《方向向量、法向量及空間線面位置關(guān)系的判定》教材分析

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2方向向量、法向量及空間線面位置關(guān)系的判定一、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖二、重點(diǎn)、難點(diǎn)1.重點(diǎn)：空間圖形基本要素及其關(guān)系的向量表示，用向量方法解決空間圖形的位置關(guān)系和距離、夾角等度量問題.2.難點(diǎn)：建立空間圖形基本要素與向量之間的關(guān)系，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議本節(jié)核心內(nèi)容是利用空間向量解決立體幾何問題的一般方法：先用空間向量表示點(diǎn)、直線和平面等基本要素，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系；然后進(jìn)行空間向量的運(yùn)算；最后把空間向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.空間中直線、平面的位置關(guān)系主要研究平行、垂直等，也就是“方向”問題，而向量表達(dá)了方向，于是利用向量及其運(yùn)算可以解決方向的問題.空間中度量問題主要研究“距離”和“夾角”問題，距離和角度可以用向量的運(yùn)算表達(dá)，于是利用向量的運(yùn)算可以解決距離和夾角的問題.向量法為解決立體幾何問題提供了一種通法，這也是向量法的優(yōu)勢所在.利用空間向量解決立體幾何問題的基礎(chǔ)是用空間向量表示點(diǎn)、直線和平面等基本要素，因此教科書特別關(guān)注了直線的方向向量和平面的法向量.由于學(xué)生并不習(xí)慣于用法向量等解決問題，因此教學(xué)中要給予重視.用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系1.空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示點(diǎn)、直線和平面是構(gòu)成空間圖形的基本要素.無論是利用向量方法研究空間幾何元素之間的位置關(guān)系，還是度量問題，首先要把這些基本要素用向量表示出來.（1）點(diǎn)是位置的抽象，給定起點(diǎn)O，那么，空間一個(gè)向量的終點(diǎn)就和空間的一個(gè)位置P對(duì)應(yīng)，向量就是點(diǎn)P的位置向量.（2）直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.我們熟知的“兩點(diǎn)確定一條直線”，可以劃歸為這種情形.事實(shí)上，由給定的兩點(diǎn)A，B，可以確定向量，那么直線AB就由點(diǎn)A和方向向量唯一確定.對(duì)于直線的向量表示，教科書給出了三種形式.設(shè)A是直線上的一點(diǎn)，a是直線l的方向向量，在直線l上取，設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn)，則①點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使得，即.②取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使.③取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使.注意到，可得，因此由①可得②.這就解決了教科書在“邊空”中提出的問題.（3）一般來說，平面有兩種表示方法.一種是用平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)A和這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量a和b表示，這時(shí)，對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P，存在唯一的實(shí)數(shù)x和y，使得，這是用平面內(nèi)一點(diǎn)與這個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量表示這個(gè)平面；進(jìn)一步，取定空間任意一點(diǎn)O，則存在唯一的實(shí)數(shù)x，y，使，這是用空間中任意一點(diǎn)與這個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量表示這個(gè)平面.另一種是用平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)A和平面的一個(gè)法向量a來表示，這時(shí)平面可以用集合來刻畫.兩種表示法的目的都是建立平面與向量的聯(lián)系，用向量表示平面，為通過向量運(yùn)算研究圖形的性質(zhì)奠定基礎(chǔ).兩種表示方法各有特點(diǎn)：一個(gè)是充分運(yùn)用平面向量基本定理，通過向量的線性運(yùn)算表示平面；另一個(gè)是借助平面的法向量，通過向量的數(shù)量積運(yùn)算表示平面.解決具體問題時(shí)，兩種方法往往綜合使用.綜上所述，用空間向量表示點(diǎn)、直線、平面時(shí)，首先要確定一個(gè)定點(diǎn)，然后用向量表示它們.教學(xué)時(shí)應(yīng)讓學(xué)生了解“確定一個(gè)定點(diǎn)”是用空間向量表示點(diǎn)、直線、平面的基礎(chǔ).2.例題的教學(xué)教科書安排例題的目的是給出求平面法向量的具體方法，同時(shí)為后續(xù)研究直線、平面間的位置關(guān)系和距離、夾角等度量問題做準(zhǔn)備.需要注意的是，平面的法向量并不唯一，它們的模長可以不同，其方向相同或相反.與具體問題背景結(jié)合時(shí)，可以利用向量的“自由性”，根據(jù)問題的條件靈活確定表示法向量的有向線段；通過解方程組求法向量時(shí)，可以對(duì)參數(shù)適當(dāng)取值，求出平面的一個(gè)法向量即可.教學(xué)時(shí)，要注意結(jié)合本題引導(dǎo)學(xué)生歸納求解平面法向量一般步驟：（1）根據(jù)立體幾何中直線與平面垂直的判定定理得到法向量；（2）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示得到兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立方程組；（3）根據(jù)三元一次不定方程組，得到一個(gè)方向向量.其中，在由三元一次不定方程組得到方向向量時(shí)，可以采用類似解二元一次方程組的方法，把其中一個(gè)未知數(shù)看作參數(shù)，然后用這個(gè)參數(shù)表示另外兩個(gè)未知數(shù)，最后給參數(shù)賦值時(shí)，盡量使三個(gè)未知數(shù)的值為整數(shù)，并且數(shù)不要太大.3.空間中直線、平面的平行因?yàn)榭臻g向量可以表示空間中的點(diǎn)、直線、平面，所以自然地會(huì)聯(lián)想到利用空間向量及其運(yùn)算可以表示“直線與直線”“直線與平面”和“平面與平面”之間的平行、垂直等位置關(guān)系，解決此問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為研究直線的方向向量、平面的法向量之間的關(guān)系.教科書對(duì)空間中直線、平面的平行和垂直兩種位置關(guān)系分開研究，首先研究空間中直線、平面的平行.教科書首先安排了一個(gè)“思考”：“由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關(guān)系？”對(duì)于此問題，教學(xué)中可以分步進(jìn)行.首先研究直線與直線平行.教學(xué)時(shí)可以先讓學(xué)生思考：由直線與直線平行，可以得到直線的方向向量間有什么關(guān)系？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生利用直線方向向量的定義得到下面的結(jié)論：如果兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行；反過來，如果兩條直線的方向向量平行，那么這兩條直線也平行.并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得到兩條直線平行的向量表達(dá)式，即設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u.接下來，研究直線與平面平行、平面與平面平行.教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生自己進(jìn)行類似研究，從而得到直線與平面平行、平面與平面平行的向量表達(dá)式.由于空間向量是自由向量，直線與平面平行還可以用直線的方向向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量共面進(jìn)行說明，教學(xué)時(shí)可以啟發(fā)學(xué)生對(duì)此進(jìn)行研究.4.空間中直線、平面的垂直對(duì)于空間中直線、平面垂直的向量表示，首先安排一個(gè)“思考”：“在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？”對(duì)于此問題，由于學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了研究空間中直線、平面平行的過程，因此對(duì)直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直關(guān)系的研究可以類似地進(jìn)行，教學(xué)中應(yīng)更多地讓學(xué)生自主探究，將研究直線、平面間的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為研究直線的方向向量、平面的法向量之間的關(guān)系.然后借助圖形分別給出直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的向量表達(dá)式，進(jìn)一步體會(huì)空間向量在研究直線、平面間位置關(guān)系中的作用.提出問題：“向量是軀體，運(yùn)算是靈魂”“沒有運(yùn)算的向量只能起路標(biāo)的作用”的說法嗎？這個(gè)問題是要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注向量的運(yùn)算在解決幾何問題中的作用.有了向量的運(yùn)算才能研究空間圖形的位置關(guān)系、度量問題.例如，直線與直線垂直可以用其方向向量的數(shù)量積為0表示，即.這樣我們就可以通過向量運(yùn)算研究空間圖形的位置關(guān)系.因此我們說向量的作用是通過其運(yùn)算來體現(xiàn)的，如果沒有運(yùn)算，那么向量僅能表示空間中的點(diǎn)、直線和平面，只是“路標(biāo)”，無法獲得空間圖形的幾何性質(zhì).“基底法”比“坐標(biāo)法”更具有一般性.教學(xué)時(shí)要注意讓學(xué)生體會(huì)空間向量基本