數(shù)學(xué)參考答案

綿陽南山中學(xué)2024年春季高2023級半期考試數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題題號123456789101112選項(xiàng)BBCCADADBCACDABDACD三、填空題（每個(gè)小題5分，共20分）13.114.15.16.16.由，則，故，所以，又為銳角三角形，則，且，則，而，則，，所以，又，且，所以，則.故答案為：.四、解答題：（共70分）17.k=4......10分18.（1）因?yàn)?，，所以，解?故的值為3.......6分（2）由（1）知，，所以，所以，所以.故與的夾角的余弦值為.......12分19（1）因?yàn)?，所以，解得?.....4分（2）因?yàn)?，，則，解得，又，所以，......8分又因，所以，則，所以......12分20.設(shè)我方軍艦大約需要x小時(shí)到達(dá)C島，則，由題意知，，，，......3分在中，又，......7分在中，由正弦定理可得，即，解得，答：所以我方軍艦大約需要10小時(shí)到達(dá)C島．......12分21.(1)當(dāng)C在半圓中點(diǎn)位置時(shí)，△ABC的周長最大.理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)C在半圓上，且AB是圓的直徑，所以∠ACB＝eq\f(π,2)，即△ABC是直角三角形.設(shè)BC＝a，AC＝b，∠ABC＝αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<α<\f(π,2)))，又AB＝4，則a＝4cosα，b＝4sinα，△ABC的周長＝a＋b＋4＝4cosα＋4sinα＋4＝4(cosα＋sinα)＋4＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＋4.因?yàn)?<α<eq\f(π,2)，所以eq\f(π,4)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，所以當(dāng)α＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,4)時(shí)，△ABC的周長取得最大值＋4，此時(shí)C是半圓的中點(diǎn).......7分(2)因?yàn)锳D＝DC，所以∠ABD＝∠DBC＝θ，所以AD＝DC＝ABsinθ＝4sinθ，CB＝ABcos2θ＝4cos2θ.設(shè)四邊形ABCD的周長為p，則p＝AD＋DC＋CB＋AB＝8sinθ＋4cos2θ＋4＝8sinθ＋4(1－2sin2θ)＋4＝10－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(1,2)))eq\s\up12(2).顯然θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以當(dāng)θ＝eq\f(π,6)時(shí)，p取得最大值10.......12分22.（1）因?yàn)楹瘮?shù)，是“函數(shù)”，故恒成立，即，即恒成立.又，故，，即k的取值范圍為