專題518平移與命題定理證明（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

專題5.18平移與命題、定理、證明（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】命題、定理、證明1.命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．

要點提醒：（1）命題的結(jié)構(gòu)：每個命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項.（2）命題的表達形式：“如果……，那么…….”，也可寫成：“若……，則…….”（3）真命題與假命題：真命題：題設(shè)成立結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題.假命題：題設(shè)成立而不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題.2.定理：定理是從真命題（公理或其他已被證明的定理）出發(fā)，經(jīng)過推理證實得到的另一個真命題，定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).3.證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫做證明.要點提醒：（1）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”，這些根據(jù)可以是已知條件，學(xué)過的定義、基本事實、定理等.（2）判斷一個命題是正確的，必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明；判斷一個命題是假命題，只需列舉一個反例即可．【知識點二】平移1.定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移．要點提醒：（1）圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離．（2）圖形的平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.2.性質(zhì)：圖形的平移實質(zhì)上是將圖形上所有點沿同一方向移動相同的距離，平移不改變線段、角的大小，具體來說：（1）平移后，對應(yīng)線段平行且相等；（2）平移后，對應(yīng)角相等；（3）平移后，對應(yīng)點所連線段平行且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對全等圖形.要點提醒：（1）“連接各組對應(yīng)點的線段”的線段的長度實際上就是平移的距離．(2)要注意“連接各組對應(yīng)點的線段”與“對應(yīng)線段”的區(qū)別，前者是通過連接平移前后的對應(yīng)點得到的，而后者是原來的圖形與平移后的圖形上本身存在的.3.作圖：平移作圖是平移基本性質(zhì)的應(yīng)用，在具體作圖時，應(yīng)抓住作圖的“四步曲”——定、找、移、連．(1)定：確定平移的方向和距離；(2)找：找出表示圖形的關(guān)鍵點；(3)移：過關(guān)鍵點作平行且相等的線段，得到關(guān)鍵點的對應(yīng)點；(4)連：按原圖形順次連接對應(yīng)點．【考點目錄】【考點1】命題與證明；【考點2】定理與證明；【考點3】圖形的平移與作圖；【考點4】平移的性質(zhì)證明與求值；【考點5】平移的性質(zhì)的應(yīng)用；【考點1】命題與證明；【例1】（2022下·山東濱州·七年級校考階段練習(xí)）如圖，有如下三個論斷：①，②，③．（1）請從這三個論斷中選擇兩個作為題設(shè)，余下的一個作為結(jié)論，構(gòu)成一個真命題．試用“如果……那么……”的形式寫出來；（寫出所有的真命題，不要說明理由）（2）請你在上述真命題中選擇一個進行證明．【答案】（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）根據(jù)平行直線的性質(zhì)和判斷即可得到答案；（2）根據(jù)平行直線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補，再結(jié)合平行直線的判斷方法，即可證得．（1）解：①如圖，如果，，那么；②如圖，如果，，那么；③如圖，，，那么；（2）解：①如圖，如果，，那么；證明：∵，∴，∵，∴，∴；②如圖，如果，，那么；證明：∵，∴，∵，∴，∴；③如圖，，，那么；∵，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題考查命題與定理、平行線的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．【變式1】（2023上·浙江杭州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）對于命題“如果，那么．”能說明它是假命題的反例是（

）A． B．，C．， D．，【答案】A【分析】本題考查了反證法；根據(jù)反例滿足條件，不滿足結(jié)論可對各選項進行判斷．解：A.，滿足條件，不滿足結(jié)論，可作為說明原命題是假命題的反例，符合題意；B.，，滿足條件和結(jié)論，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；C.，，不滿足條件，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；D.，，不滿足條件，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；故選：A．【變式2】（2023上·山東菏澤·八年級?？茧A段練習(xí)）把命題“同角或等角的余角相等”改寫成“如果...那么...的形式”：．【答案】如果有兩個角是同一個角或者兩個相等的角，那么這兩個角的余角相等【分析】本題考查命題的定義，根據(jù)命題的定義，命題有題設(shè)和結(jié)論兩部分組成．命題有題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，通常寫成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接題設(shè)，“那么”后面接結(jié)論．解：根據(jù)命題的特點，可以改寫為：“如果兩個角是同一個角或兩個相等的角的余角，那么這兩個角相等”，故答案為：如果兩個角是同一個角或兩個相等的角的余角，那么這兩個角相等．【考點2】定理與證明；【例2】（2020下·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）（1）已知：如圖，直線AB、CD、EF被直線BF所截，，．求證：；（2）你在（1）的證明過程中應(yīng)用了哪兩個互逆的真命題．【答案】（1）見分析；（2）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．【分析】（1）利用同旁內(nèi)角互補，兩直線平行和內(nèi)錯角相等；兩直線平行判斷AB∥CD，CD∥EF，則利用平行線的傳遞性得到AB∥EF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）利用了平行線的判定與性質(zhì)定理求解．解：（1）證明：∵∠B＋∠1＝180°，∴AB∥CD，∵∠2＝∠3，∴CD∥EF，∴AB∥EF，∴∠B＋∠F＝180°；（2）解：在（1）的證明過程中應(yīng)用的兩個互逆的真命題為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．【點撥】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．【變式1】（2020下·七年級課時練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．命題是定理，定理是命題B．命題不一定是定理，定理不一定是命題C．真命題有可能是定理，假命題不可能是定理D．定理可能是真命題，也可能是假命題【答案】C【分析】根據(jù)命題和定理的定義逐項判斷即可．解：A、命題不一定是定理，所以本選項錯誤；B、命題不一定是定理，但定理一定是命題，所以本選項錯誤；C、真命題有可能是定理，假命題不可能是定理，所以本選項正確；D、定理不可能是假命題，所以本選項錯誤．故選：C．【點撥】本題考查了命題與定理，定理是命題，并且是真命題，但真命題不一定是定理，熟知命題和定理的定義及其關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2019上·八年級課時練習(xí)）如圖所示，，那么，依據(jù)是．【答案】，同角的余角相等【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD.解：∵，∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，根據(jù)同角的余角相等，∴∠AOC=∠BOD；故答案為，同角的余角相等.【點撥】本題考查了同角的余角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握定理.【考點3】圖形的平移與作圖；【例3】（2023下·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為的小正方形組成的網(wǎng)格中，點，，均為格點網(wǎng)格線的交點，為射線與網(wǎng)格線的交點平移線段，使點與點重合，記點的對應(yīng)點為，連接．（1）根據(jù)題意，補全圖形；（2）若不增加其他條件，圖中與相等的角有誰？說明理由．【答案】（1）見分析；（2）相等的角有、、，理由見分析【分析】（1）根據(jù)平移的定義畫出相應(yīng)的圖形即可；（2）由平移的性質(zhì)可得出四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)進行判斷即可．（1）解：補全圖形如圖所示：

（2）解：相等的角有、、，理由：由平移的性質(zhì)可知，，四邊形是平行四邊形，，、，．【點撥】本題考查平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)是正確解答的前提．【變式1】（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱德強學(xué)校校考期中）觀察下面圖案，在A、B、C、D四幅圖案中，能通過圖案1平移得到的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題主要考查了圖形的平移，根據(jù)圖形的平移只改變位置，不改變大小，形狀和方向進行求解是解題的關(guān)鍵．解：由平移只改變位置，不改變大小，形狀和方向可知，只有C選項中的圖案是圖案1平移得到的，故選C．【變式2】（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，右邊的“小魚”圖案是由左邊的圖案經(jīng)過一次平移得到的，則平移的距離是．

【答案】6【分析】確定一組對應(yīng)點，從而確定平移距離．解：如圖，點是一組對應(yīng)點，，所以平移距離為6；故答案為：6

【點撥】本題考查圖形平移；確定對應(yīng)點從而確定平移距離是解題的關(guān)鍵．【考點4】平移的性質(zhì)證明與求值；【例4】（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，△ABC是等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使點B與點C重合得到△DCE，連接BD交AC于點F．猜想AC與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】AC⊥BD．證明見分析解：AC⊥BD．證明如下：∵△ABC是等邊三角形，，．∵△DCE是由△ABC平移得到的，，，．又，，，．【變式1】（2024上·廣東深圳·八年級深圳外國語學(xué)校校考期末）如圖，在銳角中，，將沿著射線方向平移得到（平移后點，，的對應(yīng)點分別是點，，），連接，若在整個平移過程中，和的度數(shù)之間存在2倍關(guān)系，則不可能的值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，分如圖，當(dāng)點在上時，當(dāng)點在延長線上時，兩種情況種又分當(dāng)時，當(dāng)時，過點作，證明，得到，再通過角之間的關(guān)系建立方程求解即可．解：第一種情況：如圖，當(dāng)點在上時，過點作，

∵由平移得到，，∵，，，，當(dāng)時，設(shè)，則，∴，，，解得：，；當(dāng)時，設(shè)，則，∴，，，解得：，；第二種情況：當(dāng)點在延長線上時，過點作，

同理可得，當(dāng)時，設(shè)，則，∴，，，解得：，；由于，則這種情況不存在；綜上所述，的度數(shù)可以為20度或40度或120度，故選：C．【變式2】（2023下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，，，將沿方向平移，得到，連接，則陰影部分的周長為．【答案】11【分析】本題考查平移的性質(zhì)，根據(jù)平移性質(zhì)得到，，然后計算出陰影部分周長為的周長即可求解．利用平移的性質(zhì)得到，是解答的關(guān)鍵．解：∵將沿方向平移，得到，∴，，∴陰影部分的周長為，故答案為：11．【考點5】平移的應(yīng)用.【例5】（2022下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）動手操作：（1）如圖1，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，將線段向右平移，得到線段，連接，．①線段平移的距離是________；②四邊形的面積是________；（2）如圖2，在的網(wǎng)格中，將向右平移3個單位長度得到．③畫出平移后的；④連接，，多邊形的面積是________（3）拓展延伸：如圖3，在一塊長為米，寬為米的長方形草坪上，修建一條寬為米的小路（小路寬度處處相同），直接寫出剩下的草坪面積是________．【答案】（1）①；②；（2）③見分析，④；（3）平方米．【分析】（1）①根據(jù)平移性質(zhì)和網(wǎng)格特點求解即可；②根據(jù)網(wǎng)格特點和平行四邊形的面積公式求解即可；（2）③根據(jù)平移性質(zhì)和網(wǎng)格特點可畫出圖形；④根據(jù)網(wǎng)格特點，三角形的面積公式和長方形的面積公式求解即可；（3）根據(jù)平移性質(zhì)，可將小路兩邊的草坪平移，拼湊成一個長米，寬為b米的長方形，再利用長方形的面積公式求解即可．（1）解：①根據(jù)平移性質(zhì)，線段平移的距離是；②根據(jù)圖形，四邊形的面積為:；故答案為：①；②；（2）解：③如圖所示，即為所求作；④由圖形知，，∴多邊形的面積為:，故答案為：；（3）解：由題意得，將小徑右側(cè)平移與左側(cè)拼接成一個長方形，長方形的長米，寬為b米，則剩下的草坪面積是：，故答案為：平方米．【點撥】本題考查平移性質(zhì)的應(yīng)用、列代數(shù)式，熟知網(wǎng)格特點，掌握平移性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．【變式1】（2023下·河北廊坊·七年級校考期中）如圖，學(xué)校要在領(lǐng)獎臺上鋪紅地毯，地毯每平米40元，至少花多少錢才能鋪滿整個領(lǐng)獎臺（

）A．1200元 B．1320元 C．1440元 D．1560元【答案】C【分析】將地毯分成水平方向與豎直方向的兩類，分別求出其面積，然后再相加，即可求出地毯的總面積，最后乘以地毯的價格．解：地毯在水平面上的面積為，地毯在豎直面上的面積為，所以，地毯的總面積為：．鋪滿整個領(lǐng)獎臺需要花：（元）故選：C．【點撥】本題考查了長方形的面積求法，解題的關(guān)鍵是將地毯的各個小長方形的面積分成水平方向與豎直方向兩