專題518平移與命題定理證明（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學年七年級數學下冊基礎知識專項突破講與練（人教版）

專題5.18平移與命題、定理、證明（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】命題、定理、證明1.命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．

要點提醒：（1）命題的結構：每個命題都由題設、結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項.（2）命題的表達形式：“如果……，那么…….”，也可寫成：“若……，則…….”（3）真命題與假命題：真命題：題設成立結論一定成立的命題，叫做真命題.假命題：題設成立而不能保證結論一定成立的命題，叫做假命題.2.定理：定理是從真命題（公理或其他已被證明的定理）出發(fā)，經過推理證實得到的另一個真命題，定理也可以作為繼續(xù)推理的依據.3.證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫做證明.要點提醒：（1）證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”，這些根據可以是已知條件，學過的定義、基本事實、定理等.（2）判斷一個命題是正確的，必須經過嚴格的證明；判斷一個命題是假命題，只需列舉一個反例即可．【知識點二】平移1.定義：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移．要點提醒：（1）圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離．（2）圖形的平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.2.性質：圖形的平移實質上是將圖形上所有點沿同一方向移動相同的距離，平移不改變線段、角的大小，具體來說：（1）平移后，對應線段平行且相等；（2）平移后，對應角相等；（3）平移后，對應點所連線段平行且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對全等圖形.要點提醒：（1）“連接各組對應點的線段”的線段的長度實際上就是平移的距離．(2)要注意“連接各組對應點的線段”與“對應線段”的區(qū)別，前者是通過連接平移前后的對應點得到的，而后者是原來的圖形與平移后的圖形上本身存在的.3.作圖：平移作圖是平移基本性質的應用，在具體作圖時，應抓住作圖的“四步曲”——定、找、移、連．(1)定：確定平移的方向和距離；(2)找：找出表示圖形的關鍵點；(3)移：過關鍵點作平行且相等的線段，得到關鍵點的對應點；(4)連：按原圖形順次連接對應點．【考點目錄】【考點1】命題與證明；【考點2】定理與證明；【考點3】圖形的平移與作圖；【考點4】平移的性質證明與求值；【考點5】平移的性質的應用；【考點1】命題與證明；【例1】（2022下·山東濱州·七年級?？茧A段練習）如圖，有如下三個論斷：①，②，③．（1）請從這三個論斷中選擇兩個作為題設，余下的一個作為結論，構成一個真命題．試用“如果……那么……”的形式寫出來；（寫出所有的真命題，不要說明理由）（2）請你在上述真命題中選擇一個進行證明．【答案】（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）根據平行直線的性質和判斷即可得到答案；（2）根據平行直線的性質：兩直線平行，同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，再結合平行直線的判斷方法，即可證得．（1）解：①如圖，如果，，那么；②如圖，如果，，那么；③如圖，，，那么；（2）解：①如圖，如果，，那么；證明：∵，∴，∵，∴，∴；②如圖，如果，，那么；證明：∵，∴，∵，∴，∴；③如圖，，，那么；∵，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題考查命題與定理、平行線的性質和判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．【變式1】（2023上·浙江杭州·八年級校聯考階段練習）對于命題“如果，那么．”能說明它是假命題的反例是（

）A． B．，C．， D．，【答案】A【分析】本題考查了反證法；根據反例滿足條件，不滿足結論可對各選項進行判斷．解：A.，滿足條件，不滿足結論，可作為說明原命題是假命題的反例，符合題意；B.，，滿足條件和結論，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；C.，，不滿足條件，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；D.，，不滿足條件，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；故選：A．【變式2】（2023上·山東菏澤·八年級?？茧A段練習）把命題“同角或等角的余角相等”改寫成“如果...那么...的形式”：．【答案】如果有兩個角是同一個角或者兩個相等的角，那么這兩個角的余角相等【分析】本題考查命題的定義，根據命題的定義，命題有題設和結論兩部分組成．命題有題設和結論兩部分組成，通常寫成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接題設，“那么”后面接結論．解：根據命題的特點，可以改寫為：“如果兩個角是同一個角或兩個相等的角的余角，那么這兩個角相等”，故答案為：如果兩個角是同一個角或兩個相等的角的余角，那么這兩個角相等．【考點2】定理與證明；【例2】（2020下·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）（1）已知：如圖，直線AB、CD、EF被直線BF所截，，．求證：；（2）你在（1）的證明過程中應用了哪兩個互逆的真命題．【答案】（1）見分析；（2）同旁內角互補，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補．【分析】（1）利用同旁內角互補，兩直線平行和內錯角相等；兩直線平行判斷AB∥CD，CD∥EF，則利用平行線的傳遞性得到AB∥EF，然后根據平行線的性質得到結論；（2）利用了平行線的判定與性質定理求解．解：（1）證明：∵∠B＋∠1＝180°，∴AB∥CD，∵∠2＝∠3，∴CD∥EF，∴AB∥EF，∴∠B＋∠F＝180°；（2）解：在（1）的證明過程中應用的兩個互逆的真命題為：同旁內角互補，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補．【點撥】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．【變式1】（2020下·七年級課時練習）下列說法正確的是（

）A．命題是定理，定理是命題B．命題不一定是定理，定理不一定是命題C．真命題有可能是定理，假命題不可能是定理D．定理可能是真命題，也可能是假命題【答案】C【分析】根據命題和定理的定義逐項判斷即可．解：A、命題不一定是定理，所以本選項錯誤；B、命題不一定是定理，但定理一定是命題，所以本選項錯誤；C、真命題有可能是定理，假命題不可能是定理，所以本選項正確；D、定理不可能是假命題，所以本選項錯誤．故選：C．【點撥】本題考查了命題與定理，定理是命題，并且是真命題，但真命題不一定是定理，熟知命題和定理的定義及其關系是解題的關鍵．【變式2】（2019上·八年級課時練習）如圖所示，，那么，依據是．【答案】，同角的余角相等【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD.解：∵，∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，根據同角的余角相等，∴∠AOC=∠BOD；故答案為，同角的余角相等.【點撥】本題考查了同角的余角相等，解題的關鍵是熟練掌握定理.【考點3】圖形的平移與作圖；【例3】（2023下·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為的小正方形組成的網格中，點，，均為格點網格線的交點，為射線與網格線的交點平移線段，使點與點重合，記點的對應點為，連接．（1）根據題意，補全圖形；（2）若不增加其他條件，圖中與相等的角有誰？說明理由．【答案】（1）見分析；（2）相等的角有、、，理由見分析【分析】（1）根據平移的定義畫出相應的圖形即可；（2）由平移的性質可得出四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的性質以及平行線的性質進行判斷即可．（1）解：補全圖形如圖所示：

（2）解：相等的角有、、，理由：由平移的性質可知，，四邊形是平行四邊形，，、，．【點撥】本題考查平移的性質，掌握平移的性質，平行四邊形的性質以及平行線的性質是正確解答的前提．【變式1】（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱德強學校校考期中）觀察下面圖案，在A、B、C、D四幅圖案中，能通過圖案1平移得到的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題主要考查了圖形的平移，根據圖形的平移只改變位置，不改變大小，形狀和方向進行求解是解題的關鍵．解：由平移只改變位置，不改變大小，形狀和方向可知，只有C選項中的圖案是圖案1平移得到的，故選C．【變式2】（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）在邊長為1的正方形網格中，右邊的“小魚”圖案是由左邊的圖案經過一次平移得到的，則平移的距離是．

【答案】6【分析】確定一組對應點，從而確定平移距離．解：如圖，點是一組對應點，，所以平移距離為6；故答案為：6

【點撥】本題考查圖形平移；確定對應點從而確定平移距離是解題的關鍵．【考點4】平移的性質證明與求值；【例4】（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，△ABC是等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使點B與點C重合得到△DCE，連接BD交AC于點F．猜想AC與BD的位置關系，并證明你的結論．【答案】AC⊥BD．證明見分析解：AC⊥BD．證明如下：∵△ABC是等邊三角形，，．∵△DCE是由△ABC平移得到的，，，．又，，，．【變式1】（2024上·廣東深圳·八年級深圳外國語學校?？计谀┤鐖D，在銳角中，，將沿著射線方向平移得到（平移后點，，的對應點分別是點，，），連接，若在整個平移過程中，和的度數之間存在2倍關系，則不可能的值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平移的性質，平行線的性質與判定，分如圖，當點在上時，當點在延長線上時，兩種情況種又分當時，當時，過點作，證明，得到，再通過角之間的關系建立方程求解即可．解：第一種情況：如圖，當點在上時，過點作，

∵由平移得到，，∵，，，，當時，設，則，∴，，，解得：，；當時，設，則，∴，，，解得：，；第二種情況：當點在延長線上時，過點作，

同理可得，當時，設，則，∴，，，解得：，；由于，則這種情況不存在；綜上所述，的度數可以為20度或40度或120度，故選：C．【變式2】（2023下·內蒙古鄂爾多斯·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，，，將沿方向平移，得到，連接，則陰影部分的周長為．【答案】11【分析】本題考查平移的性質，根據平移性質得到，，然后計算出陰影部分周長為的周長即可求解．利用平移的性質得到，是解答的關鍵．解：∵將沿方向平移，得到，∴，，∴陰影部分的周長為，故答案為：11．【考點5】平移的應用.【例5】（2022下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）動手操作：（1）如圖1，在的網格中，每個小正方形的邊長為1，將線段向右平移，得到線段，連接，．①線段平移的距離是________；②四邊形的面積是________；（2）如圖2，在的網格中，將向右平移3個單位長度得到．③畫出平移后的；④連接，，多邊形的面積是________（3）拓展延伸：如圖3，在一塊長為米，寬為米的長方形草坪上，修建一條寬為米的小路（小路寬度處處相同），直接寫出剩下的草坪面積是________．【答案】（1）①；②；（2）③見分析，④；（3）平方米．【分析】（1）①根據平移性質和網格特點求解即可；②根據網格特點和平行四邊形的面積公式求解即可；（2）③根據平移性質和網格特點可畫出圖形；④根據網格特點，三角形的面積公式和長方形的面積公式求解即可；（3）根據平移性質，可將小路兩邊的草坪平移，拼湊成一個長米，寬為b米的長方形，再利用長方形的面積公式求解即可．（1）解：①根據平移性質，線段平移的距離是；②根據圖形，四邊形的面積為:；故答案為：①；②；（2）解：③如圖所示，即為所求作；④由圖形知，，∴多邊形的面積為:，故答案為：；（3）解：由題意得，將小徑右側平移與左側拼接成一個長方形，長方形的長米，寬為b米，則剩下的草坪面積是：，故答案為：平方米．【點撥】本題考查平移性質的應用、列代數式，熟知網格特點，掌握平移性質是解答的關鍵．【變式1】（2023下·河北廊坊·七年級?？计谥校┤鐖D，學校要在領獎臺上鋪紅地毯，地毯每平米40元，至少花多少錢才能鋪滿整個領獎臺（

）A．1200元 B．1320元 C．1440元 D．1560元【答案】C【分析】將地毯分成水平方向與豎直方向的兩類，分別求出其面積，然后再相加，即可求出地毯的總面積，最后乘以地毯的價格．解：地毯在水平面上的面積為，地毯在豎直面上的面積為，所以，地毯的總面積為：．鋪滿整個領獎臺需要花：（元）故選：C．【點撥】本題考查了長方形的面積求法，解題的關鍵是將地毯的各個小長方形的面積分成水平方向與豎直方向兩