第十九章 幾何證明（6類壓軸題專練）

第十九章幾何證明（6類壓軸題專練）壓軸題型一幾何證明壓軸題型1．（2023上·北京豐臺·八年級北京市第十二中學(xué)校考期中）下列命題正確的是（）①兩個等邊三角形一定全等；②兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；③有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等；④兩條邊和其中一條邊上的中線分別相等的兩個三角形全等．A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④2．（2023上·黑龍江綏化·七年級?？计谥校┫铝忻}：①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②是分?jǐn)?shù)；③已知平面直角坐標(biāo)系中點到坐標(biāo)軸的距離相等，則；④任意一個實數(shù)都可以進行開立方運算．⑤在平面直角坐標(biāo)系中，點一定在第二象限．其中真命題有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列語句中：①是方程；②直線外一點到這條直線的垂線段叫做點到直線的距離；③過一點有且只有一條直線平行于已知直線；④同位角相等；⑤兩條直線相交，若鄰補角相等，則這兩條直線互相垂直；⑥過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，其中是真命題的個數(shù)有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2021下·湖北武漢·七年級?？茧A段練習(xí)）下列命題，其中真命題有()①相等的兩個角是對頂角；②同旁內(nèi)角互補；③垂線段最短；④過一點有且只有一條直線與這條直線平行；⑤在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則；⑥在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2023上·云南昭通·八年級?？茧A段練習(xí)）下列命題中：①形狀相同的兩個三角形是全等三角形；②在兩個全等三角形中，相等的角是對應(yīng)角，相等的邊是對應(yīng)邊；③全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)的角平分線分別相等；④同一平面上，兩個全等三角形一定可以沿某條直線翻折．其中真命題的是______．6．（2022下·河北石家莊·七年級校考期末）在長度為、、、的四條線段中，任取三條線段，可構(gòu)成______個不同的三角形；如圖，有下列三個條件：①；②；③．若從這三個條件中任選兩個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論，組成一個命題，一共能組成______個真命題．7．（2023下·北京西城·七年級?？计谥校?月13日，三帆中學(xué)迎來了第十二屆科技節(jié)．各種活動精彩紛呈，同學(xué)們積極踴躍地參與其中．小陽、小月、小星、小辰四位同學(xué)參加了①紙牌承重、②科技狀元榜、③望遠(yuǎn)鏡制作和④紙飛機這四個項目．每人只能參加一個項目且四人參加的項目互不相同，已知小陽參加了科技狀元榜、望遠(yuǎn)鏡制作中的一個，小月參加了紙牌承重、科技狀元榜中的一個，小星參加了紙牌承重、望遠(yuǎn)鏡制作中的一個，參加科技狀元榜的是小陽或小辰中的其中一個．請你依次寫出小陽、小月、小星、小辰分別參加的項目名稱所對應(yīng)的數(shù)字編號___________．8．（2021下·浙江杭州·八年級杭州春蕾中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程，下列命題中是正確的有__________（填序號）．①若，則；②若方程兩個根為和3，則；③若，則方程一定有兩實數(shù)數(shù)根，并且這兩個根互為相反數(shù)；④若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則方程必有兩個不相等的實數(shù)根．9．（2023下·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，點是上的一點，

(1)給出以下3個條件：①是角平分線，②，③與平行；從中選擇兩個作為條件，另外一個作為結(jié)論．你選擇的條件是______，結(jié)論是______（填序號）；(2)請證明你的結(jié)論．10．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級丹陽市第八中學(xué)?？计谀┯^察下列算式：算式①：算式②：算式③：…(1)按照以上三個算式的規(guī)律，請寫出算式④：____________；(2)上述算式用文字可表述為：“兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除”．若設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)分別為，（n為整數(shù)），請證明這個命題成立；(3)命題：“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差能被8整除”是____________命題（填“真”或“假”）：壓軸題型二線段的垂直平分線壓軸題型1．（2023上·福建莆田·八年級莆田二中?？计谥校┤鐖D，中，，點M，N分別在上，將沿直線翻折，點A的對應(yīng)點D恰好落在邊上（不含端點B，C），下列結(jié)論中不正確的是（）

A．直線垂直平分 B．C． D．若M是中點，則2．（2023上·江蘇泰州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，中，，點M，N分別在，上，將沿直線翻折，點A的對應(yīng)點D恰好落在邊上（不含端點B，C），下列結(jié)論：①直線垂直平分；②；③；④若M是中點，則．其中一定正確的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④3．（2022上·廣東廣州·九年級廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？甲灾髡猩┤鐖D，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點，將沿在上，在上)折疊，點與點恰好重合，則為()

A． B． C． D．4．（2023上·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校?？茧A段練習(xí)）如圖，中，是的角平分線，延長至，使得，連接．下列判斷：；；平分；的面積的面積，一定成立的個數(shù)是（）

A．個 B．個 C．個 D．個5．（2023上·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，于D，平分，且于E，與相交于點F，于H交于G．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是______．

6．（2022上·北京·八年級北京市十一學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在中，面積為于點，直線垂直平分交于點，交于點為直線上一動點，則的周長的最小值為___________．

7．（2023上·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，，點P，D分別為，上的動點，則的最小值是__________．

8．（2023上·福建莆田·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，的角平分線和的平分線相交于點，交于點，交的延長線于點，過點作交的延長線于點，交的延長線于點，連接并延長交于點，則下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的有______．（填序號）

9．（2023上·云南昆明·八年級昆明八中?？计谥校┌四昙壱话鄶?shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．

【閱讀理解】如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的：延長至，使，連接．利用與全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學(xué)證與全等的判定方法是：__________；中線的取值范圍是__________．【閱讀感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．【理解與應(yīng)用】如圖2，在中，，點是的中點，點在邊上，點在邊上，若．證明：．【問題解決】如圖3，在中，點是的中點，，，其中，連接，探索與的關(guān)系，并說明理由．10．（2023上·廣東中山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，的兩條高與交于點，，．

(1)求證：；(2)連結(jié)，試說明：是的垂直平分線；(3)是射線上一點，且，動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，同時動點從點出發(fā)，沿射線以每秒3個單位長度的速度運動，當(dāng)點到達(dá)點A時，，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為秒，當(dāng)與全等時，求的值．壓軸題型三角平分線壓軸題型1．（2023上·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知是線段上任意一點端點除外，分別以和為邊、在的同側(cè)作等邊和等邊，連結(jié)、交于點，連接．以下個結(jié)論：①；②；③平分；④．其中結(jié)論正確的個數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，分別以、為邊向外作等邊和等邊，和交于O點，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確的有（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④3．（2023上·江蘇無錫·八年級無錫市太湖格致中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線，垂足為O，點A是射線上一點，，以為邊在右側(cè)作，且滿足，若點B是射線上的一個動點（不與點O重合），連結(jié)，作的兩個外角平分線交于點C，在點B在運動過程中，當(dāng)線段取最小值時，的度數(shù)為（）

A． B． C． D．4．（2023上·福建福州·八年級福建省福州第十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，、分別平分，，且交于點F．則下列說法中①；②；③若，則；④；⑤．哪些是正確的（）

A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤5．（2023上·福建莆田·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，是的角平分線，延長至，使得，連接．下列判斷：①；②；③平分；④，一定成立的是______．

6．（2023上·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，是的角平分線，與交于點，則下面結(jié)論正確的是_________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①；②；③若是的中點，則是等邊三角形；④．7．（2023上·福建龍巖·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點、、在同一直線上，在這條直線同側(cè)作等邊和等邊，連接和，交點為，交于點，交于點，連接，有個結(jié)論：

，平分，，，請將所有正確結(jié)論的序號填在橫線上____．8．（2023下·甘肅蘭州·七年級?？计谀┤鐖D，在和中，，，，，連接，交于點，連接．下列結(jié)論：；；平分；點到和的距離相等；其中正確的個數(shù)______（填序號）9．（2023上·江蘇無錫·八年級校考階段練習(xí)）以的、為邊作和，且，，與相交于M，．(1)如圖1，求證：；(2)在圖1中，連接，則_，_；（都用含α的代數(shù)式表示）(3)如圖2，若，G、H分別是、的中點，求的度數(shù)．10．（2023上·福建廈門·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，點、分別在、上，且滿足，延長交于點．

(1)如圖1，若，平分；①求的度數(shù)；②求證：；(2)如圖2，過點作，交的延長線于點，若，，記的面積為，的面積為，則的值為______．（用含、的式子表示）．壓軸題型四直角三角形全等的判定壓軸題型1．（2023上·浙江湖州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，，，于點B，于點D，E、F分別是、上的點，且，下列結(jié)論中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正確的結(jié)論是（）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③2．（2023上·福建廈門·八年級廈門市檳榔中學(xué)?？计谥校┤鐖D，為的外角平分線上一點并且在的垂直平分線上，過作于，交的延長線于，則下列結(jié)論：；；；．其中正確的結(jié)論是（）A．個 B．個 C．個 D．個3．（2021上·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，是邊的垂直平分線，交于G，過點F作于點E，平分交于F，連接，．下列結(jié)論：①②③④．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④4．（2023上·安徽蕪湖·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，已知為的角平分線，且，為延長線上一點，．過點作于點，則下列結(jié)論：①可由繞點旋轉(zhuǎn)而得到；②；③；④；正確的個數(shù)為（）

A．1 B．2 C．3 D．45．（2023上·安徽銅陵·八年級統(tǒng)考期中）和中，是邊上的高，是邊上的高．若，，，則與的關(guān)系是__________．6．（2023上·江蘇常州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在和中，，，，過A作，垂足為F，交的延長線于點G，連接．四邊形的面積為12，，則的長是______．7．（2023上·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，對角線平分，那么為__________度．

8．（2022上·湖北武漢·八年級武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）?？计谥校┤鐖D，中，是高，延長至點，使，連接，過點作交的延長線于點，當(dāng)，時，__．

9．（2023上·重慶璧山·八年級重慶市璧山中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，與中，，，，過A作垂足為F，交的延長線于點G，連接．

(1)求證：平分；(2)若，，求的長．10．（2023上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點、在軸正半軸上，點、分別在軸上，平分與軸交于點，．

(1)求證：；(2)如圖，點的坐標(biāo)為，點為上一點，且，求的長．壓軸題型五直角三角形的性質(zhì)壓軸題型1．（2023上·福建廈門·八年級廈門一中校考期中）如下圖，點在等邊的邊上，，射線垂足為點，點是射線上一動點，點是線段上一動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，，則的長為（）A．17 B．16 C．13 D．122．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）如圖，在中，，，平分交于E，交延長線于D，交的延長線于M，連接，，給出四個結(jié)論：①：②；③；④．其中正確的結(jié)論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，是邊的中線，平分，，下列結(jié)論：①與的面積相等；②；③；④一定成立的是（）

A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②④4．（2022上·浙江臺州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，，點P是內(nèi)一定點，并且，點M、N分別是射線上異于點O的動點，當(dāng)?shù)闹荛L取最小值時，點O到線段的距離為（）

A．1 B．2 C．3 D．45．（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，在凸四邊形中，，．現(xiàn)有以下結(jié)論：

①若為中點，連接，過作的垂線交于點，連接，如圖2，則有；②當(dāng)點為凸四邊形的一個動點，有最大值時，線段一定過的中點；③當(dāng)點為凸四邊形的一個動點，則的面積為；④．其中正確的結(jié)論有______．6．（2023上·湖北武漢·八年級武漢市武珞路中學(xué)?？计谥校┤鐖D中，，，，若點D在線段上且滿足，以為邊構(gòu)造等腰三角形使，則點E到邊的距離是______7．（2023上·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，在四邊形中，，，，，在上找一點P，使的值最小，則的最小值為____________．8．（2023上·福建福州·八年級福建省福州外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，邊長為a的等邊中，是上中線且，點D在上，連接，在的右側(cè)作等邊，連接，則周長的最小值是___________．

9．（2023上·北京西城·八年級北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校┤鐖D，已知等邊，點在邊上，，點是點關(guān)于直線的對稱點，點在上滿足，延長交于點．

(1)直接寫出和的度數(shù)（用含的式子表示）；(2)探究線段、、滿足的等量關(guān)系，并證明；(3)若，為中點，連接．當(dāng)最短時，直接寫出此時的值．10．（2023上·云南昆明·八年級昆明市第三中學(xué)?？计谥校?）如圖1，，平分，，且與、分別交于點、，求證：無論點怎樣移動，總有．（2）如圖2，其他條件不變，將圖1的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)使得點落在的反向延長線上時，①求證：是等邊三角形．②你能得出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系嗎？請寫出數(shù)量關(guān)系并就圖2的情形證明你的結(jié)論．壓軸題型六勾股定理壓軸題型1．（2023上·湖北武漢·九年級武漢市武珞路中學(xué)?？计谥校┤鐖D，平行四邊形中，，，，是邊上一點，且，是邊上的一個動點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值是（）

A． B． C．14 D．2．（2023上·廣東深圳·八年級校考期中）如圖，在等腰直角三角形中，，，平分交于點D，以為一條直角邊作，其中交于點F，交于點G，線段上有一動點P，于點Q，連接，則下列結(jié)論中：①；②為等腰三角形；③；④，⑤的最小值是；正確的個數(shù)是（）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．（2023上·江蘇徐州·八年級校考期中）如圖，在長方形紙片中，為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長為（）A．3 B．3.4 C．3.5 D．3.64．（2022上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，O為的中點，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，D、E分別在邊和的延長線上，連接，若則的面積是（）A． B． C． D．5．（2023上·江西撫州·八年級金溪一中?？计谥校c，若點在軸上，若是等腰三角形，則點坐標(biāo)____．6．（2023上·浙江·八年級周測）如圖，為等腰直角三角形，，點在的延長線上，且，將沿方向平移得到，連接，，則的周長的最小值為________．

7．（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點在上，且，將繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為點．點為上一點，且滿足的長等于的一半．連接．當(dāng)時，的長為________．

8．（2022上·山東淄博·九年級淄博市周村區(qū)實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)是，，，則點的坐標(biāo)為__________．

9．（2023上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）問題呈現(xiàn)：如圖1，在中，，以為邊向外作等邊，求的長．

操作探索：小明同學(xué)為了尋找與已知線段、之間的數(shù)量關(guān)系，他將問題特殊化，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)到上，如圖，進而聯(lián)想到自己非常熟悉的圖模型，以為邊作等邊，連．(1)如圖3，直接寫出與間的數(shù)量關(guān)系_________；(2)如圖1，求的長．理解運用：(3)根據(jù)以上探索，如圖4，在四邊形中，．若，，求的長．延伸拓展：(4)已知，如圖5，為正內(nèi)一點，．直接寫出以，、為邊構(gòu)成的三角形各個內(nèi)角的度數(shù)．10．（2023上·重慶長壽·九年級重慶市長壽中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，，，點D是邊上一動點，連接．將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，連接，交于點N，過點B作交延長線于點M，求證：；(3)在（2）的條件下，若，點D在上運動過程中，當(dāng)最小時，請直接寫出的長度．

第十九章幾何證明（6類壓軸題專練）答案全解全析壓軸題型一幾何證明壓軸題型1．（2023上·北京豐臺·八年級北京市第十二中學(xué)?？计谥校┫铝忻}正確的是（）①兩個等邊三角形一定全等；②兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；③有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等；④兩條邊和其中一條邊上的中線分別相等的兩個三角形全等．A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④【答案】D【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法逐一判斷即可．【詳解】①兩個等邊三角形的邊不一定相等，故“兩個等邊三角形一定全等”是錯誤的；②根據(jù)判定方法“角邊角”可得“兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等”是正確的；③根據(jù)判定方法“邊角邊”可得有兩邊及它們的夾角分別相等的兩個三角形全等，但兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不全等，故“有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等”是錯誤的；④如圖，在和中，，，是邊上的中線，是邊上的中線，且．

∵是邊上的中線，是邊上的中線，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，由此可得“兩條邊和其中一條邊上的中線分別相等的兩個三角形全等”是正確的．綜上所述，正確的命題是：②和④．故選：D【點睛】本題考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法，根據(jù)所給的條件逐一判定是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·黑龍江綏化·七年級校考期中）下列命題：①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②是分?jǐn)?shù)；③已知平面直角坐標(biāo)系中點到坐標(biāo)軸的距離相等，則；④任意一個實數(shù)都可以進行開立方運算．⑤在平面直角坐標(biāo)系中，點一定在第二象限．其中真命題有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)畫平行線的知識可判斷①，根據(jù)無理數(shù)的含義可判斷②，根據(jù)點到坐標(biāo)軸的距離的含義可判斷③，根據(jù)立方根的含義可判斷④，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)特點可判斷⑤，結(jié)合真假命題的含義可得答案．【詳解】解：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；故①不符合題意；不是分?jǐn)?shù)，是無理數(shù)，故②不符合題意；已知平面直角坐標(biāo)系中點到坐標(biāo)軸的距離相等，∴，解得：或，∴或；故③不符合題意；任意一個實數(shù)都可以進行開立方運算．真命題，故④符合題意；∵，在平面直角坐標(biāo)系中，點一定在第二象限．真命題，故⑤符合題意；故選B【點睛】本題考查的是平行線的含義，實數(shù)的分類，點到坐標(biāo)軸的距離的含義，判斷點在坐標(biāo)系內(nèi)的位置，立方根的含義，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．3．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列語句中：①是方程；②直線外一點到這條直線的垂線段叫做點到直線的距離；③過一點有且只有一條直線平行于已知直線；④同位角相等；⑤兩條直線相交，若鄰補角相等，則這兩條直線互相垂直；⑥過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，其中是真命題的個數(shù)有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)方程的定義，點到直線的距離的定義，垂線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行公理，逐一進行判斷即可．【詳解】解：是方程，是真命題；故①符合題意；直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離；原命題為假命題，故②不符合題意；過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線；原命題為假命題，故③不符合題意；兩直線平行，同位角相等；原命題為假命題，故④不符合題意；兩條直線相交，若鄰補角相等，則這兩條直線互相垂直，是真命題，故⑤符合題意；同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，原命題為假命題，故⑥不符合題意；綜上：真命題的個數(shù)有2個；故選B【點睛】不題考查判斷命題的真假．熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵．4．（2021下·湖北武漢·七年級校考階段練習(xí)）下列命題，其中真命題有()①相等的兩個角是對頂角；②同旁內(nèi)角互補；③垂線段最短；④過一點有且只有一條直線與這條直線平行；⑤在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則；⑥在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)正確的命題是真命題，錯誤的命題是假命題可得答案．【詳解】解：①相等的兩個角是對頂角，是假命題；②同旁內(nèi)角互補，是假命題；③垂線段最短，是真命題；④過一點有且只有一條直線與這條直線平行，是假命題；⑤在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則，是真命題；⑥在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則，是真命題．所以真命題的③⑤⑥，共3個，故選：C．【點睛】本題考查命題真假判定，熟練掌握對頂角概念，垂線段最短性質(zhì)，平行公理及其推論是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·云南昭通·八年級校考階段練習(xí)）下列命題中：①形狀相同的兩個三角形是全等三角形；②在兩個全等三角形中，相等的角是對應(yīng)角，相等的邊是對應(yīng)邊；③全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)的角平分線分別相等；④同一平面上，兩個全等三角形一定可以沿某條直線翻折．其中真命題的是______．【答案】③【分析】利用全等三角形的定義及性質(zhì)逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：①形狀相同、大小相等的兩個三角形是全等三角形，故原說法錯誤，不符合題意；②在兩個全等三角形，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，故原說法錯誤，不符合題意；③全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)的角平分線分別相等，故原說法正確，符合題意；④同一平面上，兩個全等三角形不一定可以沿某條直線翻折，故原說法錯誤，不符合題意；綜上所述，真命題的是③，故答案為：③．【點睛】本題考查了判斷命題的真假、全等三角形的定義及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的相關(guān)知識點是解此題的關(guān)鍵．6．（2022下·河北石家莊·七年級?？计谀┰陂L度為、、、的四條線段中，任取三條線段，可構(gòu)成______個不同的三角形；如圖，有下列三個條件：①；②；③．若從這三個條件中任選兩個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論，組成一個命題，一共能組成______個真命題．【答案】【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到能組成三角形的個數(shù)；根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷第一個和第二個命題，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義及平行線的判定可判斷第三個命題．【詳解】解：∵從長度分別為、、、的四條線段中任取三條，一共有四種情況：①、、，因為，則此三條線段能構(gòu)成三角形；②、、，因為，則此三條線段不能構(gòu)成三角形；③、、，因為，則此三條線段不能構(gòu)成三角形；④、、，因為，則此三條線段能構(gòu)成三角形；∴能組成不同三角形的有：、、；、、，共兩種情況，故答案為：；在條件①；②；③任選兩個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論，組成一個命題，一共能組成三個命題：第一個：如果，，那么；∵，∴，，∵，∴，則該命題是真命題；第二個：如果，，那么；∵，∴，，∵，∴，則該命題是真命題；第三個：如果，，那么；∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，則該命題是真命題；∴一共能組成個真命題，故答案為：．【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，命題的定義和真命題的定義，平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．掌握命題的定義，三角形的三邊關(guān)系及平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023下·北京西城·七年級校考期中）3月13日，三帆中學(xué)迎來了第十二屆科技節(jié)．各種活動精彩紛呈，同學(xué)們積極踴躍地參與其中．小陽、小月、小星、小辰四位同學(xué)參加了①紙牌承重、②科技狀元榜、③望遠(yuǎn)鏡制作和④紙飛機這四個項目．每人只能參加一個項目且四人參加的項目互不相同，已知小陽參加了科技狀元榜、望遠(yuǎn)鏡制作中的一個，小月參加了紙牌承重、科技狀元榜中的一個，小星參加了紙牌承重、望遠(yuǎn)鏡制作中的一個，參加科技狀元榜的是小陽或小辰中的其中一個．請你依次寫出小陽、小月、小星、小辰分別參加的項目名稱所對應(yīng)的數(shù)字編號___________．【答案】②①③④【分析】根據(jù)小陽或小辰中的其中一個參加了②，說明小月參加了①為突破口，即可得出結(jié)果．【詳解】小陽參加了②③，小月參加了①②，小星參加了①③，根據(jù)小陽或小辰中的其中一個參加了②，說明小月參加了①，小星參加了③，小陽參加了②，小辰參加了④，故小陽、小月、小星、小辰分別參加的項目名稱所對應(yīng)的數(shù)字編號②①③④，故答案為：②①③④．【點睛】本題考查了邏輯推理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)小陽或小辰中的其中一個參加了②，說明小月參加了①為突破口．8．（2021下·浙江杭州·八年級杭州春蕾中學(xué)校考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程，下列命題中是正確的有__________（填序號）．①若，則；②若方程兩個根為和3，則；③若，則方程一定有兩實數(shù)數(shù)根，并且這兩個根互為相反數(shù)；④若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則方程必有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】④【分析】①根據(jù)，可以得到，然后代入，看最后的結(jié)果，再和小題中的結(jié)論對比，即可解答本題；②根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可以得到a和c的關(guān)系，從而可以判斷的值是否等于0；③根據(jù)和根的判別式，可以判斷方程的根的情況；④根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，可以得到根的判別式大于0，然后即可判斷方程的根的判別式的正負(fù)，從而可以解答本題．【詳解】解：①∵，∴，∴，故①錯誤；②∵方程兩根為和3，∴，，∴，，∴，故②錯誤；③∵，∴，∵題目中a、c的值不確定，故的值不確定，不能判定該方程根的情況，故③錯誤；④∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∵方程，∴，故方程必有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確；故答案為：④．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，命題與定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，可以判斷各個小題中的命題是否成立．9．（2023下·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，點是上的一點，

(1)給出以下3個條件：①是角平分線，②，③與平行；從中選擇兩個作為條件，另外一個作為結(jié)論．你選擇的條件是______，結(jié)論是______（填序號）；(2)請證明你的結(jié)論．【答案】(1)①②，③(2)見解析【分析】（1）從3個條件中選兩個作為條件，一個結(jié)論即可解答；（2）根據(jù)角平分線的定義、等量代換可得，再根據(jù)內(nèi)錯角相等、兩直線平行即可解答．【詳解】（1）解：可以選①②作為條件，③作為結(jié)論．故答案為：①②，③（答案不唯一）．（2）證明：∵是角平分線，∴，∵，∴，∴與平行．【點睛】本題主要考查了平行線的判定、角平分線的定義等知識點，掌握等量代換的方法是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級丹陽市第八中學(xué)?？计谀┯^察下列算式：算式①：算式②：算式③：…(1)按照以上三個算式的規(guī)律，請寫出算式④：____________；(2)上述算式用文字可表述為：“兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除”．若設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)分別為，（n為整數(shù)），請證明這個命題成立；(3)命題：“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差能被8整除”是____________命題（填“真”或“假”）：【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)假【分析】（1）觀察已知算式的規(guī)律，即可得到答案；（2）利用平方差公式，得到，即可證明命題；（3）舉反例即可證明命題是假命題．【詳解】（1）解：由已知算式可知，算式④：，故答案為：；（2）證明：，n為整數(shù)，能被8整除，即兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除；（3）解：，不能被8整除，“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差能被8整除”是假命題，故答案為：假．【點睛】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，判斷命題真假，熟練掌握是解題關(guān)鍵．壓軸題型二線段的垂直平分線壓軸題型1．（2023上·福建莆田·八年級莆田二中?？计谥校┤鐖D，中，，點M，N分別在上，將沿直線翻折，點A的對應(yīng)點D恰好落在邊上（不含端點B，C），下列結(jié)論中不正確的是（）

A．直線垂直平分 B．C． D．若M是中點，則【答案】B【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得直線垂直平分，證明A選項正確；證明，即可證明B選項錯誤，根據(jù)A選項可得，即，利用三角形外角性質(zhì)得到，再根據(jù)，進行角度的轉(zhuǎn)換得到，證明C項正確；根據(jù)D選項，證明，再根據(jù)A選項推出，即可證明．【詳解】解：根據(jù)將沿直線翻折，點A的對應(yīng)點D恰好落在邊上（不含端點B，C），可得直線垂直平分，故A選項正確；，，，，，，，，故C選項正確；，，與不一定相等，與不一定相等，即與不一定相等，故B選項錯誤；若M是中點，，，，即，，,，故D選項正確，故選：B．【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直接三角形斜邊中線的性質(zhì)，根據(jù)題目中的條件，熟練進行角度的轉(zhuǎn)換，是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，點M，N分別在，上，將沿直線翻折，點A的對應(yīng)點D恰好落在邊上（不含端點B，C），下列結(jié)論：①直線垂直平分；②；③；④若M是中點，則．其中一定正確的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】①根據(jù)將沿直線翻折，點A的對應(yīng)點D恰好落在邊上（不含端點B，C），證明直線垂直平分，故①正確；②證明與不一定相等，得到與不一定相等，故②錯誤；③先由①得，直線垂直平分，則，，再根據(jù)”等邊對等角“證明，，則，再根據(jù)是的一個外角，是的一個外角，證明，，進一步證明，根據(jù)，得到，則，然后根據(jù)，證明，從而得到，故③正確；④先根據(jù)是的中點，證明，再由①得，直線垂直平分，則，再證明，最后證明，即，故④正確．【詳解】解：①∵將沿直線翻折，點A的對應(yīng)點D恰好落在邊上（不含端點B，C），∴直線垂直平分，故①正確；②∵，∴，∴又∵，∴與不一定相等，∴與不一定相等，∴與不一定相等，故②錯誤；③由①得，直線垂直平分，∴，，∴，，∴∵是的一個外角，是的一個外角，∴，∴，∴，∴，∴，∴又∵，∴即，又∵(已證)，∴，故③正確；④∵是的中點，∴，∵，∴，∴，，又，∴，∴，∴，故④正確；綜上所述，一定正確的有①③④，故選：D．【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意的條件，進行恰當(dāng)?shù)耐评碚撟C．3．（2022上·廣東廣州·九年級廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？甲灾髡猩┤鐖D，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點，將沿在上，在上)折疊，點與點恰好重合，則為()

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、，設(shè)的垂直平分線交于點，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，根據(jù)等邊對等角可得，再求出，然后判斷出點是的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊對等角求出，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊對等角求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可．【詳解】解：如圖，連接、，設(shè)的垂直平分線交于點

，為的平分線，，又，，是的垂直平分線，，，，為的平分線，，，點在的垂直平分線上，又是的垂直平分線，點是的外心，，將沿在上，在上折疊，點與點恰好重合，，，在中，，故選：D．【點睛】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校?？茧A段練習(xí)）如圖，中，是的角平分線，延長至，使得，連接．下列判斷：；；平分；的面積的面積，一定成立的個數(shù)是（）

A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】利用三角形的角平分線，中線和垂直平分線進行判斷即可，【詳解】如圖，延長交于點，過作于點，∵，，∴，又∵是的平分線，∴垂直平分，∴，故正確；∵，∴，，∴，即，故正確；由題意可知與不一定相等，則不一定成立；∵，垂直平分，∴，∴，故正確；綜上正確；故選：．【點睛】此題考查了三角形的有關(guān)線段，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的中線，角平分線和高．5．（2023上·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，于D，平分，且于E，與相交于點F，于H交于G．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是______．

【答案】①②③【分析】根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，由此即可判斷①正確；利用證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可判斷②正確；利用證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)即可判斷③正確；連接，先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，然后在中可得，結(jié)合即可判斷④錯誤．【詳解】解：，，是等腰直角三角形，，結(jié)論①正確；，，，，，在和中，，，，，結(jié)論②正確；平分，，在和中，，，，由上已證：，，，結(jié)論③正確；如圖，連接，

在等腰中，，垂直平分，，在中，，，又，，結(jié)論④錯誤；綜上，結(jié)論正確的是①②③，故答案為：①②③．【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．6．（2022上·北京·八年級北京市十一學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，面積為于點，直線垂直平分交于點，交于點為直線上一動點，則的周長的最小值為___________．

【答案】13【分析】如圖，連接利用三角形的面積公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，推出的最小值為8，然后再與相加即可．【詳解】解：如圖，連接．

，，，，垂直平分，，，，，的最小值為8，的最小值為．故答案為：【點睛】本題主要考查軸對稱-最短問題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識你，正確作出輔助線、靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．7．（2023上·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，，點P，D分別為，上的動點，則的最小值是__________．

【答案】4【分析】作點A關(guān)于的對稱點，過點作于點D，交于點P，連接，此時的值最小，且的長度就是的最小值．可證為等邊三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，作點A關(guān)于的對稱點，過點作于點D，交于點P，連接，此時的值最小，且的長度就是的最小值．

是的垂直平分線，，，，，，為等邊三角形．又與均為等邊三角形的高，，，的最小值是4．故答案為：4．【點睛】本題考查了線段和最小值的典型問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，掌握解法是解題的關(guān)鍵．8．（2023上·福建莆田·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，的角平分線和的平分線相交于點，交于點，交的延長線于點，過點作交的延長線于點，交的延長線于點，連接并延長交于點，則下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的有______．（填序號）

【答案】①②③④【分析】①利用角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，求解即可；②③延長與交于點，利用全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可；④在上截取，利用垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：設(shè)，，

∵平分，平分，∴，由三角形外角的性質(zhì)可得：∴①正確；延長與交于點，如下圖：∵∴∵平分∴又∵，∴∴∵∴又∵，∴∴∴②正確；同理可得：∴，③正確；在上截取，則是的垂直平分線，如下圖：

∴∵∴，又∵∴∵，∴∵∴∴又∵∴又∵∴∴∴④正確故答案為：①②③④【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識，作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形．9．（2023上·云南昆明·八年級昆明八中?？计谥校┌四昙壱话鄶?shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．

【閱讀理解】如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的：延長至，使，連接．利用與全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學(xué)證與全等的判定方法是：__________；中線的取值范圍是__________．【閱讀感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．【理解與應(yīng)用】如圖2，在中，，點是的中點，點在邊上，點在邊上，若．證明：．【問題解決】如圖3，在中，點是的中點，，，其中，連接，探索與的關(guān)系，并說明理由．【答案】閱讀理解：；；理解與應(yīng)用：證明見解析；問題解決：，，理由見解析【分析】閱讀理解：由證明得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；理解與應(yīng)用：延長至點，使，連接、，同（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；問題解決：延長至，使，連接，由（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證出，證明得出，，則，延長交于，根據(jù)，，可得，即有，則有．【詳解】閱讀理解：解：延長至E，使，連接，是邊上的中線，，在和中，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，，即，，，；故答案為：；；理解與應(yīng)用：證明：延長至點，使，連接、，如圖2所示：

同上可證：，，，，∴是線段的垂直平分線，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，；問題解決：解：，，理由如下：延長至，使，連接，如圖3所示：

由（1）得：，，，，，即，，，∵，，∴，在和中，，，，，．延長交于，，，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線證明三角形全等．10．（2023上·廣東中山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，的兩條高與交于點，，．

(1)求證：；(2)連結(jié)，試說明：是的垂直平分線；(3)是射線上一點，且，動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，同時動點從點出發(fā)，沿射線以每秒3個單位長度的速度運動，當(dāng)點到達(dá)點A時，，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為秒，當(dāng)與全等時，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)或4【分析】（1）證明，即可得到；（2）先證明，得到，進而得到點在的垂直平分線上，再根據(jù)得到點在的垂直平分線上，即可得到是的垂直平分線；（3）當(dāng)點在延長線上時，設(shè)運動秒，根據(jù)得到，，根據(jù)得到，進而得到，求得；當(dāng)點在之間時，設(shè)運動秒，根據(jù)得到，，根據(jù)得到，進而得到，求得，問題得解．【詳解】（1）證明：、是高，，在與中，，；（2）證明：，，，，、是高，．在與中，，，，點在的垂直平分線上．，點在的垂直平分線上，是的垂直平分線；（3）解：①如圖1，當(dāng)點在延長線上時，設(shè)運動秒，、分別運動到如圖位置，．，，當(dāng)時，．，，，解得．②如圖2，當(dāng)點在之間時，設(shè)運動秒，、分別運動到如圖位置，．，，當(dāng)時，．，，，解得．綜上所述，或4．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，熟知相關(guān)定理并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵，第（3）問要注意分類討論．壓軸題型三角平分線壓軸題型1．（2023上·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知是線段上任意一點端點除外，分別以和為邊、在的同側(cè)作等邊和等邊，連結(jié)、交于點，連接．以下個結(jié)論：①；②；③平分；④．其中結(jié)論正確的個數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】此題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定定理；由等邊三角形的性質(zhì)得，，，則，即可證明，得，，可判斷①正確；可推導(dǎo)出，可判斷②正確；作于點，于點，由，且，得，可證明平分，可判斷③正確；假設(shè)成立，則，可證明，與已知條件不符，可判斷④錯誤，于是得到問題的答案．【詳解】解：和都是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，故①正確；，故②正確；作于點，于點，，，，，點在的平分線上，平分，故③正確；假設(shè)成立，則，，，，，顯然與已知條件“是線段上任意一點”不符，不成立，故④錯誤，故選：C．2．（2023上·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，分別以、為邊向外作等邊和等邊，和交于O點，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確的有（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】結(jié)合等邊三角形和的性質(zhì)，利用可證，由全等三角形的性質(zhì)可知①正確；由三角形內(nèi)角和為度易求的度數(shù)，可知②正確；連接，過A分別作與P，于Q，由可知，易知OA平分∠FOE，所以③正確；在上截取，利用可證，由全等三角形對應(yīng)邊相等易得，故④正確．【詳解】解：∵和是等邊三角形，∴，∴，即，在與中，，∴，∴，故①正確；∵，∴，∴，故②正確；連接，過A分別作與P，于Q，如圖1，

∵，∴，∴，∵，∴，∴點在的角平分線上，∴平分，所以③正確；如圖2，在上截取，

∵，∴是等邊三角形，∴，∴．∵，∴，∴，∴，故④正確．故選D．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，三角形的內(nèi)角和定理，靈活利用易知條件結(jié)合圖形證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·江蘇無錫·八年級無錫市太湖格致中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線，垂足為O，點A是射線上一點，，以為邊在右側(cè)作，且滿足，若點B是射線上的一個動點（不與點O重合），連結(jié)，作的兩個外角平分線交于點C，在點B在運動過程中，當(dāng)線段取最小值時，的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作，，，作射線，由角平分線的性質(zhì)得，可得平分，進而知，，當(dāng)時，最小，此時點C在處，再由可得答案．【詳解】作于點E，作于點G，作于點H，作射線．

∵平分，，，，∴．同理：，∴，∴平分，∴．∵，∴．根據(jù)題意可知點C在的平分線上運動，當(dāng)時，最小，此時點C在處．在中，．所以，當(dāng)線段最小時，的度數(shù)是．故選：D．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理和逆定理，垂線段最短，角的和差等，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·福建福州·八年級福建省福州第十九中學(xué)校考期中）如圖，在中，，、分別平分，，且交于點F．則下列說法中①；②；③若，則；④；⑤．哪些是正確的（）

A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤【答案】D【分析】由，得，則，可判斷①正確；作于點G，于點H，則，因為與不一定相等，與不一定相等，可判斷②錯誤；延長到點K，使，連接，可證明，得，而，所以，則，所以，則，可判斷③正確；在上截取，連接，可證明，得，則，再證明，得，則，可判斷④正確；由④可得，，由即可推出，可判斷⑤正確．【詳解】解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，故①正確；如圖1，作于點G，于點H，則，

∵與不一定相等，∴與不一定相等，即：與不一定相等，故②錯誤；如圖1，延長到點K，使，連接，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故③正確；如圖2，在上截取，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故④正確；由④可得，，，

∵，∴，即，故⑤正確，正確的結(jié)論為①③④⑤，故選：D．【點睛】此題重點考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·福建莆田·八年級校考期中）如圖，中，，是的角平分線，延長至，使得，連接．下列判斷：①；②；③平分；④，一定成立的是______．

【答案】①②④【分析】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)；延長交于點F，過點D作，先根據(jù)條件證明，再結(jié)合是的角平分線，可得是的垂直平分線即可證明①；根據(jù)可得，即可證明④；根據(jù)，是的垂直平分線，可得，即可證明②．【詳解】解：延長交于點F，過點D作，如圖，

∵，，∴，∵是的角平分線，∴，∴是的垂直平分線，∴，故①正確；∵，∴，∴，∴，故④正確；根據(jù)條件無法證明，故③錯誤；∵，是的垂直平分線，∴，∴，故②正確；故答案為：①②④．6．（2023上·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，是的角平分線，與交于點，則下面結(jié)論正確的是_________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①；②；③若是的中點，則是等邊三角形；④．【答案】【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得，由角平分線的定義可得，最后由三角形內(nèi)角和定理可得出，即可判斷①；在上截取，連接，證明和，得到邊之間的關(guān)系，即可判斷②；延長到，使，連接，證明得到，即可判斷③；作于點，于點，于點，則，結(jié)合三角形的面積推出，作于點，于點，則，最后由即可判斷④，從而得到答案．【詳解】解：，，，是的角平分線，，，，，故①正確，符合題意；如圖1，在上截取，連接，在和中，，，，，，，在和中，，，，，故②錯誤，不符合題意；如圖1，延長到，使，連接，是的中點，，在和中，，，，，，，，是等邊三角形，故③正確，符合題意；如圖2，作于點，于點，于點，則，，，，，，，，如圖3，作于點，于點，則，，

，，故④正確，符合題意；綜上所述，正確的有①③④，故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點，正確作出所需要的輔助線是解此題的關(guān)鍵．7．（2023上·福建龍巖·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點、、在同一直線上，在這條直線同側(cè)作等邊和等邊，連接和，交點為，交于點，交于點，連接，有個結(jié)論：

，平分，，，請將所有正確結(jié)論的序號填在橫線上____．【答案】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)，得到，，，可證，可得，故正確，過點作于，于，由和等面積法可以求出，故正確；由全等三角形的性質(zhì)可知，從而可證，即可得，故正確；由可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，故正確，即可求解．【詳解】∵和均是等邊三角形，∴，，，∴，，∴，在與中，，∴，∴，故正確；如圖，過點作于，于，

∵，∴，，∴，∴，∵于，于，∴平分，故正確；∵，∴，∵和是等邊三角形，∴，，∴，在與中，，∴，∴，故正確；∵，∴，∴，故正確，故答案為：．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2023下·甘肅蘭州·七年級?？计谀┤鐖D，在和中，，，，，連接，交于點，連接．下列結(jié)論：；；平分；點到和的距離相等；其中正確的個數(shù)______（填序號）【答案】①②④【分析】容易證明，進而可判斷①；由可得，利用三角形內(nèi)角和及三角形外角的性質(zhì)可求得的度數(shù)，從而可判斷②；過點作于點，于點，由，可得，，由面積相等可得，即點到和的距離相等，故可判斷；由④的證明知，點在的平分線上，由可證，則可判斷③，最后可得結(jié)論．【詳解】解：，，，，，即，在和中，，，，故正確；，，，，，，，故正確；過點作于點，于點，如圖，，，，，，即點到和的距離相等，故正確；，，，點在的平分線上，平分，，∵，∴，，不平分，故不正確．綜上所述：正確的結(jié)論是，共個，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，三角形內(nèi)角和的定理等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．9．（2023上·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）以的、為邊作和，且，，與相交于M，．(1)如圖1，求證：；(2)在圖1中，連接，則_，_；（都用含α的代數(shù)式表示）(3)如圖2，若，G、H分別是、的中點，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）連接，過點A作于P，于N，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和對頂角相等求解即可；（3）連接，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，如圖3，連接，過點A作于P，于N，

∵，∴，，∴，∴，又∵，，∴平分，∴，∵∴．故答案為：；．（3）解：連接，

由（1）可得：，∴，，∵G、H分別是EC、BD的中點，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等判定和性質(zhì)．10．（2023上·福建廈門·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，點、分別在、上，且滿足，延長交于點．

(1)如圖1，若，平分；①求的度數(shù)；②求證：；(2)如圖2，過點作，交的延長線于點，若，，記的面積為，的面積為，則的值為______．（用含、的式子表示）．【答案】(1)①；②見解析(2)【分析】（1）本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；①根據(jù)已知條件得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，，根據(jù)，即可求解；②過點作,得出，作，交于點，得出，證明，得出，，根據(jù)即可得證；（2）過點作，于點，證明，進而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件，得出，即可求解．【詳解】（1）①證明：∵，∴，∵，，∴，∴，∵平分；∴，∴∴；②如圖，

過點作,∴，∵平分，∴，∵，，∴,，∴，作，交于點，∵，∴，∴，在與中∴∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）如圖，過點作，于點，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，由，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，∵，∵，∴，記的面積為，的面積為，則．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．壓軸題型四直角三角形全等的判定壓軸題型1．（2023上·浙江湖州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，，，于點B，于點D，E、F分別是、上的點，且，下列結(jié)論中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正確的結(jié)論是（）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③【答案】C【分析】由E、F分別是上的任意點，可知與不一定相等，與也不一定全等，可判斷①錯誤，②錯誤；延長到點G，使，連接，先證明，得，由，可以推導(dǎo)出，則，即可證明，得，因為，所以，可判斷③正確，因為，所以，可判斷⑤正確；由平分結(jié)合，推出與題干互相矛盾，可得④錯誤．【詳解】解：∵E、F分別是上的任意點，∴與不一定相等，故①錯誤；∵于點于點D，∴，∵，∴的另一個條件是，∵與不一定相等，∴與不一定全等，故②錯誤；延長到點G，使，連接，則，∴，在和中，，∴，∴∵，∴，∴，在和中，，∴，

∴∴，∴平分，故③⑤正確；若平分，而，∴，與題干信息矛盾，故④錯誤；故選C【點睛】此題重點考查角平分線的定義，線段的和差運算，角的和差運算，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線并且證明是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·福建廈門·八年級廈門市檳榔中學(xué)?？计谥校┤鐖D，為的外角平分線上一點并且在的垂直平分線上，過作于，交的延長線于，則下列結(jié)論：；；；．其中正確的結(jié)論是（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【詳解】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，再利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后求出；根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，利用三角形內(nèi)角和定理可得；利用三角形的外角性質(zhì)得到．【分析】解：∵平分，，，∴，∵在的垂直平分線上，∴，在和中，，∴，故正確；∴，在和中，，∴，∴，∴，故正確；∵，∴，∵，∴，，∴，故正確；在中，，故錯誤；綜上，正確，共個．故選：．【點睛】此題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖判斷出全等的三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2021上·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）如圖，中，，是邊的垂直平分線，交于G，過點F作于點E，平分交于F，連接，．下列結(jié)論：①②③④．其中正確的結(jié)論是（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到；過點F作于點H，證明，得到，結(jié)合平分，得到，繼而，可證明；利用斜邊大于直角邊，證明；利用等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理證明．【詳解】∵是邊的垂直平分線，∴；故①正確；過點F作于點H，∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，

故③正確；∵，∴，∴，∴，故②正確；∵，，∴，∴，故④正確；故選D．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形中，斜邊大于任意直角邊，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，角的平分線的性質(zhì)，直角三角形中，斜邊大于任意直角邊，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·安徽蕪湖·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，已知為的角平分線，且，為延長線上一點，．過點作于點，則下列結(jié)論：①可由繞點旋轉(zhuǎn)而得到；②；③；④；正確的個數(shù)為（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由“”可證，可得可由繞點旋轉(zhuǎn)而得到，故①正確；由全等三角形的性質(zhì)可得，故②正確；由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求，故③正確；通過證明，可得，由線段的和差關(guān)系可求解，故④正確，即可求解．【詳解】解：①為的角平分線，，在和中，，，可由繞點旋轉(zhuǎn)而得到，故①正確；②，，，故②正確；③，，，，，，，故③正確；④過作于點，

是上的點，，在和中，，，，在和中，，，，，故④正確．故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．5．（2023上·安徽銅陵·八年級統(tǒng)考期中）和中，是邊上的高，是邊上的高．若，，，則與的關(guān)系是__________．【答案】相等或互補【分析】分三種情況：當(dāng)和都是銳角時；當(dāng)和都是鈍角時；當(dāng)為鈍角，為銳角時；利用全等三角形的判定與性質(zhì)，鄰補角之間的關(guān)系，即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)和都是銳角時，如圖，

是邊上的高，是邊上的高，，在和中，，，；當(dāng)和都是鈍角時，如圖，

同理可得，，，，；當(dāng)為鈍角，為銳角時，如圖，

同理可得：，，，；綜上所述，與的關(guān)系是相等或互補，故答案為：相等或互補．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、鄰補角的關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，采用分類討論的思想，是解此題的關(guān)鍵．6．（2023上·江蘇常州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在和中，，，，過A作，垂足為F，交的延長線于點G，連接．四邊形的面積為12，，則的長是______．

【答案】3【分析】過點作于，證，得，再證，同理，得6，進而得到的長．【詳解】解：過點作于，如圖所示：在和中，，∴又∵，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，同理：，∴，∵，∴，解得：；故答案為：3．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，解題時注意：全等三角形的面積相等77．（2023上·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，對角線平分，那么為__________度．

【答案】59【分析】延長，過點D作，，根據(jù)條件證明可得，過點D作，證明，，運用三角形內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：延長，過點D作，，如圖，

∴，∵對角線平分，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴平分，過點D作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查幾何問題，涉及到角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，正確作出輔助線是關(guān)鍵．8．（2022上·湖北武漢·八年級武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）校考期中）如圖，中，是高，延長至點，使，連接，過點作交的延長線于點，當(dāng)，時，__．

【答案】【分析】根據(jù)已知條件得到，利用推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，等量代換得到，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到，根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論．【詳解】解：是高，，，在與中，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023上·重慶璧山·八年級重慶市璧山中學(xué)校校考期中）如圖，與中，，，，過A作垂足為F，交的延長線于點G，連接．

(1)求證：平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）先過點作于，判定，得出，再判定，即可得出；（2）先判定，得出，再根據(jù)，求得的面積，進而得到的長．【詳解】（1）過點作于，∵與中，，∴，∴，又∵，即，∴，又∵，∴，∴，即平分；（2）∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴的面積，∵，∴，解得．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，解題時注意：全等三角形的面積相等．10．（2023上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點、在軸正半軸上，點、分別在軸上，平分與軸交于點，．

(1)求證：；(2)如圖，點的坐標(biāo)為，點為上一點，且，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意，可知，平分與軸交于點，所以可由定理證明，由全等三角形的性質(zhì)可得；（2）過作于點，可證明、，因此，、，所以，，即可得的長．【詳解】（1）證明：∵，，∴．∵平分∴在和中，，∴．∴；（2）解：由（）知，．∴，∴，過作于點，

∵，軸軸，∴，在和中，∴，∴．在和中，，∴，∴；∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．角平分線的定義和性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，掌握判定三角形全等的方法，是解（）題的關(guān)鍵；利用三角形的全等得到是解（）題的關(guān)鍵．壓軸題型五直角三角形的性質(zhì)壓軸題型1．（2023上·福建廈門·八年級廈門一中?？计谥校┤缦聢D，點在等邊的邊上，，射線垂足為點，點是射線上一動點，點是線段上一動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，，則的長為（）A．17 B．16 C．13 D．12【答案】C【分析】作點關(guān)于直線的對稱點，過點作于點，交于點，由軸對稱的性質(zhì)可得，即，由垂線段最短可知，的最小值為，由等邊三角形的性質(zhì)可得，推出，由含角直角三角形的性質(zhì)可得，推出，計算出即可得解．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于直線的對稱點，過點作于點，交于點，

，則，，，由垂線段最短可知，的最小值為，為等邊三角形，，，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、垂線段最短、等邊三角形的性質(zhì)、含角直角三角形的性質(zhì)，作對稱，找出的最小值為是解此題的關(guān)鍵．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，平分交于E，交延長線于D，交的延長線于M，連接，，給出四個結(jié)論：①：②；③；④．其中正確的結(jié)論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】過E作于Q，作，交于N，過D作于H，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，，根據(jù)勾股定理求出，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定求出，即可求出③；根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出，證，推出，即可求出②①；證，得到，即可求出④．【詳解】解：過E作于Q，

，平分，由勾股定理得：，，故③正確；作，交于N，故①、②正確；過D作于H，平分，，在和中，由勾股定理得：，故④正確；故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．3．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，是邊的中線，平分，，下列結(jié)論：①與的面積相等；②；③；④一定成立的是（）

A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】可得，可判斷①；可得，，可判斷②；可得，可判斷③；可得，可判斷④；即可求解．【詳解】解：，是邊的中線，，，故①成立；，，，，，故②成立；在中：，錯誤，故③不成立；平分，，，，又，，故④成立．故選：D．【點睛】本題考查了三角形的等積判斷，余角的性質(zhì)，直角三角形的特征，三角形外角的性質(zhì)等，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022上·浙江臺州·八年級校考期中）如圖所示，，點P是內(nèi)一定點，并且，點M、N分別是射線上異于點O的動點，當(dāng)?shù)闹荛L取最小值時，點O到線段的距離為（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作點關(guān)于的對稱點，點關(guān)于的對稱點，連接與、分別交于，則的長即為周長的最小值，連接、，作，利用含30度角直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，點關(guān)于的對稱點，連接與、分別交于，則，周長為則的長即為周長的最小值，連接、，作，

由對稱定可得：，，∵∴∵，∴，∴∴故選：B．【點睛】此題考查了利用軸對稱求最短距離，通過軸對稱確定周長最小值的位置是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，在凸四邊形中，，．現(xiàn)有以下結(jié)論：

①若為中點，連接，過作的垂線交于點，連接，如圖2，則有；②當(dāng)點為凸四邊形的一個動點，有最大值時，線段一定過的中點；③當(dāng)點為凸四邊形的一個動點，則的面積為；④．其中正確的結(jié)論有______．【答案】①②③【分析】作平分，證明和即可判斷①；連接，利用三角形三邊關(guān)系可得，則當(dāng)、、三點共線時，有最大值，此時過的中點，即可判斷②；作交的延長線于，證明得到，根據(jù)即可判斷③；根據(jù)，可得，從而得到當(dāng)時，，即可判斷④，得到答案．【詳解】解：如圖，作平分，

，，，平分，，，，，，，，在和中，，，，是的中點，，在和中，，，，故①正確，符合題意；如圖，連接，假設(shè)為的中點，

，，為的中點，，，當(dāng)、、三點共線時，有最大值，此時過的中點，故②正確，符合題意；如圖，作交的延長線于，

，則，，，，，在和中，，，，，故③正確，符合題意；，，當(dāng)時，，不一定等于，故④錯誤，不符合題意；綜上所述，正確的有①②③，故答案為：①②③．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、三角形面積公式、三角形內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握以上知識點，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解此題的關(guān)鍵．6．（2023上·湖北武漢·八年級武漢市武珞路中學(xué)?？计谥校┤鐖D中，，，，若點D在線段上且滿足，以為邊構(gòu)造等腰三角形使，則點E到邊的距離是______【答案】或【分析】由題意可得，，，由題意知，分兩種情況求解：①如圖1，作關(guān)于的對稱點，連接，，則，，連接，作于，則的長為點E到邊的距離，證明，則，，，根據(jù)，計算求解即可；②如圖2，作關(guān)于的對稱點，連接，，則，，連接，作于，則的長為點E到邊的距離，同理（1），可證，則，，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵，，，，∴，，由題意知，分兩種情況求解：①如圖1，作關(guān)于的對稱點，連接，，則，，連接，作于，則的長為點E到邊的距離，∴是等腰三角形，且，∵，∴，即，∵，，，∴，∴，，∴，∴；②如圖2，作關(guān)于的對稱點，連接，，則，，連接，作于，則的長為點E到邊的距離，同理（1），可證，∴，，∴，∴；綜上所述，點E到邊的距離為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023上·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，在四邊形中，，，，，在上找一點P，使的值最小，則的最小值為____________．【答案】【分析】作關(guān)于的對稱點，連接、、，可得，當(dāng)、、三點共線時，最小，即最小，此時過作交的延長線于，過作交于，可求，即可求解．【詳解】解：作關(guān)于的對稱點，連接、、，，，，，如圖，

，當(dāng)、、三點共線時，最小，即最小，此時過作交的延長線于，過作交于，，，，，，四邊形是矩形，，，同理可證：四邊形是矩形，，，，，，，的最小值為；故答案：．【點睛】本題考查了典型問題：線段和最小，等腰三角形的判定及性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，直角三角形的特征，掌握典型問題的解法是解題的關(guān)鍵．8．（2023上·福建福州·八年級福建省福州外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，邊長為a的等邊中，是上中線且，點D在上，連接，在的右側(cè)作等邊，連接，則周長的最小值是___________．

【答案】【分析】證明，則，，即，則在過點垂直于的直線上運動，如圖，作關(guān)于的對稱點，連接，連接交于，連接，證明等邊三角形且與等邊長，，由的周長為，可知當(dāng)三點共線時，的周長最小，為，由，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，，進而可得周長的最小值．【詳解】解：∵等邊，，是上中線，∴，，，，∴，即，∵，，，∴，∴，∴，即，∴在過點垂直于的直線上運動，如圖，作關(guān)于的對稱點，連接，連接交于，連接，

由對稱的性質(zhì)可知，，，，∴，∴等邊三角形且與等邊長，∴，∴的周長為，∴當(dāng)三點共線時，的周長最小，為，∵，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，，∴周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含的直角三角形，軸對稱的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于確定動點的運動軌跡．9．（2023上·北京西城·八年級北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校┤鐖D，已知等邊，點在邊上，，點是點關(guān)于直線的對稱點，點在上滿足，延長交于點．

(1)直接寫出和的度數(shù)（