2022年人教版八年級上冊數(shù)學(xué)第十四章整式乘法與因式分解同步單元教案及教學(xué)反思

第十四章整式的乘法與因式分解14.1整式的乘法14.1.1同底數(shù)冪的乘法

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】在推理判斷中得出同底數(shù)冪乘法的運算法則,并掌握“法則”的應(yīng)用.【過程與方法】經(jīng)歷探索同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)的過程,感受冪的意義,發(fā)展推理能力和表達(dá)能力,提高計算能力.【情感、態(tài)度與價值觀】在小組合作交流中,培養(yǎng)協(xié)作精神、探究精神,增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】同底數(shù)冪乘法運算性質(zhì)的推導(dǎo)和應(yīng)用.【教學(xué)難點】同底數(shù)冪的乘法的法則的應(yīng)用以及逆用.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入“盤古開天辟地”的故事:公元前一百萬年,沒有天沒有地,整個宇宙是混濁的一團(tuán),突然間竄出來一個巨人,他的名字叫盤古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成兩半,上面是天,下面是地,從此宇宙有了天地之分,盤古完成了這樣一個壯舉,累死了,他的左眼變成了太陽,右眼變成了月亮,毛發(fā)變成了森林和草原,骨頭變成了高山和高原,肌肉變成了平原與谷地,血液變成了河流.問題:盤古的左眼變成了太陽,那么,太陽離我們多遠(yuǎn)呢?你可以計算一下,太陽到地球的距離是多少?光的速度為3×105千米/秒,太陽光照射到地球大約需要5×102秒,你能計算出地球距離太陽大約有多遠(yuǎn)呢?二、合作探究探究點1同底數(shù)冪的乘法典例1計算a2·a3的正確結(jié)果是()A.a5 B.a6 C.a8 D.a9[解析]a2·a3＝a2＋3＝a5.[答案]A【技巧點撥】本題是同底數(shù)冪的乘法運算,直接利用同底數(shù)冪的乘法運算法則運算即可,注意底數(shù)不變,指數(shù)相加.變式訓(xùn)練化簡－b·b3·b4的正確結(jié)果是()A.－b7 B.b7 C.－b8 D.b8[答案]C探究點2法則的逆用典例2已知3a＝1,3b＝2,則3a＋b的值為()A.1 B.2 C.3 D.27[解析]∵3a×3b＝3a＋b,∴3a＋b＝3a×3b＝1×2＝2.[答案]B三、板書設(shè)計同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的乘法法則

教學(xué)反思

本節(jié)課應(yīng)注重同底數(shù)冪的乘法法則的推導(dǎo)過程,而不單單是要求記住結(jié)論,在導(dǎo)出的過程中,從具體到抽象,有層次地進(jìn)行概括,歸納推理,學(xué)生不是被動地接受,而是在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上創(chuàng)新,從而培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和創(chuàng)新意識.

14.1.2冪的乘方

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】1.理解冪的乘方的運算性質(zhì),進(jìn)一步體會和鞏固冪的意義;2.通過推理得出冪的乘方的運算性質(zhì),并且掌握這個性質(zhì).【過程與方法】經(jīng)歷一系列探索過程,發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和有條理的表達(dá)能力.【情感、態(tài)度與價值觀】培養(yǎng)學(xué)生合作交流意義和探索精神,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】冪的乘方法則.【教學(xué)難點】冪的乘方法則的推導(dǎo)過程及靈活應(yīng)用.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入木星的半徑是地球半徑的102倍,太陽的半徑是地球半徑的103倍,假如地球的半徑為r,那么太陽和木星的體積是多少?二、合作探究探究點1冪的乘方典例1計算a6(a2)3＝.

[解析]根據(jù)冪的運算法則即可求出答案.原式＝a6·a6＝a12.[答案]a12變式訓(xùn)練計算:(－a2)2＝.

[答案]a4探究點2冪的乘方逆用典例2若10m＝5,10n＝3,則102m＋3n＝.

[解析]102m＋3n＝102m·103n＝(10m)2·(10n)3＝52·33＝675.[答案]675【技巧點撥】注意冪的乘方公式的逆用,amn＝(am)n＝(an)m.變式訓(xùn)練若am＝6,an＝3,則am＋2n的值為.

[答案]54三、板書設(shè)計冪的乘方冪的乘方冪的乘方法則

教學(xué)反思

本節(jié)的內(nèi)容是冪的乘方,教學(xué)過程中,激發(fā)和鼓勵學(xué)生的學(xué)習(xí)探究;提問不僅有序、有提示、有鼓勵,而且有啟發(fā)、問在有疑之處.本課的主要教學(xué)任務(wù)是“冪的乘方”,即冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘.在課堂教學(xué)時,通過冪的意義引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)得出這一性質(zhì).

14.1.3積的乘方

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】探索積的乘方的運算性質(zhì),能用積的乘方的運算性質(zhì)進(jìn)行計算.【過程與方法】經(jīng)歷探索積的乘方的過程,發(fā)展學(xué)生的推理能力和有條理的表達(dá)能力,培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.【情感、態(tài)度與價值觀】培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神和探索精神,有助于塑造他們挑戰(zhàn)困難,挑戰(zhàn)生活的勇氣和信心.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】積的乘方的運算.【教學(xué)難點】積的乘方的推導(dǎo)過程的理解和靈活運用.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入我們前面學(xué)過同底數(shù)冪的運算法則;冪的乘方運算法則的內(nèi)容,你知道它們的區(qū)別和聯(lián)系嗎?請同學(xué)們思考怎樣計算(2a3)4,每一步的根據(jù)是什么?二、合作探究探究點1積的乘方法則典例1計算:(－2xy2)3＝.

[解析](－2xy2)3＝(－2)3x3(y2)3＝－8x3y6.[答案]－8x3y6根據(jù)積的乘方的性質(zhì)把問題轉(zhuǎn)化為幾個冪的乘方,然后再進(jìn)行運算,用準(zhǔn)法則是解這類問題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練計算:－13a[答案]－127a6b探究點2公式的逆用典例2閱讀下列各式:(ab)2＝a2b2,(ab)3＝a3b3,(ab)4＝a4b4,…①歸納得(ab)n＝;(abc)n＝;

②計算4100×0.25100＝;125×35×23③應(yīng)用上述結(jié)論計算:(－0.125)2021×22022×42020.[解析]①(ab)n＝anbn,(abc)n＝anbncn.②4100×0.25100＝(4×0.25)100＝1,125×35＝12×3×③(－0.125)2021×22022×42020＝－0.125×22×(－0.125×2×4)2020＝－0.5×(－1)2020＝－0.5.探究點3冪的運算綜合練習(xí)典例3計算:(－2x2)3＋x2·x4－(－3x3)2.[解析](－2x2)3＋x2·x4－(－3x3)2＝－8x6＋x6－9x6＝－16x6.三、板書設(shè)計積的乘方積的乘方積的乘方法則

教學(xué)反思

本節(jié)主要是積的乘方,學(xué)生很容易得出計算公式,關(guān)鍵是利用公式進(jìn)行運算,通過練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生明確先利用法則把運算轉(zhuǎn)化為幾個冪的乘方的積,然后計算,通過小組練習(xí),討論,糾錯得到正確的解法.

14.1.4整式的乘法第1課時單項式與單項式相乘

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】會進(jìn)行單項式乘單項式的運算.【過程與方法】經(jīng)歷探索單項式乘以單項式的過程,體會乘法結(jié)合律的作用和轉(zhuǎn)化的思想,發(fā)展有條理的思考及語言表達(dá)能力.【情感、態(tài)度與價值觀】培養(yǎng)學(xué)生推理能力、計算能力,通過小組合作與交流,增強(qiáng)協(xié)作精神.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】單項式乘法運算法則的推導(dǎo)與應(yīng)用.【教學(xué)難點】單項式乘法運算法則的推導(dǎo)與應(yīng)用.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了冪的運算,我們知道整式有兩種,分別為單項式與多項式,那么整式的乘法應(yīng)有幾種,哪種最簡單?二、合作探究探究點1單項式乘單項式法則典例1計算:4x2y·(－14x)＝.

[解析]根據(jù)單項式與單項式相乘,把它們的系數(shù)分別相乘,相同字母的冪分別相加,其余字母連同它的指數(shù)不變,作為積的因式,計算即可.4x2y·－14x＝－[答案]－x3y變式訓(xùn)練計算(－2x3y2)3·4xy2＝.

[答案]－32x10y8探究點2求代數(shù)式的值典例2如果xny4與2xym相乘的結(jié)果是2x5y7,求mn的值.[解析]由題意可知xny4×2xym＝2xn＋1·y4＋m＝2x5y7,∴n＋1＝5,4＋m＝7,∴m＝3,n＝4,∴mn＝12.探究點3法則應(yīng)用典例3計算(9×105)×(2.5×103)＝.(用科學(xué)記數(shù)法表示)

[解析](9×105)×(2.5×103)＝9×2.5×105×103＝22.5×108＝2.25×109.[答案]2.25×109探究點4冪的運算綜合練習(xí)典例4計算:(－3x2y2)2·2xy＋(xy)3＝.

[解析](－3x2y2)2·2xy＋(xy)3＝9x4y4·2xy＋x3y3＝18x5y5＋x3y3.[答案]18x5y5＋x3y3三、板書設(shè)計單項式與單項式相乘單項式乘單項式單項式乘單項式法則

教學(xué)反思

本節(jié)是單項式與單項式的乘法,學(xué)生通過面積的計算,或乘方分配律可以得出運算法則;通過學(xué)生小組練習(xí)、討論、糾錯提高學(xué)生的合作能力,以及在運算中提高學(xué)生的應(yīng)用意識,總結(jié)出單項式乘單項式的步驟以及易錯點,以引起學(xué)生的注意.

第2課時單項式與多項式相乘

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】掌握單項式與多項式的乘法運算法則,會進(jìn)行簡單的整式乘法運算.【過程與方法】經(jīng)歷探索單項式與多項式相乘的運算過程,體會乘法分配律的作用和轉(zhuǎn)化思想,發(fā)展有條理地思考及語言表達(dá)能力.【情感、態(tài)度與價值觀】培養(yǎng)良好的探究意識與合作交流的能力,體會整式運算的應(yīng)用價值.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】單項式與多項式相乘的法則.【教學(xué)難點】整式乘法法則的推導(dǎo)與應(yīng)用.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入有3家超市以相同價格n(單位:元/臺)銷售A牌電視機(jī),它們在一年內(nèi)的銷售量(單位:臺)分別是x,y,z,請你采用不同的方法計算它們在這一年內(nèi)銷售這種電視機(jī)的總收入.小明的答案是n(x＋y＋z),小芳的答案是nx＋ny＋nz,各說各有理,你能給他們評判一下嗎?二、合作探究探究點1單項式乘多項式典例1計算:(x－3y)(－6x)＝.

[解析]根據(jù)單項式與多項式相乘,先用單項式乘多項式的每一項,再把所得的積相加計算即可.[答案]－6x2＋18xy變式訓(xùn)練計算:(3x3y2－6x2y)·13xy2[解析]原式＝x4y4－2x3y3.探究點2求未知系數(shù)的值典例2已知a(x2＋x－c)＋b(2x2－x－2)＝7x2＋4x＋3,求a,b,c的值.[解析]∵a(x2＋x－c)＋b(2x2－x－2)＝7x2＋4x＋3,∴(a＋2b)x2＋(a－b)x－(ac＋2b)＝7x2＋4x＋3,∴a解得a＝5,b＝1,c＝－1.求未知系數(shù)的值,根據(jù)兩個多項式相等時,如ax2＋bx＝cx2＋dx,則有a＝c,b＝d,得到方程組即可求解,關(guān)鍵是整式的乘法.探究點3求代數(shù)式的值典例3已知ab2＝－2,則－ab(a2b5－ab3＋b)＝()A.4 B.2 C.0 D.14[解析]－ab(a2b5－ab3＋b)＝－a3b6＋a2b4－ab2＝－(ab2)3＋(ab2)2－ab2,當(dāng)ab2＝－2時,原式＝－(－2)3＋(－2)2－(－2)＝8＋4＋2＝14.[答案]D【技巧點撥】這類問題先根據(jù)單項式的乘法計算得到多項式,然后把多項式用已知式子表示出來,整體代入求值,這種整體思想是我們經(jīng)常用到的一種方法.三、板書設(shè)計單項式與多項式相乘單項式乘多項式單項式乘多項式法則

教學(xué)反思

本節(jié)的內(nèi)容是單項式乘多項式,法則的得到比較簡單,教學(xué)中,應(yīng)緊扣法則,單項式乘多項式轉(zhuǎn)化為單項式乘單項式的問題計算,同學(xué)小組練習(xí)討論理解多項式的每一項,包括它前面的符號.在實施“情境——探究”教學(xué)過程中,注重引導(dǎo)學(xué)生在課堂活動過程中感悟知識的生成、發(fā)展與變化,培養(yǎng)學(xué)生主動探索、敢于實踐、善于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神.

第3課時多項式與多項式相乘

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】理解多項式乘以多項式的運算法則,能夠按多項式乘法步驟進(jìn)行簡單的乘法運算.【過程與方法】經(jīng)歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的推理過程,體會數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.【情感、態(tài)度與價值觀】通過推理,培養(yǎng)學(xué)生計算能力,發(fā)展有條理的思考,逐步形成主動探索的習(xí)慣.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】多項式與多項式的乘法法則的理解及應(yīng)用.【教學(xué)難點】多項式與多項式的乘法法則的應(yīng)用.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入試著用不同方式計算下圖的面積,探討你能得到什么結(jié)論.二、合作探究探究點1多項式乘多項式典例1計算(2m－3)(m＋2).[解析](2m－3)(m＋2)＝2m×m＋2m×2＋(－3)×m＋(－3)×2＝2m2＋4m－3m－6＝2m2＋m－6.整式的乘法就是根據(jù)運算法則轉(zhuǎn)化為單項式乘單項式計算,最后把所得結(jié)果相加,注意有同類項的要合并同類項,需提醒是的多項式的項包括它前面的符號.注意不要漏項,漏字母,有同類項的合并同類項.探究點2求未知系數(shù)的值典例2若(x＋m)(x－8)中不含x的一次項,則m的值為()A.8 B.－8 C.0 D.8或－8[解析]∵(x＋m)(x－8)＝x2－8x＋mx－8m＝x2＋(m－8)x－8m,又結(jié)果中不含x的一次項,∴m－8＝0,∴m＝8.[答案]A變式訓(xùn)練若(y＋3)(y－2)＝y(tǒng)2＋my＋n,則m,n的值分別為()A.m＝5,n＝6 B.m＝1,n＝－6C.m＝1,n＝6 D.m＝5,n＝－6[答案]B探究點3求代數(shù)式的值典例3若代數(shù)式(x＋1)2＋m(x＋1)＋n可以化簡為x2＋2x－3,則m＋n＝.

[解析]∵(x＋1)2＋m(x＋1)＋n＝x2＋2x＋1＋mx＋m＋n＝x2＋(2＋m)x＋m＋n＋1,由題意得m解得m＝0,n＝－4,故m＋[答案]－4探究點4積中不含某項典例4(x2－mx＋6)(3x－2)的積中不含x的二次項,則m的值是()A.0 B.23 C.－23 [解析](x2－mx＋6)(3x－2)＝3x3－(2＋3m)x2＋(2m＋18)x－12,∵(x2－mx＋6)·(3x－2)的積中不含x的二次項,∴2＋3m＝0,解得m＝－23[答案]C三、板書設(shè)計多項式與多項式相乘多項式乘多項式多項式乘多項式法則

教學(xué)反思

本節(jié)的內(nèi)容是多項式的乘法,針對本節(jié)課學(xué)生的易錯點,如“漏項”、“忘變號”的情況,在例題后進(jìn)行強(qiáng)調(diào),并總結(jié)規(guī)律,讓學(xué)生以后在練習(xí)計算時避免“漏項”“忘變號”的發(fā)生.

第4課時同底數(shù)冪的除法

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】1.掌握同底數(shù)冪的除法運算性質(zhì),并能運用它解決一些實際問題;2.理解零次冪的意義,了解規(guī)定a0＝1(a≠0)的合理性;【過程與方法】經(jīng)歷同底數(shù)冪的除法運算性質(zhì)的獲得過程,掌握同底數(shù)冪的除法運算性質(zhì),會用同底數(shù)冪的除法運算性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計算,提高學(xué)生的運算能力,進(jìn)一步體會冪的意義,發(fā)展推理能力,提高語言表達(dá)能力.【情感、態(tài)度與價值觀】經(jīng)歷探索同底數(shù)冪的除法運算性質(zhì)的過程,體驗通過“轉(zhuǎn)化”構(gòu)建新知識體系,培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想,善于觀察、歸納的數(shù)學(xué)品質(zhì)和創(chuàng)新精神.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】同底數(shù)冪的除法運算.【教學(xué)難點】理解零次冪的意義.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入至此,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的加法、減法、乘法運算.在整式運算中,有時還會遇到兩個整式相除的情況.由于除法是乘法的逆運算,因此我們可以利用整式的乘法來討論整式的除法.二、合作探究探究點1同底數(shù)冪的除法典例1計算(－a)10÷(－a)3的結(jié)果等于.

[解析](－a)10÷(－a)3＝(－a)10－3＝(－a)7＝－a7.[答案]－a7【技巧點撥】先把底數(shù)－a看作一個整體,直接運用同底數(shù)冪的除法法則;也可以將底數(shù)化為a,再運用同底數(shù)冪的除法法則,即(－a)10÷(－a)3＝a10÷(－a3)＝－a10－3＝－a7.變式訓(xùn)練化簡:(x＋y)5÷(－x－y)2÷(x＋y).[解析]原式＝(x＋y)5÷(x＋y)2÷(x＋y)＝(x＋y)5－2－1＝(x＋y)2.探究點2零次冪典例2計算:(1)20220＋(－3)0－4×120[解析]原式＝1＋1－4×1＝－2.三、板書設(shè)計同底數(shù)冪的除法1.同底數(shù)冪的除法法則:底數(shù)不變,指數(shù)相減.即am÷an＝am－n(a≠0).2.零指數(shù)冪:任何一個不等于零的數(shù)的零次冪都等于1.即a0＝1(a≠0).

教學(xué)反思

本節(jié)課的學(xué)習(xí)對于學(xué)生來說,無論在知識上,還是在類比學(xué)習(xí)能力和抽象思維能力的培養(yǎng)上,都起著不容忽視的作用.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能單純依賴模仿與記憶,應(yīng)該從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有知識的背景出發(fā),提供給學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動和探索的機(jī)會,使他們在自主探索的過程中真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識.在培養(yǎng)學(xué)生合作與交流的同時,充分調(diào)動學(xué)生的參與意識和學(xué)習(xí)積極性,使學(xué)生體驗到平等、自由和民主,同時也受到了激勵和鼓舞,從而形成積極的人生態(tài)度.

第5課時整式的除法

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】會進(jìn)行單項式除以單項式、多項式除以單項式的運算,理解整式除法運算的原理.【過程與方法】經(jīng)歷探究整式的除法的運算性質(zhì)的過程,進(jìn)一步體會冪的意義,發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力.【情感、態(tài)度與價值觀】感受數(shù)學(xué)法則、公式的簡潔美、和諧美.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】整式除法的法則并應(yīng)用其法則計算.【教學(xué)難點】理解整式除法的法則及其原理.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入一種數(shù)碼照片的文件大小是28K,一個存儲量為26M(1M＝210K)的移動存儲器能存儲多少張這樣的數(shù)碼照片?二、合作探究探究點1同底數(shù)冪的除法典例132x＝2,3y＝5,則34x－2y＝.

[解析]原式＝34x32y＝(3[答案]4變式訓(xùn)練若5＝3x,7＝9y,則3x－2y的值為.

[答案]5探究點2單項式除以單項式典例2計算:10ab3÷(－5ab)＝.

[解析]根據(jù)單項式除法法則,系數(shù)和系數(shù),相同的字母分別相除,作為商的一個因式,只在被除式的字母連同它的指數(shù)作為商的一個因式,即可求出答案.原式＝－105a1－1b3－1＝－2b2[答案]－2b2變式訓(xùn)練4x2y3÷－12xy[答案]16y探究點3多項式除以單項式典例3小亮與小明在做游戲,兩人各報一個整式,小明報的被除式是x3y－2xy2,商式必須是2xy,則小亮報一個除式是.

[解析](x3y－2xy2)÷2xy＝12x2－[答案]12x2－三、板書設(shè)計整式的除法整式的除法同底數(shù)冪的除法

教學(xué)反思

本節(jié)的內(nèi)容是整式的除法,內(nèi)容較多,分三部分,通過運算要求學(xué)生說出式子每一步變形的根據(jù),并要求學(xué)生養(yǎng)成檢驗的好習(xí)慣,利用乘除互為逆運算,檢驗商式的正確性.培養(yǎng)學(xué)生耐心細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì),訓(xùn)練學(xué)生形成一定的計算能力,慢慢培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和主動參與學(xué)習(xí)的習(xí)慣.

14.2乘法公式14.2.1平方差公式

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】會推導(dǎo)平方差公式,并且懂得運用平方差公式進(jìn)行簡單計算.【過程與方法】經(jīng)歷探索特殊形式的多項式乘法的過程,發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力,使學(xué)生逐漸掌握平方差公式.【情感、態(tài)度與價值觀】通過合作學(xué)習(xí),體會在解決具體問題過程中與他人合作的重要性,體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和創(chuàng)造性.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】平方差公式的推導(dǎo)和運用,以及對平方差公式的幾何背景的了解.【教學(xué)難點】準(zhǔn)確把握運用平方差公式的特征,應(yīng)用平方差公式解題.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入從前有一個狡猾的地主,他把一塊長為x米的正方形土地租給張老漢種植,有一天,他對張老漢說:“我把這塊地的一邊減少5米,另一邊增加5米,繼續(xù)租給你,你也沒吃虧,你看如何?”張老漢一聽覺得沒有吃虧,就答應(yīng)了.你能告訴張老漢他吃虧了嗎?二、合作探究探究點1平方差公式的特征典例1下列多項式乘法中可以用平方差公式計算的是()A.(－a＋b)(a－b) B.(x＋2)(2＋x)C.x3＋yy－x[解析]A項,原式＝－(a－b)(a－b)＝－(a－b)2,故A不能用平方差公式;B項,原式＝(x＋2)2,故B不能用平方差公式;D項,原式＝x2－x＋1,故D不能用平方差公式.[答案]C平方差公式的特征:一是左邊是兩個多項式相乘,這兩個多項式中有一項相同,另一項互為相反數(shù);二是右邊是相同項與相反項的平方差;三是公式中的字母可以表示具體的數(shù)(正數(shù)和負(fù)數(shù)),也可以表示單項式或多項式等代數(shù)式.變式訓(xùn)練計算(2x3－3a)(－2x3－3a)的結(jié)果是()A.－4x6－9a2B.－4x6＋9a2C.－4x6－12ax3＋9a2D.－4x6－12ax3－9a2[答案]B探究點2平方差公式求值整體思想應(yīng)用典例2如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40,那么a－b的值為()A.49 B.7C.－7 D.7或－7[解析](a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40,即(a－b)2＝49,則a－b＝7或－7.[答案]D探究點3平方差公式的計算典例3計算:69×71＝.

[解析]原式＝(70－1)(70＋1)＝702－1＝4900－1＝4899.[答案]4899變式訓(xùn)練計算:20212－2020×2022＝.

[答案]1探究點4平方差公式的幾何意義典例4如圖,從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形,將陰影部分剪開,拼成右邊的矩形.根據(jù)圖形的變化過程寫出的一個正確的等式是()A.(a－b)2＝a2－2ab＋b2B.a(a－b)＝a2－abC.(a－b)2＝a2－b2D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)[解析]第一個圖形陰影部分的面積是a2－b2,第二個圖形的面積是(a＋b)(a－b).則a2－b2＝(a＋b)(a－b).[答案]D三、板書設(shè)計平方差公式平方差公式平方差公式

教學(xué)反思

本節(jié)的內(nèi)容是平方差公式,主要觀察是否符合公式特點,只有符合公式特點才能用公式直接求解,利用公式計算.在實施情境探究教學(xué)過程中,應(yīng)注意讓學(xué)生感知問題的生成、發(fā)展與變化,培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神以及合作交流的精神和創(chuàng)新意識.

14.2.2完全平方公式第1課時完全平方公式

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】會推導(dǎo)完全平方公式,并能運用公式進(jìn)行簡單的運算.【過程與方法】經(jīng)歷利用多項式與多項式的乘法以及冪的意義,推導(dǎo)出完全平方公式的過程.【情感、態(tài)度與價值觀】通過練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、發(fā)現(xiàn)的能力,體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和創(chuàng)造性.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】完全平方公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.【教學(xué)難點】完全平方公式的應(yīng)用.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入現(xiàn)有如圖所示的三種規(guī)格的硬紙片各若干張,請你根據(jù)二次三項式a2＋2ab＋b2,選取相應(yīng)種類和數(shù)量的硬紙片,拼出一個正方形,并探究所拼出的正方形的代數(shù)意義.二、合作探究探究點1完全平方公式典例1計算(3a－2b)2的結(jié)果為()A.9a2＋4b2 B.9a2＋6ab＋4b2C.9a2－12ab＋4b2 D.9a2－4b2[解析]原式＝(3a)2－2×3a×2b＋(2b)2＝9a2－12ab＋4b2.[答案]C【技巧點撥】解本題的關(guān)鍵是熟練運用完全平方公式,記憶完全平方公式可用口訣“首平方,尾平方,首位兩倍在中間,中間符號隨前面”.很多同學(xué)遺漏掉中間積的2倍這一項,應(yīng)引起注意.探究點2簡化運算典例2下列關(guān)于962的計算方法正確的是()A.962＝(100－4)2＝1002－42＝9984B.962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024C.962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136D.962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝9216[解析]962＝(100－4)2＝1002－2×100×4＋42＝9216,A項錯誤;962＝(95＋1)(95＋1)＝952＋2×95×1＋1＝9216,B項錯誤;962＝(90＋6)2＝902＋2×90×6＋62＝9216,C項錯誤;962＝(100－4)2＝1002－2×100×4＋42＝9216,D項正確.[答案]D應(yīng)用完全平方公式時,要注意:①公式中的a,b可以是單項式,也可以是多項式;②對形如兩數(shù)和(或差)的平方的計算,都可以用這個公式;③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后,也可以用完全平方公式.探究點3完全平方式典例3若4a2－kab＋9b2是完全平方式,則常數(shù)k的值為()A.6 B.12 C.±12 D.±6[解析]∵4a2－kab＋9b2是完全平方式,∴－kab＝±2×2a×3b＝±12ab,∴k＝±12.[答案]C變式訓(xùn)練已知x2－8x＋a可以寫成一個完全平方式,則a可為()A.4 B.8 C.16 D.－16[答案]C探究點4完全平方公式變形應(yīng)用典例4已知a＋b＝3,ab＝－2,求下列各式的值.(1)a2＋b2;(2)a－b.[解析](1)∵a＋b＝3,ab＝－2,∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝32－2×(－2)＝13.(2)∵a＋b＝3,ab＝－2,∴a－b＝±(a－b)2＝±a探究點5完全平方公式的幾何背景典例5如圖1是一個長為2a,寬為2b(a＞b)的長方形,用剪刀沿圖中虛線(對稱軸)剪開,把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形,然后按圖2那樣拼成一個正方形,則中間空的部分的面積為()A.ab B.(a＋b)2 C.(a－b)2 D.a2－b2[解析]中間空的部分的面積＝大正方形的面積－4個小長方形的面積＝(a＋b)2－4ab＝a2＋2ab＋b2－4ab＝(a－b)2.[答案]C三、板書設(shè)計完全平方公式完全平方公式完全平方公式

教學(xué)反思

本節(jié)的內(nèi)容是完全平方公式,在教學(xué)中,重視公式的幾何背景,較直觀地讓學(xué)生理解代數(shù)中的某些問題.利用拼圖游戲,調(diào)動學(xué)生的積極性,讓學(xué)生關(guān)注幾何與代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,增強(qiáng)記憶,也可用口訣的形式讓學(xué)生形象記憶,尤其針對學(xué)生易漏掉中間積的2倍這一項做好針對性的練習(xí).

第2課時添括號法則

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】掌握乘法公式的結(jié)構(gòu)特征及公式的含義,理解添括號法則,會正確地添括號運用這些公式進(jìn)行計算.【過程與方法】通過探索和理解乘法公式,感受乘法公式從一般到特殊的認(rèn)知過程,拓展思維空間.【情感、態(tài)度與價值觀】培養(yǎng)良好的分析思想和與人合作的習(xí)慣,體會數(shù)學(xué)的重要價值.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】正確應(yīng)用乘法公式(平方差公式、完全平方公式).【教學(xué)難點】對乘法公式的結(jié)構(gòu)特征以及內(nèi)涵的理解.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入教室里有a名同學(xué),第一次有b名同學(xué)被老師喊到辦公室去了,第二次有c名同學(xué)被老師喊到辦公室去了,請你用代數(shù)式表示教室里現(xiàn)在有多少名學(xué)生?你能用兩種形式表示嗎?二、合作探究探究點1添括號法則典例1①5x＋3x2－4y2＝5x－();

②－3p＋3q－1＝3q－().

[解析]①5x＋3x2－4y2＝5x－(4y2－3x2).②－3p＋3q－1＝3q－(3p＋1).[答案]4y2－3x2;3p＋1添括號法則:添括號時,如果括號前面是正號,括到括號里的各項都不變號,如果括號前面是負(fù)號,括到括號里的各項都改變符號.注意遇負(fù)全變,遇正不變.探究點2添括號后用公式計算典例2計算:(a－2b＋1)(a＋2b－1).[解析](a－2b＋1)(a＋2b－1)＝[a－(2b－1)][a＋(2b－1)]＝a2－(2b－1)2＝a2－4b2＋4b－1.探究點3用完全平方公式計算典例3計算:(a＋2ab－1)2.[解析]原式＝(a＋2ab)2－2(a＋2ab)·1＋12＝a2＋4a2b＋4a2b2－2a－4ab＋1.變式訓(xùn)練(a＋2b－c)2.[解析]原式＝(a＋2b)2＋c2－2c(a＋2b)＝a2＋4ab＋4b2＋c2－2ac－4bc.探究點4代數(shù)式求值典例4先化簡,再求值:(a＋2b)(a－2b)＋(a＋2b)2＋(2ab2－8a2b2)÷2ab,其中a＝1,b＝2.[解析]原式＝a2－4b2＋a2＋4ab＋4b2－4ab＋b＝2a2＋b,∵a＝1,b＝2,∴原式＝2a2＋b＝4.三、板書設(shè)計添括號法則添括號添括號法則

教學(xué)反思

本節(jié)的內(nèi)容是添括號法則,添括號法則是去括號法則反過來得到的,無論是添括號,還是去括號,運算前后代數(shù)式的值都保持不變,所以我們可以用去括號法則驗證所添括號后的代數(shù)式是否正確,添括號能利用乘法公式簡單計算,重在理解遇負(fù)全變,遇正不變的口訣.

14.3因式分解14.3.1提公因式法

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】1.了解因式分解的意義,以及它與整式乘法的關(guān)系,掌握因式分解的概念;2.能確定多項式各項的公因式,會用提公因式法把多項式分解因式.【過程與方法】經(jīng)歷從分解因數(shù)到分解因式的類比過程,感受因式分解在解決問題中的作用.【情感、態(tài)度與價值觀】培養(yǎng)學(xué)生有條理的思考、表達(dá)與交流的能力,培養(yǎng)積極的進(jìn)取意識,體會數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在含義與價值.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】了解因式分解的意義,掌握用提公因式法把多項式分解因式.【教學(xué)難點】整式乘法與因式分解之間的關(guān)系.正確地確定多項式的最大公因式.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入試計算:37×337＋63×337.這里用到了什么運算律?二、合作探究探究點1因式分解的意義典例1下列從左邊到右邊的變形,是因式分解的是()A.(3－x)(3＋x)＝9－x2B.x2＋2x＋1＝x(x＋1)＋1C.a2b＋ab2＝ab(a＋b)D.(a－b)(n－m)＝(b－a)(n－m)[解析](3－x)(3＋x)＝9－x2,是多項式乘法,故A錯誤;x2＋2x＋1＝(x＋1)2,故B錯誤;a2b＋ab2＝ab(a＋b),C正確;(a－b)(n－m)≠(b－a)(n－m),不是因式分解,故D錯誤.[答案]C探究點2公因式的概念典例2多項式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是()A.5mn B.5m2n2C.5m2n D.5mn2[解析]多項式15m3n2＋5m2n－20m2n3中,各項系數(shù)的最大公約數(shù)是5,各項都含有的相同字母是m,n,字母m的指數(shù)最低是2,字母n的指數(shù)最低是1,所以它的公因式是5m2n.[答案]C找公因式的三大要點:(1)公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù);(2)字母取各項都含有的相同字母;(3)相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的.探究點3提公因式法因式分解典例3將3a2m－6amn＋3a分解因式,下面是四位同學(xué)分解的結(jié)果:①3am(a－2n＋1);②3a(am＋2mn－1);③3a(am－2mn);④3a(am－2mn＋1).其中,正確的是()A.① B.② C.③ D.④[解析]提公因式3a后因式分解,即可做出判斷.原式＝3a(am－2mn＋1).[答案]D三、板書設(shè)計提公因式法提公因式法因式分解

教學(xué)反思

本節(jié)的內(nèi)容是因式分解的概念,以及提公因式,學(xué)生剛學(xué)要通過練習(xí)正確理解因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系,進(jìn)一步討論明確.因式分解不是加、減、乘、除、乘方、開方的運算,而是一種變形的手段,是一種恒等變形,對于公因式的概念以及確定方法從小組探究、討論找好確定方法,通過練習(xí)理解掌握.

14.3.2公式法第1課時運用平方差公式分解因式

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】靈活運用平方差公式進(jìn)行因式分解.【過程與方法】經(jīng)歷探索利用平方差公式進(jìn)行因式分解的過程,感受逆向思維的意義.【情感、態(tài)度與價值觀】培養(yǎng)良好的推理能力,體會“化歸”與“換元”的思想方法,形成靈活的應(yīng)用能力.

教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】理解平方差公式因式分解,并學(xué)會應(yīng)用.【教學(xué)難點】領(lǐng)會因式分解的解題步驟和分解因式的徹底性.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入計算①252－242;②352－342;③982－972.看誰算的最快最準(zhǔn),把你的方法給大家分享.二、合作探究探究點1平方差公式因式分解典例1下列各式中,能運用平方差公式分解的多項式是()A.x2＋y2 B.1－x2C.－x2－y2 D.x2－xy[解析]x2＋y2不能運用平方差公式分解,故A錯誤;1－x2能運用平方差公式分解,故B正確;－x2－y2不能運用平方差公式分解,故C錯誤;x2－xy不能運用平方差公式分解,故D錯誤.[答案]B【技巧點撥】平方差公式的特點是能寫成□2－△2的形式,□、△可以是單項式也可以是多項式.變式訓(xùn)練因式分解:(a＋b)2－4b2＝.

[答案](a＋3b)(a－b)探究點2先提公因式再用公式典例2把多項式ax2－4ay2分解因式的結(jié)果是.

[解析]原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.原式＝a(x2－4y2)＝a(x＋2y)·(x－2y).[答案]a(x＋2y)(x－2y)因式分解的步驟是先提公因式法,然后看能否用公式,因式分解要分解到每一部分都不能再分解為止.探究點3熟練運用平方差公式典例3因式分解:4(m＋n)2－9(m－n)2.[解析]4(m＋n)2－9(m－n)2＝[2(m＋n)]2－[3(m－n)]2＝[2(m＋n)＋3(m－n)][2(m＋n)－3(m－n)]＝(2m＋2n＋3m－3n)(2m＋2n－3m＋3n)＝(5m－n)(5n－m).變式訓(xùn)練因式分解:(p－4)(p＋1)＋3p.[解析](p－4)(p＋1)＋3p＝p2－3p－4＋3p＝(p＋2)(p－2).三、板書設(shè)計運用平方差公式分解因式運用平方差公式分解因式平方差公式因式分解

教學(xué)反思

本節(jié)內(nèi)容是用平方差公式因式分解,平方差公式比較簡單,但是變化很多,通過練習(xí)要養(yǎng)成先提公因式的習(xí)慣,結(jié)果要注意到是否進(jìn)行到每一個多項式因式都不能再分解為止.因式分解是一個重要的內(nèi)容,也是難點,要根據(jù)學(xué)生的接受能力,注意到計算題在練習(xí)方面的鞏固及題型的多樣化,應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生多加練習(xí).

第2課時運用完全平方公式分解因式

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】能運用完全平方公式進(jìn)行因式分解.【過程與方法】經(jīng)歷探索利用完全平方公式進(jìn)行因式分解的過程,感受逆向思維的意義,掌握因式