專項12-全等三角形中的經(jīng)典模型-六大題型

全等三角形中的經(jīng)典模型-六大題型【知識點1平移模型】【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.【常見模型】【題型1平移模型】【例1】（義馬市期末）如圖，點A，E，F(xiàn)，B在直線l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求證：△ACF≌△BDE．【變式1-1】（曾都區(qū)期末）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AC＝DF．老師說：還添加一個條件就可使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個同學(xué)的發(fā)言：甲：添加BE＝CF，乙：添加AC∥DF，丙：添加∠A＝∠D．（1）甲、乙、丙三個同學(xué)的說法正確的是；（2）請你從正確的說法中，選取一種給予證明．【變式1-2】（東坡區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，點E是BC邊的中點，點D在AB邊上，現(xiàn)將△DBE沿著BA方向向左平移至△ADF的位置，則四邊形DECF的周長為cm．【變式1-3】（富順縣校級月考）如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖2，3時，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．【知識點2軸對稱模型】【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見模型】【題型2軸對稱模型】【例2】（安丘市期末）如圖，已知△ACF≌△DBE，且點A，B，C，D在同一條直線上，∠A＝50°，∠F＝40°．（1）求△DBE各內(nèi)角的度數(shù)；（2）若AD＝16，BC＝10，求AB的長．【變式2-1】（隴縣一模）如圖，在△ABC中，已知CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，∠DCB＝∠EBC．求證：AD＝AE．【變式2-2】（句容市期末）如圖，已知△AOD≌△BOC．求證：AC＝BD．【變式2-3】（海珠區(qū)校級期中）如圖，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一點．求證：∠BDP＝∠CDP．【知識點3旋轉(zhuǎn)模型】【模型解讀】將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件.【常見模型】【題型3旋轉(zhuǎn)模型】【例3】（環(huán)江縣期中）如圖，AB＝AE，AB∥DE，∠1＝70°，∠D＝110°．求證：△ABC≌△EAD．證明：∵∠1＝70°，∴（）．又∵∠D＝110°，∴（）．∵AB∥DE，∴（）．在△ABC和△EAD中，(????)(????)∴△ABC≌△EAD（AAS）．【變式3-1】（濟南期末）如圖1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，過點B作BC⊥AE于點C，在BC上截取CD＝CE，連接AD、DE并延長AD交BE于點P；（1）求證：AD＝BE；（2）試說明AD平分∠BAE；（3）如圖2，將△CDE繞著點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，那么AD與BE的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，說明理由．【變式3-2】（高港區(qū)校級月考）已知，如圖，AD、BF相交于O點，點E、C在BF上，且BE＝FC，AC＝DE，AB＝DF．求證：（1）AO＝DO；（2）AC∥DE．【變式3-3】（錦州模擬）如圖，將兩個全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（圖1），△ABD不動．（1）若將△ACE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖2），證明：MB＝MC．（2）若將圖1中的CE向上平移，∠CAE不變，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)量關(guān)系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改變（圖4），其他條件不變，則（2）中的MB、MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由．【知識點4一線三等角模型】【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【題型4一線三等角模型】【例4】（香坊區(qū)期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點都在直線m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為BD＝AE，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為CE＝AD；（2）如圖②，判斷并說明線段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，點A在線段DE上以2cm/s的速度由點D向點E運動，同時，點C在線段EF上以xcm/s的速度由點E向點F運動，它們運動的時間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．【變式4-1】（東至縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．【變式4-2】（歷下區(qū)期中）CD是經(jīng)過∠BCA定點C的一條直線，CA＝CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E、F在射線CD上，①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如圖1，則BECF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如圖2，①中的兩個結(jié)論還成立嗎？并說明理由；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，請直接寫出線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．【變式4-3】（余杭區(qū)月考）如圖①，點B、C在∠MAN的邊AM、AN上，點E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求證：△ABE≌△CAF．應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點D在邊BC上，且CD＝2BD，點E，F(xiàn)在線段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面積為15，求△ABE與△CDF的面積之和．【知識點5倍長中線模型模型】【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．【常見模型】【題型5倍長中線模型】【例5】（博興縣期末）如圖，BD是△ABC的中線，AB＝6，BC＝4，求中線BD的取值范圍．【變式5-1】（涪城區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，E是AD上一點，BE＝AC，BE的延長線交AC于F，求證：∠AEF＝∠EAF．【變式5-2】（浠水縣校級模擬）（1）在△ABC中，AD為△ABC的中線，AB＝6，AC＝4，則AD的取值范圍是；（2）如圖，在△ABC中，AD為△ABC的中線，點E在中線AD上，且BE＝AC，連接并延長BE交AC于點F．求證：AF＝FE．【變式5-3】（丹陽市期中）八年級一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED＝AD，連接BE，寫出圖中全等的兩個三角形【理解與應(yīng)用】（2）填空：如圖2，EP是△DEF的中線，若EF＝5，DE＝3，設(shè)EP＝x，則x的取值范圍是．（3）已知：如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC＝∠ACB，點Q在BC的延長線上，QC＝BC，求證：AQ＝2AD．【知識點6截長補短模型】【模型解讀】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系.截長，指在長線段中截取一段等于已知線段;補短，指將短線段延長，延長部分等于已知線段.該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句,可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程【題型6截長補短模型】【例6】（西崗區(qū)期末）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求證：AC＝AB+BD；小明通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補短”兩種方法解決問題：方法一：如圖2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，連接DE，可以得到全等三角形，進而解決問題．方法二：如圖3，延長AB到點E，使得BE＝BD，連接DE，可以得到等腰三角形，進而解決問題．（1）根據(jù)閱讀材料，任選一種方法證明AC＝AB+BD，根據(jù)自己的解題經(jīng)驗或參考小明的方法，解決下面的問題；（2）如圖4，四邊形ABCD中，E是BC上一點，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式6-1】（蘄春縣期中）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，△ABC的角平分線AD、CE交于點O．求證：AC＝AE+CD．【變式6-2】（新?lián)釁^(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB的中點，DE平分∠ADC．（1）求證：CE平分∠BCD；（2）求證：AD+BC＝CD；（3）若AB＝12，CD＝13，求S△CDE．【變式6-3】（黃石期末）已知△ABC和△DEF為等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，點E在AB上，點F在射線AC上．（1）如圖1，若∠BAC＝60°，點F與點C重合，求證：AF＝AE+AD；（2）如圖2，若AD＝AB，求證：AF＝AE+BC．

全等三角形中的經(jīng)典模型-六大題型（解析版）【知識點1平移模型】【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.【常見模型】【題型1平移模型】【例1】（義馬市期末）如圖，點A，E，F(xiàn)，B在直線l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求證：△ACF≌△BDE．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAF＝∠DBE，根據(jù)SAS證明△ACF≌△BDE即可．【解答】證明：∵AE＝BF，∴AE+EF＝BF+EF，即AF＝BE；∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，又∵AC＝BD，在△ACF與△BDE中，AC=BD∠CAF=∠DBE∴△ACF≌△BDE（SAS）．【變式1-1】（曾都區(qū)期末）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AC＝DF．老師說：還添加一個條件就可使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個同學(xué)的發(fā)言：甲：添加BE＝CF，乙：添加AC∥DF，丙：添加∠A＝∠D．（1）甲、乙、丙三個同學(xué)的說法正確的是甲、丙；（2）請你從正確的說法中，選取一種給予證明．【分析】（1）加上條件BE＝CF或∠A＝∠D的條件即可證明兩個三角形全等，添加AC∥DF不能證明△ABC≌△DEF；（2）添加BE＝CF可得BC＝EF，利用SSS判定△ABC≌△DEF即可,添加∠A＝∠D,可用SAS證明△ABC≌△DEF．【解答】解：（1）說法正確的是：甲、丙，故答案為：甲、丙；（2）選甲的做法，證明：∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=DEAC=DF∴△ABC≌△DEF（SSS）．選丙的做法,在△ABC和△DEF中,AB=DE∠A=∠D∴△ABC≌△DEF（SAS）．【變式1-2】（東坡區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，點E是BC邊的中點，點D在AB邊上，現(xiàn)將△DBE沿著BA方向向左平移至△ADF的位置，則四邊形DECF的周長為cm．【分析】連接EF，證明△CEF≌△DFE（ASA），推出DE＝CF，可得結(jié)論．【解答】解：連接EF．由平移的性質(zhì)可知，AF＝DE．EF＝AD，AF∥DE，EF∥AD，DF∥BC，∴∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，在△CEF和△DFE中，∠CEF=∠EFDEF=FE∴△CEF≌△DFE（ASA），∴DE＝CF，∴AF＝CF＝DE＝3cm∵E是BC的中點，∴EC＝EB＝DF＝5.5cm，∴四邊形DECF的周長＝2（3+5.5）＝17cm．故答案為：17．【變式1-3】（富順縣校級月考）如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖2，3時，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．【分析】可以根據(jù)已知利用SAS判定△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖（2）、（3）時，其余條件不變，結(jié)論仍然成立．可以利用全等三角形的常用的判定方法進行驗證．【解答】解：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD．∵DE∥AF，∴∠A＝∠D．在△AFC和△DEB中，AF=DE∠A=∠D∴△AFC≌△DEB（SAS）．在（2），（3）中結(jié)論依然成立．如在（3）中，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝BD，∵AF∥DE，∴∠A＝∠D．在△ACF和△DEB中，AF=DE∠A=∠D∴△ACF≌△DEB（SAS）．【知識點2軸對稱模型】【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見模型】【題型2軸對稱模型】【例2】（安丘市期末）如圖，已知△ACF≌△DBE，且點A，B，C，D在同一條直線上，∠A＝50°，∠F＝40°．（1）求△DBE各內(nèi)角的度數(shù)；（2）若AD＝16，BC＝10，求AB的長．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠D、∠E，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EBD即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC＝BD，求出AB＝CD，即可求出答案．【解答】解：（1）∵△ACF≌△DBE，∠A＝50°，∠F＝40°，∴∠D＝∠A＝50°，∠E＝∠F＝40°，∴∠EBD＝180°﹣∠D﹣∠E＝90°；（2）∵△ACF≌△DBE，∴AC＝BD，∴AC﹣BC＝DB﹣BC，∴AB＝CD，∵AD＝16，BC＝10，∴AB＝CD=12（AD﹣【變式2-1】（隴縣一模）如圖，在△ABC中，已知CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，∠DCB＝∠EBC．求證：AD＝AE．【分析】由“AAS”可證△ADC≌△AEB，可得AD＝AE．【解答】證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∠DCB＝∠EBC，∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC，在△ADC和△AEB中，∠A=∠A∠ADC=∠AEB=90°∴△ADC≌△AEB（AAS），∴AD＝AE．【變式2-2】（句容市期末）如圖，已知△AOD≌△BOC．求證：AC＝BD．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等式的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：∵△AOD≌△BOC，∴AO＝BO，CO＝DO，∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD﹣∠COD＝∠BOC﹣∠COD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD．【變式2-3】（海珠區(qū)校級期中）如圖，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一點．求證：∠BDP＝∠CDP．【分析】求出∠ABP＝∠ACP＝90°，根據(jù)HL推出Rt△ABP≌Rt△ACP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BPD＝∠CPD，根據(jù)SAS推出△BPD≌△CPD，即可得出答案．【解答】證明：∵PB⊥AB，PC⊥AC，∴∠ABP＝∠ACP＝90°，∴在Rt△ABP和Rt△ACP中AP=APPB=PC∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL），∴∠BPD＝∠CPD，在△BPD和△CPD中PB=PC∠BPD=∠CPD∴△BPD≌△CPD，∴∠BDP＝∠CDP．【知識點3旋轉(zhuǎn)模型】【模型解讀】將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件.【常見模型】【題型3旋轉(zhuǎn)模型】【例3】（環(huán)江縣期中）如圖，AB＝AE，AB∥DE，∠1＝70°，∠D＝110°．求證：△ABC≌△EAD．證明：∵∠1＝70°，∴∠2＝110°（鄰補角的性質(zhì)）．又∵∠D＝110°，∴∠2＝∠D（等量代換）．∵AB∥DE，∴∠3＝∠E（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．在△ABC和△EAD中，(????)(????)∴△ABC≌△EAD（AAS）．【分析】由鄰補角的性質(zhì)求出∠2＝110°，由平行線的性質(zhì)得出∠3＝∠E，根據(jù)AAS可證△ABC≌△EAD．【解答】證明：∵∠1＝70°，∴∠2＝110°（鄰補角的性質(zhì)），又∵∠D＝110°，∴∠2＝∠D（等量代換），∵AB∥DE，∴∠3＝∠E（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），在△ABC和△EAD中，∠2=∠D∠3=∠E∴△ABC≌△EAD（AAS）．故答案為：∠2＝110°；鄰補角的性質(zhì)；∠2＝∠D；等量代換；∠3＝∠E；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠2＝∠D；∠3＝∠E．【變式3-1】（濟南期末）如圖1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，過點B作BC⊥AE于點C，在BC上截取CD＝CE，連接AD、DE并延長AD交BE于點P；（1）求證：AD＝BE；（2）試說明AD平分∠BAE；（3）如圖2，將△CDE繞著點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，那么AD與BE的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，說明理由．【分析】（1）利用SAS證明△BCE≌△ACD，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AD＝BE．（2）根據(jù)△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由∠BDP＝∠ADC，得到∠BPD＝∠DCA＝90°，利用等腰三角形的三線合一，即可得到AD平分∠BAE；（3）AD⊥BE不發(fā)生變化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由對頂角相等得到∠BFP＝∠AFC，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，所以∠BPF＝∠ACF＝90°，即AD⊥BE．【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，∴∠CBA＝∠CAB，∴BC＝CA，在△BCE和△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACD=90°∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BDP＝∠ADC，∴∠BPD＝∠DCA＝90°，∵AB＝AE，∴AD平分∠BAE．（3）AD⊥BE不發(fā)生變化．如圖2，∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BFP＝∠AFC，∴∠BPF＝∠ACF＝90°，∴AD⊥BE．【變式3-2】（高港區(qū)校級月考）已知，如圖，AD、BF相交于O點，點E、C在BF上，且BE＝FC，AC＝DE，AB＝DF．求證：（1）AO＝DO；（2）AC∥DE．【分析】（1）易證△ABC≌△DFE，可得∠B＝∠F，可證△ABO≌△DFO，可得AO＝DO；（2）易證△ABC≌△DFE，可得∠DEF＝∠ACB，可得AC∥DE．【解答】解：（1）∵BE＝CF，∴BC＝FE，在△ABC和△DFE中，AB=DFAC=DE∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠B＝∠F，∵在△ABO和△DFO中，∠DOF=∠AOB∠B=∠F∴△ABO≌△DFO（AAS），∴AO＝DO；（2）∵△ABC≌△DFE，∴∠DEF＝∠ACB，∴AC∥DE．【變式3-3】（錦州模擬）如圖，將兩個全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（圖1），△ABD不動．（1）若將△ACE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖2），證明：MB＝MC．（2）若將圖1中的CE向上平移，∠CAE不變，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)量關(guān)系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改變（圖4），其他條件不變，則（2）中的MB、MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由．【分析】（1）連接AM，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得AD＝AE，AB＝AC，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAD＝∠CAE，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到∠MAD＝∠MAE，然后利用“邊角邊”證明△ABM和△ACM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；（2）延長DB、AE相交于E′，延長EC交AD于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BD＝BE′，然后求出MB∥AE′，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠MBC＝∠CAE，同理求出MC∥AD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠BCM＝∠BAD，然后求出∠MBC＝∠BCM，再根據(jù)等角對等邊即可得證；（3）延長BM交CE于F，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠MDB＝∠MEF，∠MBD＝∠MFE，然后利用“角角邊”證明△MDB和△MEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MB＝MF，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明即可．【解答】證明：（1）如圖2，連接AM，由已知得△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，∵MD＝ME，∴∠MAD＝∠MAE，∴∠MAD﹣∠BAD＝∠MAE﹣∠CAE，即∠BAM＝∠CAM，在△ABM和△ACM中，AB=AC∠BAM=∠CAM∴△ABM≌△ACM（SAS），∴MB＝MC；（2）MB＝MC．理由如下：如圖3，延長DB、AE相交于E′，延長EC交AD于F，∴BD＝BE′，CE＝CF，∵M是ED的中點，B是DE′的中點，∴MB∥AE′，∴∠MBC＝∠CAE，同理：MC∥AD，∴∠BCM＝∠BAD，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠MBC＝∠BCM，∴MB＝MC；解法二：如圖3中，延長CM交BD于點T．∵EC∥DT，∴∠CEM＝∠TDM，在△ECM和△DTM中，∠CEM=∠TDMEM=DM∴△ECM≌△DTM（ASA），∴CM＝MT，∵∠CBT＝90°，∴BM＝CM＝MT．（3）MB＝MC還成立．如圖4，延長BM交CE于F，∵CE∥BD，∴∠MDB＝∠MEF，∠MBD＝∠MFE，又∵M是DE的中點，∴MD＝ME，在△MDB和△MEF中，∠MDB=∠MEF∠MBD=∠MFE∴△MDB≌△MEF（AAS），∴MB＝MF，∵∠ACE＝90°，∴∠BCF＝90°，∴MB＝MC．【知識點4一線三等角模型】【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【題型4一線三等角模型】【例4】（香坊區(qū)期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點都在直線m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為BD＝AE，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為CE＝AD；（2）如圖②，判斷并說明線段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，點A在線段DE上以2cm/s的速度由點D向點E運動，同時，點C在線段EF上以xcm/s的速度由點E向點F運動，它們運動的時間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用平角的定義和三角形內(nèi)角和定理得∠CAE＝∠ABD，再利用AAS證明△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD；（2）由（1）同理可得△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，可得答案；（3）分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC兩種情形，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可解決問題．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案為：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，當(dāng)△DAB≌△ECA時，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此時x＝2；當(dāng)△DAB≌△EAC時，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t=AD2=94綜上：t＝1，x＝2或t=94，x【變式4-1】（東至縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．【分析】由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根據(jù)AAS證明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD與△ACE中，∠BDA=∠AEC∠BAD=∠ACE∴△BAD≌△ACE（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD+AE＝10，∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．【變式4-2】（歷下區(qū)期中）CD是經(jīng)過∠BCA定點C的一條直線，CA＝CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E、F在射線CD上，①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如圖1，則BECF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如圖2，①中的兩個結(jié)論還成立嗎？并說明理由；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，請直接寫出線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．【分析】（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．【解答】解：（1）①如圖1，E點在F點的左側(cè)，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，∴∠BEC＝∠AFC＝90°，∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFC∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，當(dāng)E在F的右側(cè)時，同理可證EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；故答案為＝，＝．②：①中兩個結(jié)論仍然成立；證明：如圖2，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠α+∠ACB＝180°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFCBC=AC，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，當(dāng)E在F的右側(cè)時，如圖3，同理可證EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；（2）EF＝BE+AF．理由是：如圖4，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，∴∠EBC＝∠ACF，在△BEC和△CFA中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFC∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF＝CE，BE＝CF，∵EF＝CE+CF，∴EF＝BE+AF．【變式4-3】（余杭區(qū)月考）如圖①，點B、C在∠MAN的邊AM、AN上，點E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求證：△ABE≌△CAF．應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點D在邊BC上，且CD＝2BD，點E，F(xiàn)在線段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面積為15，求△ABE與△CDF的面積之和．【分析】（1）由“ASA”可證△ABE≌△CAF；（2）由“ASA”可證△ABE≌△CAF，由全等三角形的性質(zhì)可得S△ABE＝S△CAF，由三角形的面積關(guān)系可求解．【解答】證明：（1）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）∴S△ABE＝S△CAF，∵CD＝2BD，△ABC的面積為15，∴S△ACD＝10＝S△ABE+S△CDF．【知識點5倍長中線模型模型】【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．【常見模型】【題型5倍長中線模型】【例5】（博興縣期末）如圖，BD是△ABC的中線，AB＝6，BC＝4，求中線BD的取值范圍．【分析】延長BD到E，使DE＝BD，證明兩邊之和大于BE＝2BD，兩邊之差小于BE＝2BD，證明三角形全等，得到線段相等，等量代換得1＜BD＜5．【解答】解：如圖所示，延長BD到E，使DE＝BD，連接AE，∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，在△ADE和△CDB中，AD=CD∠ADE=∠CDB∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE＝BC，在△ABE中，有AB﹣AE＜BE＜AB+AE，即2＜2BD＜10，∴1＜BD＜5．【變式5-1】（涪城區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，E是AD上一點，BE＝AC，BE的延長線交AC于F，求證：∠AEF＝∠EAF．【分析】延長AD到G使DG＝AD，連接BG，通過△ACD≌△GBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CAD＝∠G，AC＝BG，等量代換得到BE＝BG，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠G＝∠BEG，即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，延長AD到G使DG＝AD，連接BG，在△ACD與△GBD中，CD=BD∠ADC=∠BDG∴△ACD≌△GBD，∴∠CAD＝∠G，AC＝BG，∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠G＝∠BEG，∵∠BEG＝∠AEF，∴∠AEF＝∠EAF．【變式5-2】（浠水縣校級模擬）（1）在△ABC中，AD為△ABC的中線，AB＝6，AC＝4，則AD的取值范圍是1＜AD＜5；（2）如圖，在△ABC中，AD為△ABC的中線，點E在中線AD上，且BE＝AC，連接并延長BE交AC于點F．求證：AF＝FE．【分析】（1）延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，利用“邊角邊”證明△ACD和△EBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE＝AC，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后求解即可．（2）延長AD到點G，使DG＝DE，連接CG．證明△BDE≌△CDG（SAS）．由全等三角形的性質(zhì)可得出BE＝CG，∠BED＝∠G．得出∠G＝∠GAC，∠AEF＝∠GAC，則可得出結(jié)論．【解答】（1）解：如圖，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，DE=AD∠ADC=∠EDB∴△ACD≌△EBD（SAS），∴BE＝AC，由三角形三邊關(guān)系得，6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5．（2）證明，延長AD到點G，使DG＝DE，連接CG．∵AD是中線，∴BD＝DC．在△BDE和△CDG中，BD=CD∠BDE=∠CDG∴△BDE≌△CDG（SAS）．∴BE＝CG，∠BED＝∠G．∵∠AEF＝∠BFD，∴∠AEF＝∠G．∵BE＝AC，∴AC＝CG，∴∠G＝∠GAC，∴∠AFE＝∠GAC，∴AE＝EF．【變式5-3】（丹陽市期中）八年級一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED＝AD，連接BE，寫出圖中全等的兩個三角形【理解與應(yīng)用】（2）填空：如圖2，EP是△DEF的中線，若EF＝5，DE＝3，設(shè)EP＝x，則x的取值范圍是．（3）已知：如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC＝∠ACB，點Q在BC的延長線上，QC＝BC，求證：AQ＝2AD．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；（2）延長EP至點Q，使PQ＝PE，連接FQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FQ＝DE＝3，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論；（3）延長AD到M，使MD＝AD，連接BM，于是得到AM＝2AD由已知條件得到BD＝CD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM＝CA，∠M＝∠CAD，于是得到∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，推出△ACQ≌△MBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：在△ADC與△EDB中，AD=DE∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△EDB；故答案為：△ADC≌△EDB；（2）解：如圖2，延長EP至點Q，使PQ＝PE，連接FQ，在△PDE與△PQF中，PE=PQ∠EPD=∠QPF∴△PEP≌△QFP，∴FQ＝DE＝3，在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，∴x的取值范圍是1＜x＜4；故答案為：1＜x＜4；（3）證明：如圖3，延長AD到M，使MD＝AD，連接BM，∴AM＝2AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△BMD與△CAD中，MD=AD∠BDA=∠CDA∴△BMD≌△CAD，∴BM＝CA，∠M＝∠CAD，∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC，∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M），∴∠ACQ＝∠MBA，∵QC＝BC，∴QC＝AB，在△ACQ與△MBA中，BM=CA∠ACQ=∠MBA∴△ACQ≌△MBA，∴AQ＝AM＝2AD．【知識點6截長補短模型】【模型解讀】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系.截長，指在長線段中截取一段等于已知線段;補短，指將短線段延長，延長部分等于已知線段.該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句,可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程【題型6截長補短模型】【例6】（西崗區(qū)期末）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求證：AC＝AB+BD；小明通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補短”兩種方法解決問題：方法一：如圖2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，連接DE，可以得到全等三角形，進而解決問題．方法二：如圖3，延長AB到點E，使得BE＝BD，連接DE，可以得到等腰三角形，進而解決問題．（1）根據(jù)閱讀材料，任選一種方法證明AC＝AB+BD，根據(jù)自己的解題經(jīng)驗或參考小明的方法，解決下面的問題；（2）如圖4，四邊形ABCD中，E是BC上一點，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定求出△ABD≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，求出ED＝EC，BD＝EC，即可得出答案；（2）在EB上截取EF，使得EF＝DC，連接AF，求出∠AEB＝∠CDE，根據(jù)全等三角形的判定得出△AEF≌△EDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EC＝AF∠AFE＝∠C＝2∠B，求出∠ABF＝∠BAF，推出BF＝AF，即可得出答案．【解答】（1）證明：方法一：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△BAD和△EAD中AD=AD∠BAD=∠EAD∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AC＝AB+BD；（2）DC、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系是BE＝DC+CE，證明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，連接AF，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，∵∠DAE+∠B＝90°，∴2∠DAE+2∠B＝180°，∴∠AED＝2∠B＝∠C，∵∠BED＝∠CDE+∠DAE，∴∠AEB＝∠CDE，在△AEF和△EDC中EF=DC∠AEF=∠EDC∴△AEF≌