時,,故直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】此題考查的是直線與橢圓的位置關(guān)系中的過定點(diǎn)問題,計算過程較復(fù)雜,屬于難題.18、(1);(2)見解析【解析】

(1)根據(jù)已知可得,結(jié)合離心率和關(guān)系,即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)斜率不為零,設(shè)的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,消去,得到縱坐標(biāo)關(guān)系,求出方程,令求出坐標(biāo),要證、、三點(diǎn)共線,只需證,將分子用縱坐標(biāo)表示,即可證明結(jié)論.【詳解】(1)由于,將代入橢圓方程,得,由題意知,即.又,所以,.所以橢圓的方程為.(2)解法一:依題意直線斜率不為0,設(shè)的方程為,聯(lián)立方程,消去得,由題意,得恒成立,設(shè),,所以,直線的方程為.令,得.又因?yàn)?,,則直線,的斜率分別為,,所以.上式中的分子,.所以,,三點(diǎn)共線.解法二:當(dāng)直線的斜率不存在時,由題意,得的方程為,代入橢圓的方程,得,,直線的方程為.則,,,所以,即,,三點(diǎn)共線.當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)的方程為,,,聯(lián)立方程消去,得.由題意,得恒成立,故,.直線的方程為.令,得.又因?yàn)?,,則直線,的斜率分別為,,所以.上式中的分子所以.所以,,三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系,要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系,設(shè)而不求方法解決相交弦問題,考查計算求解能力,屬于中檔題.19、見解析【解析】

(1)設(shè),則點(diǎn)到軸的距離為,因?yàn)閳A被軸截得的弦長為,所以,又,所以,化簡可得,所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),,因?yàn)橹本€的斜率,所以可設(shè)直線的方程為,由及,消去可得,所以,,所以.設(shè)線段的中點(diǎn)為,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則,,所以直線的斜率為,所以,所以,所以.易得圓心到直線的距離,由圓經(jīng)過點(diǎn),可得,所以,整理可得,解得或,所以或,又,所以.20、見解析【解析】

(1)當(dāng)時,函數(shù),其定義域?yàn)椋瑒t,設(shè),,易知函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,所以當(dāng)時,,即;當(dāng)時,,即,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在處取得極小值,為,無極大值.(2)由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?,,設(shè),,顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,,所以函數(shù)在內(nèi)有一個零點(diǎn),所以函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn);當(dāng)時,,,所以函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn),所以函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn);當(dāng)時,,,因?yàn)?,所以,,又,所以函?shù)在內(nèi)有一個零點(diǎn),所以函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn).綜上,函數(shù)有且

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