2022-2023學年高一數(shù)學：直線與圓的位置關系的實際應用

2.5.1直線與圓的位置關系的實際應用（第2課時）第2章直線和圓的方程人教A版2019選修第一冊01直線與圓的方程在實際生活中的應用02與圓有關的最值問題03過直線與圓的交點的圓系方程目錄“海上生明月,天涯共此時?！?表達了詩人望月懷人的深厚情誼。在海天交于一線的天際,一輪明月慢慢升起,先是探出半個圓圓的小腦袋,然后冉冉上升,和天際線相連,再躍出海面,越來越高,展現(xiàn)著迷人的風采.這個過程中,月亮看作一個圓,海天交線看作一條直線,月出的過程中也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關系:相交、相切和相離.情景導入1.直線與圓的方程在實際生活中的應用如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個圓的圓拱跨度????=20

m,拱高????=4

m,建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐,求支柱??2??2的高度（精確到0.01m）.ABA1A2A3A4OPP2典例1POA2P2A1AA3A4BCH思考1你能用幾何法求支柱??2??2的高度嗎？【分析】如圖,過_x001A_??_x001B_2_x001B_作_x001A_??_x001B_2_x001B_??⊥????,由已知,在直角三角形??????中,有_x001A__x001A_????_x001B__x001B_2_x001B_=_x001A__x001A_????_x001B__x001B_2_x001B_+_x001A__x001A_????_x001B__x001B_2_x001B_.設圓拱所在圓??的半徑長是??,則有_x001A_??_x001B_2_x001B_=_x001A__x001A_???4_x001B__x001B_2_x001B_+1_x001A_0_x001B_2_x001B_,解得??=14.5.我們求出_x001A_????_x001B_即可.

典例1ABA1A2A3A4OPP2xy思考2你能用代數(shù)法(坐標法)求支柱??2??2的高度嗎？思考3取1m為長度單位，如何求圓拱所在圓的方程？

思考4利用這個圓的方程可求得點??2的縱坐標是多少？問題的答案如何？

典例1解:建立如圖所示的坐標系，設圓心坐標是（0，??）,圓的半徑是??,則圓的方程是??2+(?????)2=??2

.答:支柱??2??2的長度約為3.86m.如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個圓的圓拱跨度????=20

m,拱高????=4

m,建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐,求支柱??2??2的高度（精確到0.01m）.第一步:建立坐標系，用坐標和方程表示有關的量.第二步:進行有關代數(shù)運算第三步:把代數(shù)運算結(jié)果翻譯成幾何關系.

把點??2的橫坐標??=?2

代入圓的方程,得_x001A__x001A_?2_x001B__x001B_2_x001B_+_x001A__x001A_??+10.5_x001B__x001B_2_x001B_=_x001A_14.5_x001B_2_x001B_.把??（0,4）

??（10,0）代入圓的方程得方程組_x001A__x001A_02+_x001A_4???_x001B_2=_x001A_??_x001B_2_x001B_,_x001B_102+_x001A_0???_x001B_2=_x001A_??_x001B_2_x001B_,_x001B__x001B_

典例1坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”:第二步:通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步:將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．第一步:建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担米鴺撕头匠瘫硎締栴}中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；歸納總結(jié)1.一個小島的周圍有環(huán)島暗礁,暗礁分布在以小島中心為圓心,半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40km處,港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港,那么它是否會有觸礁危險??港口xOy?輪船?解:以小島的中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，為了運算的簡便，我們?nèi)?0km為單位長度，則港口所在位置的坐標為(0,3)，輪船所在位置的坐標為(4,0).這樣，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應的圓的方程為輪船航線所在直線l的方程為聯(lián)立直線l與圓O的方程,消去y,得由△<0,可知直線l與圓O相離,所以輪船沿直線返港不會有觸礁危險.練一練2.已知臺風中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40km處，求B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間.【解】如圖，以A為原點，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系．射線AC為∠xAy的平分線，則臺風中心在射線AC上移動，點B到AC的距離為.xyCAB則射線AC被以B為圓心，以30km為半徑的圓截得的弦長為所以B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為t＝1(h).用坐標法解決幾何問題時,先用坐標和方程表示相應的幾何元素:點、直線、圓,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運算結(jié)果的幾何含義,得到幾何問題的結(jié)論.這就是用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”:第一步:建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?用坐標和方程表示問題中的幾何要素,如點、直線、圓,把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二步:通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題;第三步:把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.2.與圓有關的最值問題已知實數(shù)x,y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(2)求y－x的最大值和最小值.解：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，的幾何意義是圓上一點與原點連線的的斜率，即y＝kx.oxy當直線y＝kx與圓相切時,斜率k取得最大值或最小值,典例2(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距,當直線y＝x＋b與圓相切時,b取得最大值或最小值,oxy在本例條件下，求x2＋y2的最大值和最小值.解:x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，又圓心到原點的距離為所以x2＋y2的最大值是x2＋y2的最小值是練一練DA(2,0)BxyOC(0,1)解:練一練DP(2,0)BxyOC(0,1)解:練一練解:lBxyOC(0,1)D練一練解:lxyOC(0,1)練一練2.過直線與圓的交點的圓系方程已知圓C經(jīng)過直線x＋y＋2＝0與圓x2＋y2＝4的交點，且圓C的圓心在直線2x－y－3＝0上，求圓C的方程.設所求圓的方程為(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0,即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0,因為圓心在直線2x－y－3＝0上,所以a＝－6.所以圓的方程為x2＋y2－6x－6y－16＝0,即(x－3)2＋(y－3)2＝34.典例3求過直線與圓的交點的圓系方程的方法(1)聯(lián)立方程組，求出交點坐標，再根據(jù)交點坐標求方程；(2)設圓系方程求參數(shù)，一般地，過直線l:Ax＋By＋C＝0與圓O:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交點的圓系方程可設為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.求經(jīng)過直線x＋y＝0與圓x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交點，且經(jīng)過點P(－1，－2)的圓的方程.解方程組所以直線與圓交于點A(1,－1)和點B(－4,4).設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0),故所求圓的方程為x2＋y2＋3x－3y－8＝0.方法二:設所求圓的方程為x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0，又點P(－1，－2)在圓上，將(－1，－2)代入圓的方程得(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1.故所求圓的方程為x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.最長弦、最短弦問題(1)當直線過圓心時,直線被圓截得的弦長最長,最長弦是直徑,即為(2)當直線與過圓心的弦垂直時,被圓截得的弦長最短,即為過一點與圓相切的切線方程問題:(1)過圓上一點與圓相切的切線方程求法:【例1】過圓C:x2＋y2＝10上一點P(1,3),且與圓C相切的切線方程為__________.x+3y-10=0一般地,過圓C:x2＋y2＝r2上一點P(x0,y0),且與圓C相切的切線方程為【例2】過圓C:(x－4)2＋(y－2)2＝10上一點P(1,3),且與圓C相切的切線方程為______________.3x－y＝0一般地,過圓C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0,y0),且與圓C相切的切線方程為過一點與圓相切的切線方程問題:(1)過圓上一點與圓相切的切線方程求法:過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點M(x0,y0)的切線方程:歸納總結(jié):P(x,y)yxOC(a,b)特別地，過圓x2＋y2＝r2上點M(x0,y0)的切線方程:P(x,y)yxO【例3】過點P(1,1)與圓C:(x－4)2+(y－2)2=1相切的切線方程為________________.y=1或3x-4y+1=0注意:此種情況一定要對切線斜率存在與否進行討論,否則有可能會漏解；還有區(qū)分切線所過的點是否在圓上,只需驗證點的坐標是否滿足圓的方程即可.過一點與圓相切的切線方程問題:(2)過圓外一點與圓相切的切線方程求法:【變式】過點P(3,－1)與圓C:(x－4)2+(y－2)2=1相切的切線方程為_____________.x=3或4x-3y-15=0課本練習1.趙州橋的跨度是37.4m,圓拱高約為7.2m.求這座圓拱橋的拱圓的方程.ABPOxy解:建立如圖所示的直角坐標系.設圓拱所在圓的圓心坐標為(0,b),圓的半徑為r,則圓的方程為由題意,點P,B在圓上,且它們的坐標分別為(0,7.2),(18.7,0),則有故所求圓拱的方程為解得2.某圓拱橋的水面跨度20m,拱高4m.現(xiàn)有一船,寬10m,水面以上高3m.這條船能否從橋下通過?ABPOxyCFED解:建立如圖所示的直角坐標系.設圓拱的圓心坐標為(0,b),圓的半徑為r,則圓的方程為由題意,點P,B在圓上,且它們的坐標分別為(0,4),(10,0),則有故所求圓拱的方程為解得把代入上式，得因為船在水面以上的高度為3m,3<3.1,所以該船可以從船下穿過.3.在一個平面上,機器人從與點C(5,－3)的距離為9的地方繞點C順時針而行,在行進過程中保持與點C的距離不變,它在行進過程中到過點A(－10,0)與B(0,12)的直線的最近距離和最遠距離分別是多少?22lA(0,12)?C(5,-3)xOy?B(-10,0)?解:依題意得,機器人在以C(5,－3)為圓心,9為半徑的圓上運動,其圓的方程為經(jīng)過點A(－10,0)與B(0,12)的直線方程為