專題5.2 平面向量基本定理及坐標表示（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

專題5.2平面向量基本定理及坐標表示【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面向量基本定理的應用】 3【題型2利用平面向量基本定理求參數(shù)】 6【題型3平面向量的坐標運算】 8【題型4利用向量共線求參數(shù)】 9【題型5利用向量共線求向量或點的坐標】 11【題型6由向量線性運算的坐標表示解決最值和范圍問題】 121、平面向量基本定理及坐標表示考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解平面向量基本定理及其意義

(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標表示

(3)會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算(4)理解用坐標表示的平面向量共線的條件2022年全國乙卷（文數(shù)）：第3題，5分2022年新高考全國I卷：第3題，5分2023年天津卷：第14題，5分2024年全國甲卷（理數(shù)）：第9題，5分2024年上海卷：第5題，5分平面向量是高考的熱點內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，平面向量基本定理、平面向量的坐標運算是高考的熱點內(nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；有時也會與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等.學生在高考復習中應注意加強對向量的線性運算法則、向量共線與垂直的條件的理解，熟記平面向量的相關公式，靈活進行求解.【知識點1平面向量基本定理的探究】1．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，，使.若，不共線，我們把{，}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.(2)定理的實質(zhì)由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底{，}的條件下進行分解——平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)任意不共線的兩個向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實質(zhì).2．應用平面向量基本定理求向量的實質(zhì)應用平面向量基本定理求向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.一般將向量“放入”相關的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關系.3．用平面向量基本定理解決問題的一般思路：用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.【知識點2平面向量坐標運算及其解題策略】1．平面向量的正交分解及坐標表示(1)正交分解不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.(2)向量的坐標表示如圖，在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為，，取{，}作為基底.對于平面內(nèi)的任意一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)①.其中x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標，①叫做向量的坐標表示.

顯然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).(3)點的坐標與向量的坐標的關系區(qū)別表示形

式不同向量=(x,y)中間用等號連接，而點A(x,y)中間沒有等號.意義

不同點A(x,y)的坐標(x,y)表示點A在平面直角坐標系中的位置，=(x,y)的坐標(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應指明點(x,y)或向量(x,y).聯(lián)系向量的坐標與其終點的坐標不一定相同.當平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標與向量終點的坐標相同.2．平面向量線性運算的坐標表示(1)兩個向量和（差）的坐標表示由于向量=(,)，=(,)等價于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).

這就是說，兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差).(2)向量數(shù)乘的坐標表示由=(x,y)，可得=x+y，則=(x+y)=x+y，即=(x,y).

這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.3．共線的坐標表示(1)兩向量共線的坐標表示設=(,)，=(,)，其中≠0.我們知道，，共線的充要條件是存在實數(shù)，使=.如果用坐標表示，可寫為(,)=(,)，即，消去，得-=0.這就是說，向量，(≠0)共線的充要條件是-=0.(2)三點共線的坐標表示若A(,)，B(,)，C(,)三點共線，則有=，

???????從而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-).

由此可知，當這些條件中有一個成立時，A,B,C三點共線.4．平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標.(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.【方法技巧與總結(jié)】1．若與不共線，且，則.2．已知P為線段AB的中點，若A(,)，B(,)，則P點坐標為.3．已知△ABC的重心為G，若A(,)，B(,)，C(,)，則G.【題型1平面向量基本定理的應用】【例1】（2024·山東濰坊·二模）在△ABC中，BD=13BC，點E是AD的中點，記AB=a，AC=b，則BE=（

）A．?13a+13b B．【解題思路】根據(jù)三角形中向量對應線段的數(shù)量及位置關系，用AB、AC表示出BE即可.【解答過程】由題設BE=所以BE=?故選：B.【變式1-1】（2023·全國·模擬預測）在△ABC中，點D在邊AB上且滿足ADDB=2，E為BC的中點，直線DE交AC的延長線于點F，則BF=A．BA+2BC B．?BA+2BC 【解題思路】根據(jù)A，C，F(xiàn)三點共線及D，E，F(xiàn)三點共線，結(jié)合平面向量基本定理用BA和BC表示出BF，然后根據(jù)向量相等即可得解．【解答過程】

由題，A，C，F(xiàn)三點共線，則BF=λD，E，F(xiàn)三點共線，則BF=μ∴λ=μ31?λ=∴BF=?故選：B.【變式1-2】（2024·四川成都·一模）已知平行四邊形ABCD，若點M是邊BC的三等分點（靠近點B處），點N是邊AB的中點，直線BD與MN相交于點H，則BHBD=（A．23 B．25 C．15【解題思路】設BM=a,BN=b，設BH=λ【解答過程】

設BM=a,BN=設BH=λBD，則BH=3λa+2λ因為BH=所以3λ=1?μ2λ=μ，解得λ=所以BH=15故選：C.【變式1-3】（2023·湖南婁底·三模）2000多年前，古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點，指的是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為5?12.如圖，在矩形ABCD中，AC與BD相交于點O，BF⊥AC,DH⊥AC,AE⊥BD,CG⊥BD，且點E為線段BO的黃金分割點，則BF=

A．3?52BAC．5?12BA【解題思路】由題意得BE=5?12BO【解答過程】由題意得BE=5?12BO同理有AF=5?1所以BG=2?5因為BF=BA所以BF=故選：D.【題型2利用平面向量基本定理求參數(shù)】【例2】（2024·陜西西安·一模）在△ABC中，點D是線段AC上一點，點P是線段BD上一點，且CD=DA，AP=23A．16 B．13 C．23【解題思路】依題意可得AC=2AD，即可得到AP=【解答過程】因為CD=DA，所以AD=又AP=23因為點P是線段BD上一點，即B、P、D三點共線，所以23+2λ=1，解得故選：A.【變式2-1】（2024·陜西榆林·三模）在△ABC中，E在邊BC上，且EC=3BE,D是邊AB上任意一點，AE與CD交于點P，若CP=xCA+yCB，則A．34 B．?34 【解題思路】利用向量的線性運算，得CP=CE+【解答過程】∵A?P?則CP=又∵CP=xCA+yCB故選：C.【變式2-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，在△ABC中，AN=tNC(t>0)，BP=λPN(λ>0)，若A．7 B．6 C．5 D．4【解題思路】表達出AP，利用平面向量基本定理求出λ,t，即可求出λ+t的值.【解答過程】由題意及圖可得，∵BP=λ∴AP=∵AN=t∴AN=tt+1∵AP=∴11+λ=14，tλ(1+t)(1+λ)=1故選：C．【變式2-3】（2024·河南商丘·三模）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，且均為靠近B的四等分點，CD與AE交于點F，若BF=xAB+yAC，則A．?1 B．?34 C．?1【解題思路】由題意推出DE∥AC，可得DFFC=DEAC=14，推出DF【解答過程】連結(jié)DE，由題意可知，BDBA所以DE∥AC，則所以DFFC=DEAC=則DF=故BF=又BF=xAB+yAC，所以x=?2故選：A.【題型3平面向量的坐標運算】【例3】（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系xOy內(nèi)，已知點A?1,1,AB=1,?2A．2,?3 B．0,?1 C．?2,3 D．0,1【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標表示與運算，即可求解.【解答過程】因為點A?1,1,AB可得OB=故選：B．【變式3-1】（2024·河南·模擬預測）已知向量AB=2,?1，AC=3,2，點C?1,2A．?2,?1 B．0,5 C．2,?5 D．2,?1【解題思路】由向量坐標的線性運算求解即可.【解答過程】由題意得，CB=設點B的坐標為(x,y)，則CB=(x+1,y?2)=(?1,?3)，所以點B的坐標為(?2,?1)故選：A.【變式3-2】（2023·寧夏銀川·二模）已知向量a=2,?3，b=1,2，c=9,4，若A．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】由向量的坐標運算計算即可.【解答過程】由題意，得c=所以2m+n=9?3m+2n=4，解得m=2所以m+n=7.故選：C.【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）在菱形ABCD中，AB=BD，點E是線段CB上靠近B的三等分點，點F是線段AB上靠近B的四等分點，則DC=（

A．65AE+C．45AE+【解題思路】建立平面直角坐標系后計算即可得.【解答過程】作出圖形如圖所示.記線段AC,BD交于點O，分別以AC,BD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系.設AB=BD=2，則A?3,0故DC=3,1,AE則3=43故選：C.

【題型4利用向量共線求參數(shù)】【例4】（2024·山東菏澤·模擬預測）設向量a=1,k?12，b=2,kA．?2 B．?1 C．2 D．1【解題思路】利用向量平行得到方程，求出答案.【解答過程】a//b，故k2故選：D.【變式4-1】（2024·河北秦皇島·二模）已知向量a=m,2m+3，b=1,4m+1，則“m=?34”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解題思路】根據(jù)向量共線的坐標關系運算求出m的值，判斷得解.【解答過程】向量a=m,2m+3，若a與b共線，則m4m+1?2m+3=0.解得所以“m=?34”是“a與故選：A.【變式4-2】（2023·全國·模擬預測）已知向量a=1,?1,b=?1,2,c=A．3 B．13 C．?13【解題思路】利用平面向量的坐標運算、向量共線的充要條件計算即可.【解答過程】由題意可知，na+b因為na+b整理得n=3m，即nm故選:A．【變式4-3】（2024·江西·模擬預測）已知平面向量a=2λ2+1,λ，b=μ,1，其中λ>0A．22,+∞ B．2,+∞ C．【解題思路】根據(jù)向量平行，得到μ=2【解答過程】由題意，因為a//b，所以λμ=2λ所以μ=2λ2+1λ故選：A.【題型5利用向量共線求向量或點的坐標】【例5】（2024·河北邯鄲·三模）已知向量a=(m,2)與b=(?2,?4)共線，則3aA．(1,10) B．(5,10) C．(5,2) D．(1,2)【解題思路】根據(jù)向量共線的坐標公式建立方程，解得參數(shù)，結(jié)合向量的坐標運算，可得答案.【解答過程】因為a//b，所以(?4)×m=2×(?2)，解得所以3a故選：B.【變式5-1】（2024·四川廣安·二模）已知D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點，若DE=3,4，B?2,?3，則點CA．4,5 B．1,1 C．?5,?7 D．?8,?11【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘運算，向量坐標與終點、始點的關系可解.【解答過程】因為D，E分別為AB，AC的中點，所以BC?設Cx,y，又B?2,?3即x+2=6y+3=8，解得x=4故選：A.【變式5-2】（23-24高一下·江蘇無錫·期末）已知點A1,3，Bm?5,1，C3,m+1，若A，B，C三點共線，則ABA．?2，2 B．2，?2 C．2，【解題思路】根據(jù)向量的線性運算的坐標關系即可求解.【解答過程】由題意可知AB=m?6,?2,AC=2,m?2,由于A，B所以m?6m?2所以AB=故選：D.【變式5-3】（2024·陜西寶雞·一模）設向量a=2,?1，b=m,2，若向量a與a?A．?2,1 B．?2,?1 C．?4,2 D．?2,?4【解題思路】由向量共線的坐標運算求出m的值，再由向量線性運算的坐標表示求a+【解答過程】向量a=2,?1，b=若向量a與a?b共線，有2×?3=?2?m所以a+故選：A.【題型6\t"/gzsx/zj168403/_blank"\o"由向量線性運算解決最值和范圍問題"由向量線性運算的坐標表示解決最值和范圍問題】【例6】（23-24高一下·山東·期中）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點A為圓心的單位圓上．若AP=λAB+μAD(λ,μ∈A．3 B．5 C．52 【解題思路】構(gòu)建直角坐標系，令AP=(cosθ,sinθ)【解答過程】構(gòu)建如下直角坐標系：AB=(0,1),AD=(2,0)，令AP由AP=λAB+μ則λ+μ=sinθ+cos所以當sin(θ+φ)=1時，λ+μ的最大值為5故選：C.【變式6-1】（2024·四川雅安·一模）在直角梯形ABCD，AB⊥AD，DC//AB，AD=DC=1，AB=2，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，點P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DEM上變動（如圖所示），若A．?2,1 B．?2,2 【解題思路】結(jié)合題意建立直角坐標系，得到各點的坐標，再由AP=λED+μAF得到cosα【解答過程】結(jié)合題意建立直角坐標，如圖所示：.則A0,0，E1,0，D0,1，C1,1，則F32,12，AP∵AP=∴cosα∴cosα=?λ∴λ=14∴2λ∵?π2≤α≤∴?2≤2sinα故選：A.【變式6-2】（2023·湖北襄陽·模擬預測）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AD=DC=1，AB=2，動點P在以點C為圓心，且與直線BD相切的圓上移動，設AP=λAD+μAB(λ,μ∈R)，則λ【解題思路】建立直角坐標系，寫出點的坐標，求出BD的方程，求出圓的方程，設出Px,y，求出三個向量的坐標，用P的坐標表μ,λ，則λμ=2?yx=2?y?0【解答過程】解：以A為原點，分別以AB,AD方向為x,y軸，建立如圖所示直角坐標系：所以A0,0，B2,0，C1,1，D0,1，所以因為圓C與直線BD相切，而lBD:x+2y?2=0，圓心所以半徑r=15=55設Px,y,則AP=x,y，又AP所以x,y=2μ,λ，則x=2μ,y=λ所以λμ=2?yx=2?y?0x?0因為動點P在圓C上移動，所以直線AP:y=kx與x?12則圓心C1,1到y(tǒng)=kx的距離為解得:12≤k≤2所以1≤λμ≤4故答案為：4．【變式6-3】（23-24高三下·安徽·階段練習）已知正方形ABCD的邊長為2，中心為O，四個半圓的圓心均為正方形ABCD各邊的中點（如圖），若P在BC上，且AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為【解題思路】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，設Pcosθ,sinθ，【解答過程】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，設Pcosθ,又A?1,2則AP=∵AP=λ∴cos解得μ=cosλ+μ=2?因為θ∈π,2π所以當θ+π4=2則λ+μ的最大值為3+2故答案為：3+2一、單選題1．（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量e1、e2，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（A．2e1+e2和e1C．3e1?e2和2e【解題思路】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項，進行逐一分析即可.【解答過程】對A：不存在實數(shù)λ，使得2e故2e1+對B：不存在實數(shù)λ，使得e1故e1+3e對C：對3e1?e2且存在實數(shù)?2，使得2e故3e1?對D：不存在實數(shù)λ，使得e1=λe1+故選：C.2．（2024·陜西渭南·二模）已知向量a=t?3,?1，b=2,t，則“t=2”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)向量平行的坐標運算得到方程，求出t=1或2，從而結(jié)合充分條件、必要條件判斷出結(jié)論.【解答過程】若a∥b，則tt?3故“t=2”是“a∥故選：A.3．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊△ABC的邊長為1，點D,E分別為AB,BC的中點，若DF=3EF，則AF=A．12AB+C．12AB+【解題思路】取AC,【解答過程】在△ABC中，取AC,則AC=因為點D,E分別為AB,BC的中點，DF=3所以EF=所以AF=故選：B.4．（2024·全國·模擬預測）已知M4,?2，N?6,?4，且MP=?12A．1,1 B．9,?1 C．?2,2 D．2,?1【解題思路】由M,N的坐標得出?12MN，設點Px,y，得出【解答過程】因為M4,?2，N所以?1設Px,y，則MP又MP=?所以x?4=5y+2=1，解得x=9所以點P的坐標為9,?1．故選：B．5．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知點A，B，C，D為平面內(nèi)不同的四點，若BD=2DA?3DC，且AC=A．4,?2 B．?4,2 C．6,?3 D．?6,3【解題思路】由已知整理可得AB=3【解答過程】由BD=2DA?3DC得BD+又AC=?2,1，所以故選：D．6．（2024·陜西銅川·模擬預測）在△ABC中，點D為線段BC的中點，點E滿足CE=2EA，若AB=λAD+μA．12 B．14 C．?1【解題思路】利用平面向量基本定理根據(jù)題意將AB用AD,BE表示出來，從而可求出【解答過程】因為點D為線段BC的中點，點E滿足CE=2所以AD=12消去AC，得2AD所以AB=所以λ=12，μ=?3故選：D．7．（2024·天津·二模）已知向量a=1,1,b=2x+y,2，其中a∥b且A．2+1 B．2+2 C．4 【解題思路】根據(jù)兩個向量平行的充要條件，寫出向量的坐標之間的關系，之后得出x2【解答過程】∵a=1,1，b=2x+y,2，其中∴2x+y=2，∴x2當且僅當y=2x即∴x2+yxy故選：A.8．（2024·江蘇南通·二模）如圖，點C在半徑為2的AB上運動，∠AOB=π3若OC=mOA+nA．1 B．2 C．233 【解題思路】建立適當?shù)淖鴺讼?，設∠AOC=α，利用向量的坐標運算得到m,n與α的關系，進而得到m+n關于α的三角函數(shù)表達式，利用輔助角公式整理后，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值.【解答過程】以O為原點?OA的方向為x軸的正方向，建立平面直角坐標系，則有OA=(2,0)，OB設∠AOC=α，則OC=(2由題意可知2m+n=2所以m+n=cos因為α∈0,π3故m+n的最大值為23故選：C.二、多選題9．（2024·全國·模擬預測）已知向量a=(1,2),b=(?2,1).若(xa?A．?1 B．0 C．1 D．2【解題思路】利用向量線性運算的坐標表示，結(jié)合向量共線的坐標表示列式計算即得.【解答過程】向量a=(1,2),b=(?2,1)，則x由(xa?b)//(a所以x=?1或x=1.故選：AC.10．（2023·廣東梅州·三模）如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，CD∥AB，CD=12AB，E，F(xiàn)分別為DC，AE

A．λ=72 C．λ=74 【解題思路】根據(jù)平行向量的線性運算結(jié)合平面向量基本定理運算求解.【解答過程】因為CD∥AB，CD=1因為F為AE的中點，所以AE=2所以AD=2AB+2BF?可知：AD錯誤，BC正確.故選：BC.11．（23-24高三上·山西晉中·階段練習）如圖，正方形ABCD中，E為AB中點，M為線段AD上的動點，BM=λBE+μA．當M為線段AD上的中點時，λ+μ=B．λμ的最大值為1C．μ的取值范圍為0,1D．λ+μ的取值范圍為1【解題思路】以B為原點，BC,BA為【解答過程】以B為原點，BC,BA為x,y軸正方向建立平面直角坐標系，設則B0,0設Mt,2，則0≤t≤2因為BM=λBE+μ所以2μ=t,λ+2μ=2，即λ=2?t,μ=t對于選項A，因為M為線段AD上的中點，所以t=1，故λ+μ=2?1對于選項B，λμ=2?tt2=t?12t2，對于選項C，因為μ=t2，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范圍為對于選項D，λ+μ=2?t2，0≤t≤2，所以1≤λ+μ≤2，所以λ+μ的取值范圍為故選：ABC.三、填空題12．（2024·上?！つM預測）如圖，矩形ABCD中，E為BC中點，AE與BD交于點F，若將AB=a，AD=b作為平面向量的一個基，則向量AF可表示為1

【解題思路】先利用平行線的性質(zhì)求出AFEF【解答過程】由已知AD//BE，則AFEF所以AF=2所以AF=故答案為：1313．（2024·陜西西安·二模）向量AB=(?3,6)，AC=(m,5)，CD=(?1,4)．若?72【解題思路】根據(jù)平面向量共線的坐標表示計算即可.【解答過程】由題意易得AD=若A,B,D三點共線，則有AB//AD，所以故答案為：?714．（2024·湖南常德·一模）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得DE＝2CD．動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，AP=λAB+μAE，則【解題思路】建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担懻揚∈AB,P∈BC,P∈CD,P∈DA四種情況，即可求出λ+μ的取值范圍.【解答過程】建立如圖所示的平面直角坐標系：則B1,0,E?2,1當P∈AB時，有0≤λ?2μ≤1μ=0，即0≤λ≤1,μ=0，此時λ+μ的取值范圍為0,1當P∈BC時，有λ?2μ=10≤μ≤1，即1≤λ+μ=λ?2μ+3μ=1+3μ≤4，此時λ+μ當P∈CD時，有0≤λ?2μ≤1μ=1，即3≤λ+μ=λ?2μ+3μ=λ?2μ+3≤4當P∈DA時，有λ?2μ=00≤μ≤1，即0≤λ+μ=λ?2μ+3μ=3μ≤3，此時λ+μ綜上所述，λ+μ的取值范圍為0,4.故答案為：0,4.四、解答題15．（23-24高一下·廣西桂林·階段練習）已知A0,1，B3,2，(1)若AB?2AC=m,n，求(2)若AD=2AB+4【解題思路】（1）根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示可得AB?2（2）設Dx,y，根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示和AD=2AB+4AC建立關于【解答過程】（1）依題意得AB=3,1，則?2AC=2,?8所以m=5，n=?7．（2）由（1）知2AB=6,2，4設點D的坐標為x,y，則AD=因為AD=2AB+4AC，所以所以x=2，y=19，故點D的坐標為2,19．16．（23-24高一下·浙江