湖北省枝江市部分高中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

湖北省枝江市部分高中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中不正確的為（）A. B.C. D.2．已知點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于G、H兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知雙曲線C：(a>0，b>0)，斜率為的直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為P(2，4)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x5．與的等差中項(xiàng)是（）A. B.C. D.6．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角終邊上有一點(diǎn)（1，2），為銳角，且，則（）A.-18 B.-6C. D.7．“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．當(dāng)實(shí)數(shù)，m變化時(shí)，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.69．某市2016年至2020年新能源汽車年銷量y（單位：百臺）與年份代號x的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代號x01234年銷量y1015m3035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為，則表中m的值為（）A.22 B.20C.30 D.32.510．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的任意一點(diǎn)，為平面上點(diǎn)，則的最小值為A.3 B.2C.4 D.11．在空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.12．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念．在研究切線時(shí)認(rèn)識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若，對，且．總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足不等式組，則的最大值為________.14．經(jīng)過點(diǎn)作直線，直線與連接兩點(diǎn)線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是________15．已知點(diǎn)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)為定點(diǎn)的三角形的面積為4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____________16．函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：,且是,的等差中項(xiàng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若,,求18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：19．（12分）設(shè)，為雙曲線：（，）的左、右頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)點(diǎn)距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線傾斜角變化時(shí)，以為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由20．（12分）在三棱柱中，側(cè)面正方形的中心為點(diǎn)平面，且，點(diǎn)滿足（1）若平面，求的值；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若平面與平面所成角的正弦值為，求的值21．（12分）已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.22．（10分）已知三點(diǎn)共線，其中是數(shù)列中的第n項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求導(dǎo)，根據(jù)題意可得，從而可得出答案.【詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，即.所以ABD正確，C錯(cuò)誤.故選：C.2、B【解析】根據(jù)是等腰三角形且為銳角三角形，得到，即，解得離心率范圍.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，，不妨取，，是等腰三角形且為銳角三角形，則，即，，即，，解得，故.故選：B.3、C【解析】設(shè)，代入雙曲線方程相減后可求得，從而得漸近線方程【詳解】設(shè)，則，相減得，∴，又線段的中點(diǎn)為P(2，4)，的斜率為1，∴，，∴漸近線方程為故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的漸近線方程，已知弦的中點(diǎn)（或涉及到中點(diǎn)），可設(shè)弦兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程后作差，作差后式子中有直線的斜率，弦中點(diǎn)坐標(biāo)，有．這種方法叫點(diǎn)差法4、C【解析】過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，利用拋物線的定義和平行線的性質(zhì)、直角三角形求解【詳解】如圖，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由拋物線定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，從而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此拋物線的方程為y2＝3x，故選：C.5、A【解析】代入等差中項(xiàng)公式即可解決.【詳解】與的等差中項(xiàng)是故選：A6、A【解析】由終邊上的點(diǎn)可得，由同角三角函數(shù)的平方、商數(shù)關(guān)系有，再應(yīng)用差角、倍角正切公式即可求.【詳解】由題設(shè)，，，則，又，，所以.故選：A7、A【解析】根據(jù)題意，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求出，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由直線與圓相切，知圓心到直線的距離，解得或，因此“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：A.8、D【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知可以表示單位圓上點(diǎn)到直線的距離，利用圓的性質(zhì)結(jié)合圖形即得.【詳解】由題可知，可以表示單位圓上點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，因直線，即表示恒過定點(diǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)可得.故選：D.9、B【解析】求出樣本中心的橫坐標(biāo)，代入回歸直線方程，求出樣本中心的縱坐標(biāo)，然后求解即可【詳解】因?yàn)?，代入回歸直線方程為，所以，，于是得，解得故選：B10、A【解析】作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】如圖，作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，由題意可得，顯然，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最??；因?yàn)?，，?zhǔn)線，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線上任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的和的最值問題，熟記拋物線的定義與性質(zhì)即可，屬于常考題型.11、B【解析】由題意結(jié)合圖形，直接利用，求出，然后即可解答.【詳解】解：因?yàn)榭臻g四邊形OABC如圖，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，所以.所以.故選：B.12、C【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，所以C正確，同理，由圖可知，故D不正確.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解析】作出不等式區(qū)域,如圖所示:目標(biāo)最大值,即為平移直線的最大縱截距,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)最大為10.故答案為10.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.14、【解析】求出的斜率，結(jié)合圖形可得結(jié)論【詳解】，，而，因此，故答案為：15、【解析】由題可得P到x軸的距離為1，把代入，得，可得P點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】設(shè)，由題意知，所以，則，由題意可得，把代入，得，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：16、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，根據(jù)切點(diǎn)在切線上可得.【詳解】因?yàn)榍芯€的斜率為，所以，又切點(diǎn)在切線上，所以，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）將已知條件整理變形為等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比來表示，解方程組得到基本量，可得到通項(xiàng)公式（2）化簡通項(xiàng)得，根據(jù)特點(diǎn)求和時(shí)采用錯(cuò)位相減法求解試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意，有2（）=+,代入,得=8,2分∴+=20∴解之得或4分又單調(diào)遞增，∴="2,"=2,∴=2n6分（2）,∴①8分∴②∴①-②得＝12分考點(diǎn)：1．等比數(shù)列通項(xiàng)公式；2．錯(cuò)位相減求和18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和，即可證明；【小問1詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，所以①，所以②；①②得所以；19、（1）；（2）①；②定點(diǎn)有兩個(gè)，【解析】（1）由雙曲線方程有、、，根據(jù)已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設(shè)有，結(jié)合（1）求雙曲線參數(shù)，寫出雙曲線方程即可；②由題設(shè)可設(shè)為，，，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理求，，，，再由、的方程求，坐標(biāo)，若在為直徑的圓上點(diǎn)，由結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由題設(shè)，若，且，又△為等腰直角三角形，∴，即，則又，可得.【小問2詳解】由題設(shè)，，由（1）有，則，即，①由上可知：雙曲線方程為.②由①知：，且直線的斜率不為0，設(shè)為，，，聯(lián)立直線與雙曲線得：，∴，，則，∴，∴直線為；直線為；∴，，若在為直徑的圓上點(diǎn)，∴，且，∴，令，則，∴，即，∴或，即過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的②，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與雙曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，，，進(jìn)而根據(jù)、的方程求，坐標(biāo)，再由圓的性質(zhì)及向量垂直的坐標(biāo)表示求定點(diǎn)坐標(biāo).20、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)連接ME，證明即可計(jì)算作答.(2)以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算點(diǎn)到平面的距離即可.(3)由(2)中空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求平面與平面所成角的余弦即可計(jì)算作答.【小問1詳解】在三棱柱中，因，即點(diǎn)在上，連接ME，如圖，因平面面，面面，則有，而為中點(diǎn)，于是得為的中點(diǎn)，所以.【小問2詳解】在三棱柱中，面面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，又為正方形，即，而平面，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，依題意，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，又，則到平面的距離，所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問3詳解】因，則，，設(shè)面的法向量為，則，令，得，于是得，而平面與平面所成角的正弦值為，則，即，整理得，解得或，所以的值是或.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：空間向量求二面角時(shí)，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量