衍生品定價原理

金融工程簡介

隨機(jī)過程,隨機(jī)微分,隨機(jī)積分方程,馬科夫過程

多元統(tǒng)計分析

投資組合分析(市場有效性,CAPM,APT)

風(fēng)險(市場,信用,操作等)衍生品定價金融市場簡單介紹金融市場(投資,投機(jī))

外匯市場（AUD/USD,EUR/USD,JPY/USD,GBP/USD,USD/CHF,NZD/USD,CAD/USD等幾十種貨幣，以及交叉貨幣EUR/AUD,GBP/AUD等）

現(xiàn)貨市場

衍生品(期貨,期權(quán),其他衍生證券)期貨市場：金融期貨（指數(shù),國債），商品期貨(原油，黃金，農(nóng)產(chǎn)品等,利率期貨，外貨期貨）期權(quán)市場:指數(shù)期權(quán)，利率期權(quán)，外匯期權(quán)等其他:Swap(互換),ExoticOptions(奇異,新型),Caps等亞洲市場中國大陸

權(quán)證

股票

期貨(商品,指數(shù),國債)香港

全面(股指期貨,期權(quán),窩輪,人民幣等)金融市場每日成交量外匯市場

超過５萬億(最大市場）黃金，股票，期貨，期權(quán)市場，國內(nèi)股票最大，是其他市場幾十倍我國商品期貨成交量全球第一(主力品種每日超百萬手)保證金(Margin),孖展,按金帳戶

杠桿

通常每一份期權(quán)合約賦予購買和出售１整手股票(100股的

權(quán)利,所報的期權(quán)價格則是買賣１股股票的期權(quán)費(fèi)

商品期貨,商品期權(quán)

金融期貨，期權(quán)

滬深300指數(shù)期貨

橫生指數(shù)產(chǎn)品

(期貨,期權(quán)),認(rèn)沽證也叫窩輪或股本權(quán)證(Warrant)屬于證券產(chǎn)

品,不能賣空交易術(shù)語

市價單(marketorder)

限價單(limitorder)

止損單(stop

lossorder)

多空(買賣buysell,長短longshort,認(rèn)購認(rèn)沽)

市場流動性職業(yè)前景高收入,高壓力(心理)投行GECapital,CitiGroup,MorganStanley,JPMorgan,Goldman

Sachs,MerrillLynch,SalomonBrothers(屬于citi)銀行(金融市場,外匯等)證券,期貨公司自營(財務(wù)自由)投資策略價值投資

投機(jī)

趨勢

擺動

價差

套利交易方式長期短期日內(nèi)高頻阿爾法交易套利(跨期,跨品種,跨市),對時間敏感價差交易投資黃金定律紀(jì)律規(guī)則概率風(fēng)險管理(頭寸規(guī)模)心理投資的態(tài)度孫子兵法

合于利而動,不合于利而止

“安國全軍”指導(dǎo)思想為最高境界

戰(zhàn)爭必須以最小代價換取最大利益------

交易必須以最小風(fēng)險換取最大收益投資交易五大前提道,天,地,將,法

合道:投資是否合乎道理

天時：交易時段，漲跌周期，入市時機(jī)，時間架

構(gòu)（周，

日，時，分）

地利：交易平臺，商品特性，行情趨勢，行情趨勢，入市

價位，停損距離

人和：投資人，經(jīng)紀(jì)人，分析師，交易導(dǎo)師教練，交易

心理五德-----智，信，仁，勇，嚴(yán)

得法：交易計劃，交易策略，交易紀(jì)律致富方程式投資本金（人賺錢）合理報酬(武功招式）必須長期穩(wěn)定（內(nèi)功心法）時間的醞釀(耐心，信心，積功累德）復(fù)利的效果（錢賺錢，因變果）致富方程式：

＝本金Ｘ（１＋長期穩(wěn)定合理報酬)^時間的次方香港交易所例香港交易所例2)股票期貨合約買賣單位等於一手正股股數(shù)

號數(shù)股票

編號正股名稱HKATS

代號合約買賣單位

(股數(shù))期權(quán)類別持倉限額

(合約張數(shù))11長江實業(yè)(集團(tuán))有限公司CKH1,000150,00022中電控股有限公司CLP500150,00033香港中華煤氣有限公司HKG1,000250,00044九龍倉集團(tuán)有限公司W(wǎng)HL1,000150,00055匯豐控股有限公司HKB400150,00066電能實業(yè)有限公司HEH500150,000711恒生銀行有限公司HSB100250,000812恒基兆業(yè)地產(chǎn)有限公司HLD1,000150,000913和記黃埔有限公司HWL1,000150,0001016新鴻基地產(chǎn)發(fā)展有限公司SHK1,000150,0002)股票期權(quán)的合約買賣單位等於一手正股股數(shù)

看跌期權(quán)最大值(上限)(圖3-7)歐式:期權(quán)執(zhí)行價格的現(xiàn)值

美式:期權(quán)的執(zhí)行價格(由于可以在任意時刻執(zhí)行)看跌期權(quán)最小值(下限)(圖3-6)期權(quán)價格不能為負(fù),因此,對歐(美)式都有由于美式期權(quán)可以在任意時刻執(zhí)行看跌期權(quán)最小值(下限)歐式期權(quán)考慮組合

A由一單位標(biāo)的資產(chǎn)

B由一份價格為的看跌期權(quán)空頭和一面值為X,現(xiàn)值為的無風(fēng)險債券組成(或現(xiàn)金)

看跌期權(quán)最小值(下限)歐式期權(quán)

組合A的收益總部小于組合B的收益,因此

由于價格不能為負(fù),所以看跌期權(quán)最小值(下限)兩種期權(quán)下限比較

由于

所以美式看跌期權(quán)最小值大于歐式看跌期權(quán)最小值

看跌期權(quán)最大最小值(上下限)到期期限的影響歐式,美式都沒有時間價值到期日不同到期日( 假設(shè))

在第一份期權(quán)到期時,還有時間價值到期期限的影響兩份到期日分別為歐式期權(quán)股票價格在時刻價格為,在時刻,一份價值為:期限較長的期權(quán)還有

時間才能到期,其價格最小值為但長期期權(quán)具有較長時間價值,且時間價值可以彌補(bǔ)內(nèi)在價值的差額,所以無法判斷哪種期權(quán)價值更大

執(zhí)行價格的影響假設(shè)執(zhí)行價格考慮1.到期值

2.到期值3.到期值

所以對歐式，美式都成立到期日執(zhí)行價格的影響對期權(quán)費(fèi)的影響考慮和現(xiàn)金(美式)

和

現(xiàn)金(歐式）

1.到期值

2.到期值 3.到期值 4. 到期值(美式）

5 到期值 (歐式)

所以,在0時刻平價公式(Put-CallParity)(歐式)(2).平價公式(Put-CallParity)(歐式)平價公式(Put-CallParity)(歐式)(2).平價公式(Put-CallParity)(歐式)平價公式(Put-CallParity)(美式)歐式平價公式(Put-CallParity)對美式期權(quán)不一定成立其中美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行

對于看漲期權(quán)，如果不分發(fā)紅利，可以不必提前執(zhí)行，此時美式歐式看漲期權(quán)價格應(yīng)當(dāng)一致.但對看跌期權(quán)不同

如果公司面臨倒閉,該公司股票價格可能為0,可能提前執(zhí)行期權(quán)

股市分紅

分紅后股票價格可能會降低,因此執(zhí)行可能性降低，如果

紅利足夠大，此時美式看跌期權(quán)和歐式看跌期權(quán)一樣，可

能不會提前執(zhí)行

利率和股價波動率的影響利率

從下限值公式看出：利率越小，下限值越大，執(zhí)行價格貼現(xiàn)值越大，利率越高，貼現(xiàn)越小，執(zhí)行產(chǎn)生利潤越低股票波動率

波動率越大，期權(quán)獲利概率越大，所以期權(quán)價格也越高

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

二叉樹原理(BinominalTreeOptionPricing) Cox-Ross-Rubinstein(CRR)模型

將期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔(例如1天),并假設(shè)在每一個時間間隔內(nèi)證券價格只有兩種運(yùn)動的可能: 1.從開始的S上升到原來的u倍，價格為uS 2.從開始的S下降到原來的d倍，價格為dS

相應(yīng)地，期權(quán)價格也會有所不同，我們考慮看漲歐式期權(quán),

現(xiàn)在假設(shè)期權(quán)還有一天到期,在到期日

期權(quán)到期時價格為和期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

例子：假設(shè)股票即期價格為50美元，股票價格可能上漲10%或下降8%,因此u=1+0.1=1.1,d=1-0.08=0.92.期權(quán)到期時，股票價格為50*1.1=55或50*0.92=46.一個執(zhí)行價格為X的以股票為標(biāo)的資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)即期價格為C.當(dāng)期權(quán)到期時，期權(quán)的價格為或在到期日，

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

假設(shè)無風(fēng)險利率為.無風(fēng)險利率應(yīng)該小于股票上漲率，大于股票下跌率，即。此不等式限制了套利交易.(為什么?)如或會有什么樣的套利機(jī)會？假設(shè)以相同無風(fēng)險利率借入或貸出資金.

我們考慮一組合，包括h股股票和一份看漲期權(quán)的賣出權(quán)組成，用V表示組合的價值,則在0時刻：

期權(quán)到期時，如果股票上漲，組合價值為

如果股票下跌，組合價值為

如果股票上漲組合的價值等于股票下跌組合的價值，稱該組合為無風(fēng)險投資組合期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

在時刻1，有：

如果為無風(fēng)險投資組合，則,即

得出：

稱h為套期保值比率(hedgeratio)又稱,該組合為套期保值組合。期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

已知S,u,d,X,我們可以求出,和h.

因為無風(fēng)險頭資應(yīng)獲得無風(fēng)險利潤，所以組合最終價值應(yīng)該等于組合現(xiàn)值在相應(yīng)時間內(nèi)投資于無風(fēng)險資產(chǎn)后的價值。如果兩者不等，說明存在套利機(jī)會(為什么?)。

到期日，應(yīng)該有：

將代入上式(推導(dǎo)）,

得：其中期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

上式中不涉及股票上漲，下跌的概率。P為風(fēng)險中性

概率(riskneutralprobability)。

舉例：

股票即期價格為100美元，一期過后，股票或以25%的上漲率升至125美元，或以20%的下跌率降至80美元?？礉q期權(quán)執(zhí)行價格為100美元，無風(fēng)險利率為7%.計算

S=100,d=0.8,u=1.25,X=100,r=0.07

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

利用求出的h值構(gòu)造一套期保值組合，并計算

假設(shè)組合由1000份看漲期權(quán)組成. uS=125 S=100 dS=80

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

高價期權(quán)

如果期權(quán)定價過高(例如15),無風(fēng)險套期保值組合將帶來超過無風(fēng)險利率的無風(fēng)險收益.投資者可以以無風(fēng)險利率借入資金投入套期組合獲得更高收益(看現(xiàn)金流)

低價期權(quán)

如果期權(quán)定價過低(例如13),投資者可以構(gòu)造期權(quán)的多頭和股票空頭.組合收益小于無風(fēng)險利率,可以將借來投資的資金投資無風(fēng)險債券(看現(xiàn)金流)

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

二叉樹模型中風(fēng)險溢價及上升下跌概率

模型不需要股票價格波動概率

如果知道波動概率會如何?

假設(shè)：S=100,u=1.25,d=0.8,r=0.07.

上升概率為0.7,下降概率為0.3.

股票預(yù)測價格為:125*0.7+80*0.3=111.5. 11.5即11.5%為股票投資回報率,

11.5%-7%=4.5%為投

資股票的風(fēng)險溢價

我們計算預(yù)測期權(quán)價格：0.7*25+0.3*0=17.5,

期權(quán)折現(xiàn)值：17.5/1.115=15.7

這樣原先價格為14.02的期權(quán)，我們可以用15.7價格賣出期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

二叉樹模型中風(fēng)險溢價及上升下跌概率

期權(quán)的匯報率為:17.5/14.02-1=0.248

接近于股票的兩倍.

無風(fēng)險組合收益率公式：

股票回報率：看漲期權(quán)回報率:

其中,期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

套期保值組合初始價值為hS-C以無風(fēng)險利率增長，在時刻1時價值為:

將,代入上式得：

由于我們知道上升下降的概率，假設(shè)上升概率為q

則期權(quán)的期望收益為:

將代入后得：期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

兩期二叉樹:

將時期擴(kuò)展為兩期,時刻0，時刻1，和時刻2(到期日)

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

兩期二叉樹

到期日(時刻2),期權(quán)的價格為:

第一期末(時刻1),期權(quán)的價格為:

在時刻0,期權(quán)的理論價格為:期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

兩期期權(quán)套期保值比率

每一期，上下，比率都在變化,隨著股票價格的變化調(diào)整組合頭寸規(guī)模以實現(xiàn)無風(fēng)險利率期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

兩期二叉樹舉例:

到期日期權(quán)價格：時刻1期權(quán)價格:期權(quán)價格：(看出長期期權(quán)價格通常大于相同條件下短期價格）期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

套期保值組合舉例:

假設(shè)由1000份看漲期權(quán)空頭，0時刻

需要以100美元價格購買701股股票.0時刻凈投資為:

V=100*701-1000*17.69=52,410

下面分步討論(假設(shè)期權(quán)為歐式)：(1).股票上漲至125,(2).股票下跌至80,(3).從125上漲至156.25(4).從125跌至100,(5).從80漲至100，(6).從80跌至64

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

套期保值組合舉例:

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

(1).股票上漲至125,

投資組合由52410到56085,由于，需要買入299股股票或買入299份期權(quán)，由于期權(quán)成本低，所以需要借入299*31.54=9430美元完成組合.

(2).股票下跌至80,

組合凈值由52410到56080,由于,我們不需要再持有股票，需要賣出所有701股股票，得到701*80=56080美元，然后投資于無風(fēng)險債券.

(3).從125上漲至156.25

價格為156.25股票701股，價值為56.25的看漲期權(quán)701份,還有前期借來的 9430*1.07美元需要償還，凈值為701*156.25-701*56.25-9430*1.07=60010(4).從125跌至100,

資產(chǎn)凈值為701*100-701*0-9430*1.07=60010(5).從80漲至100，

資產(chǎn)凈值為0*100-701*0+56080*1.07=60006

(6).從80跌至64

同上

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)---補(bǔ)充衍生品定價的幾種方法

1.博弈論方法(一般公式):

構(gòu)造組合初始值:

上升時:

下降時:

令

得:因為該投資組合無風(fēng)險:(I)

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)---補(bǔ)充衍生品定價的幾種方法

2.資產(chǎn)組合復(fù)制:

引入利率為r的無風(fēng)險資產(chǎn)(比如債券),

假設(shè)債券初始值為1美元.

構(gòu)造組合:a單位股票和b單位債券

組合初始值:

上升時:

下降時:

令

得:期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)---補(bǔ)充

將代入令,則 (II)3.概率方法(前面已經(jīng)講過)期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

期權(quán)價格偏離(假設(shè)0時刻期權(quán)價格過高)

兩期模型的整體收益率為，因此如果兩期中有一期

收益率超過無風(fēng)險利率，則總收益也超過無風(fēng)險利率.考慮1期末2期開始期權(quán)價格的狀態(tài)(2期末必定回歸理論價值）(1).價格依舊高于理論價格

第一期收益率不能確定，但第二期會超過無風(fēng)險利率(通過賣出期權(quán))

二期末期權(quán)價格應(yīng)為理論價值,總體收益超過無風(fēng)險利率(2).價格等于理論價格

第一期收益率超過無風(fēng)險利率，第二期等于無風(fēng)險利率，總體超過

無風(fēng)險利率(3).價格低于理論價格

第一期收益率超過無風(fēng)險利率，第一期末重新構(gòu)造組合，買入期權(quán)賣出股票，將得到超過無風(fēng)險利率的收益，整體還是超過無風(fēng)險利率期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

看跌期權(quán)定價

套期保值組合舉例:

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

(1).股票上漲至125,

由于,賣出所有股票,然后投入到無風(fēng)險債券(2).股票下跌至80,

由于,我們需要借入現(xiàn)金再購買701股價格為80美元的股票，相當(dāng)于701*80=56080美元利率為7%的貸款(3).從125上漲至156.25

只有7%無風(fēng)險債券收益(4).從125跌至100,

同上(5).從80漲至100，

圖示,收益率為無風(fēng)險收益,1000*100-1000*80-1000*13.46=6540

收益為6540/93460=7%

(6).從80跌至64

初始資金299*80+1000*13.46=37380,

收益(39994-37380)/37380=2614/39994=7%期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

美式期權(quán)提前執(zhí)行

在每個結(jié)點(diǎn),如果期權(quán)處于實值狀態(tài),可以考慮提前執(zhí)行該看跌期權(quán).考慮前面的例子:在時刻1,當(dāng)價格升到125時,期權(quán)處于虛值狀態(tài),我們不會考慮提前執(zhí)行.當(dāng)價格下降到80時:

根據(jù)前面的計算,歐式看跌期權(quán)價值為13.46,且期權(quán)處于實值狀態(tài).能否執(zhí)行該期權(quán),我們還要看,

如果X-S>P,則不需執(zhí)行,否則可以執(zhí)行.即如果

則選擇執(zhí)行期權(quán).該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的期權(quán)價格應(yīng)為X-S.

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行

套期保值組合舉例:

作業(yè):構(gòu)造美式看跌期權(quán)套期保值組合期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

紅利的影響

將紅利加入模型,如果紅利,除息后股票將下降.

如果除息前看漲期權(quán)內(nèi)在價值大于二叉樹模型算出的價格,應(yīng)當(dāng)執(zhí)行期權(quán).舉例: 看漲期權(quán),紅利10%,0時刻股票價格為100,股票在1時刻漲到 125或跌倒80,1時刻分紅.分紅后股價跌至112.5或72.則

在時刻2,股票價格將為: 112.5*1.25=140.625, 112.5*0.8=90=72*1.25 72*0.8=57.6如果時刻2為到期日,則到期日看漲期權(quán)的價格:

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

紅利的影響

此時,期權(quán)價格小于不分紅利的期權(quán)價格17.69.如果期權(quán)是美式的又會如何?期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

紅利對美式期權(quán)的影響

在時刻1,股票價格漲到125,期權(quán)處于實值且內(nèi)在價值為25>22.78,所以可以提前執(zhí)行,此時也可以先將股價減去紅利貼現(xiàn)值作為,在時刻1收益為(練習(xí))

注:此種方法和上面的結(jié)果有些偏差(P91-P92).因為n太小.對歐式期權(quán)偏差要小些期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

重合與不重合二叉樹

如果紅利是12,不是12.5會怎樣?

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

重合與不重合二叉樹

上升下降后結(jié)點(diǎn)重合稱為結(jié)點(diǎn)重合二叉樹,否則稱為結(jié)點(diǎn)不重合二叉樹

對于n期重合二叉樹最終又n+1個結(jié)點(diǎn),不重合二叉樹第n期最多有個結(jié)點(diǎn),因為會產(chǎn)生種不同的路徑.

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

n期二叉樹

在不分發(fā)紅利的前提下,假設(shè)ud=1(保證結(jié)點(diǎn)重合),期權(quán)價格為:(演示)注意:股票上升下降概率值不是二叉樹的變量.風(fēng)險中性

概率p是以無風(fēng)險利率計算得來的

舉例:

n=3,股票路徑為:

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

舉例:

n=3,

X=100,美式看跌期權(quán)

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

n期二叉樹

將股票波動率(標(biāo)準(zhǔn)差)考慮在內(nèi):

如果將T分成n份,則每小時間段無風(fēng)險利率為:

例如:看漲期權(quán)執(zhí)行價格為125,股票價格為125.94,期權(quán)還有35天到期,無風(fēng)險利率為4.56%則:

期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

n期二叉樹

當(dāng)n增大時,

C值逐漸收斂真實值期權(quán)二叉樹定價理論(CRR)

n期二叉樹

調(diào)整上漲下跌參數(shù),不調(diào)整無風(fēng)險利率計算方法,

隨著n的增大,

p趨于0.5,ud趨于1,且不要求ud=1,但計算結(jié)果接近.

二叉樹的優(yōu)點(diǎn):與股票走勢概率無關(guān),輕松應(yīng)對美式期權(quán)定價,構(gòu)造套期保值組合期權(quán)定價理論(Black-Scholes模型)

背景: 19世紀(jì)蘇格蘭科學(xué)家布朗發(fā)現(xiàn)花粉在水中運(yùn)動---布朗運(yùn)動

20世紀(jì)早期,愛因斯坦研究相對論運(yùn)用布朗運(yùn)動原理解釋分子運(yùn)動

奠基理論:維納過程(WienerProcess),伊藤引理(Ito’